微分幾何

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18.線織面と可展面

§1．線織面と可展面

ここではガウス曲率

$K$ がいたるところ

$0$ である曲面を調べる．
曲率が等しい定曲率曲面どうしは等長変換が存在するので，第１基本形式だけを考えるリーマン幾何の立場で見れば

$K\equiv 0$ の曲面は平面だけである．しかし，第１基本形式だけに限定しない一般の曲面で考えるなら，円錐や円柱も曲率

$0$ の曲面である．
ここでの目的は，錐面，柱面以外に

$K\equiv 0$ の曲面があるのかを調べることである．

$K\equiv 0$ の曲面を扱うとき，線織面が重要な役割を演ずる．
線織面(Ruled surface)の定義をする．
線織面とは，直線が動くことにより得られる曲面のことで，定義は次の通り．

定義
ユークリッド空間

$\mathbb{R}^3$ における曲線

$\Gamma:\overrightarrow{g}(u)$
上の各点に一定の方向ベクトル

$\overrightarrow{h}(u)$ を定める．
このとき，

$\overrightarrow{g}(u)$ を通り，方向ベクトルが

$\overrightarrow{h}(u)$ の直線が定める曲面

$\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{h}(u)$
を線織面という．
線織面上の直線を母線という．

柱面

$(\overrightarrow{h}(u)=\text{(一定)})$ ，錐面

$(\Gamma \text{が定点})$ は線織面である．

例1

$z$ 軸に垂直な直線が

$z$ 軸の周りを回転角

$u$ で回転し，同時に

$z$ 軸に沿って，速さ

$au$ で上昇することにより得られる線織面

$\overrightarrow{f}(u,v)=(v\cos u,v\sin u,au)$
を常らせん面(right helicoid)という．
右図は

$a=1$ の場合である．

例2

$\Gamma$ が円で，

$\Gamma$ 上を一周するとき，方向ベクトルは円に垂直に半周することにより得られる線織面

$\overrightarrow{f}(u,v)=\left(\cos u+v\sin\dfrac{u}{2}\cos u,\sin u+v\sin\dfrac{u}{2}\sin u,v\cos \dfrac{u}{2}\right)$

$0\leqq u$ ＜

$2\pi,-\dfrac{1}{2}$ ＜

$v$ ＜

$\dfrac{1}{2}$
はメビウスバンドである．なお，この曲面は向き付け不能の曲面としてよく用いられる．

さて，これから対象になる線織面は次の3つの場合である．

$(1) \ \Gamma$ が1点

$P_0(\overrightarrow{p_0})$ よりなるとき．
すなわち

$\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{p_0}+v\overrightarrow{h}(u)$
これは錐面である．

$(2) \ \overrightarrow{h}(u)$ が定ベクトルのとき，
すなわち，

$\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{q_0}$
これは柱面である．

$(3)$ １つの曲線の接線により得られる曲面．
すなわち，

$\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{g}'(u)$

である．これを接線曲面という．
これはなかなか面白い曲面です．例えば常らせんの接線面

$(\cos u,\sin u,u)+v(-\sin u,\cos u,1)$
は右図となる．

$v$ が正の部分を赤面で，

$v$ が負の部分が青面の２面からなっている．
境界が常らせん

$\Gamma$ で，この境界の曲線を接線曲面の反帰曲線という．

可展面

微分幾何