§1．線織面と可展面 ここではガウス曲率$K$がいたるところ$0$である曲面を調べる． 曲率が等しい定曲率曲面どうしは等長変換が存在するので，第１基本形式だけを考えるリーマン幾何の立場で見れば $K\equiv 0$の曲面は平面だけである．しかし，第１基本形式だけに限定しない一般の曲面で考えるなら，円錐や円柱も曲率$0$の曲面である． ここでの目的は，錐面，柱面以外に$K\equiv 0$の曲面があるのかを調べることである． $K\equiv 0$の曲面を扱うとき，線織面が重要な役割を演ずる． 線織面(Ruled surface)の定義をする． 線織面とは，直線が動くことにより得られる曲面のことで，定義は次の通り． 定義 ユークリッド空間$\mathbb{R}^3$における曲線 $\Gamma:\overrightarrow{g}(u)$ 上の各点に一定の方向ベクトル$\overrightarrow{h}(u)$を定める． このとき，$\overrightarrow{g}(u)$を通り，方向ベクトルが$\overrightarrow{h}(u)$の直線が定める曲面 $\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{h}(u)$ を線織面という． 線織面上の直線を母線という． 
柱面$(\overrightarrow{h}(u)=\text{(一定)})$，錐面$(\Gamma \text{が定点})$は線織面である．例1 $z$軸に垂直な直線が$z$軸の周りを回転角$u$で回転し，同時に$z$軸に沿って，速さ$au$で上昇することにより得られる線織面 $\overrightarrow{f}(u,v)=(v\cos u,v\sin u,au)$ を常らせん面(right helicoid)という． 右図は$a=1$の場合である． 例2 $\Gamma$が円で，$\Gamma$上を一周するとき，方向ベクトルは円に垂直に半周することにより得られる線織面 $\overrightarrow{f}(u,v)=\left(\cos u+v\sin\dfrac{u}{2}\cos u,\sin u+v\sin\dfrac{u}{2}\sin u,v\cos \dfrac{u}{2}\right)$ 
$0\leqq u $＜$2\pi,-\dfrac{1}{2}$＜$v$＜$\dfrac{1}{2}$はメビウスバンドである．なお，この曲面は向き付け不能の曲面としてよく用いられる． さて，これから対象になる線織面は次の3つの場合である． $(1) \ \Gamma$が1点$P_0(\overrightarrow{p_0})$よりなるとき． すなわち $\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{p_0}+v\overrightarrow{h}(u)$ これは錐面である． $(2) \ \overrightarrow{h}(u)$が定ベクトルのとき， すなわち， $\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{q_0}$ これは柱面である． $(3)$１つの曲線の接線により得られる曲面． すなわち， $\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{g}'(u)$ 
である．これを接線曲面という．これはなかなか面白い曲面です．例えば常らせんの接線面 $(\cos u,\sin u,u)+v(-\sin u,\cos u,1)$ は右図となる． $v$が正の部分を赤面で，$v$が負の部分が青面の２面からなっている． 境界が常らせん$\Gamma$で，この境界の曲線を接線曲面の反帰曲線という． 可展面 微分幾何 |