18.線織面と可展面

§1.線織面と可展面

ここではガウス曲率$K$がいたるところ$0$である曲面を調べる.
曲率が等しい定曲率曲面どうしは等長変換が存在するので,第1基本形式だけを考えるリーマン幾何の立場で見れば $K\equiv 0$の曲面は平面だけである.しかし,第1基本形式だけに限定しない一般の曲面で考えるなら,円錐や円柱も曲率$0$の曲面である.
ここでの目的は,錐面,柱面以外に$K\equiv 0$の曲面があるのかを調べることである.
$K\equiv 0$の曲面を扱うとき,線織面が重要な役割を演ずる.
線織面(Ruled surface)の定義をする.
線織面とは,直線が動くことにより得られる曲面のことで,定義は次の通り.

定義
ユークリッド空間$\mathbb{R}^3$における曲線
$\Gamma:\overrightarrow{g}(u)$
上の各点に一定の方向ベクトル$\overrightarrow{h}(u)$を定める.
このとき,$\overrightarrow{g}(u)$を通り,方向ベクトルが$\overrightarrow{h}(u)$の直線が定める曲面
$\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{h}(u)$
を線織面という.
線織面上の直線を母線という.


柱面$(\overrightarrow{h}(u)=\text{(一定)})$,錐面$(\Gamma \text{が定点})$は線織面である.

例1
$z$軸に垂直な直線が$z$軸の周りを回転角$u$で回転し,同時に$z$軸に沿って,速さ$au$で上昇することにより得られる線織面
$\overrightarrow{f}(u,v)=(v\cos u,v\sin u,au)$
を常らせん面(right helicoid)という.
右図は$a=1$の場合である.

例2
$\Gamma$が円で,$\Gamma$上を一周するとき,方向ベクトルは円に垂直に半周することにより得られる線織面
$\overrightarrow{f}(u,v)=\left(\cos u+v\sin\dfrac{u}{2}\cos u,\sin u+v\sin\dfrac{u}{2}\sin u,v\cos \dfrac{u}{2}\right)$
$0\leqq u $<$2\pi,-\dfrac{1}{2}$<$v$<$\dfrac{1}{2}$
はメビウスバンドである.なお,この曲面は向き付け不能の曲面としてよく用いられる.

さて,これから対象になる線織面は次の3つの場合である.
$(1) \ \Gamma$が1点$P_0(\overrightarrow{p_0})$よりなるとき.
すなわち
$\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{p_0}+v\overrightarrow{h}(u)$
これは錐面である.

$(2) \ \overrightarrow{h}(u)$が定ベクトルのとき,
すなわち,
$\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{q_0}$
これは柱面である.

$(3)$1つの曲線の接線により得られる曲面.
すなわち,
$\overrightarrow{f}(u,v)=\overrightarrow{g}(u)+v\overrightarrow{g}'(u)$
である.これを接線曲面という.
これはなかなか面白い曲面です.例えば常らせんの接線面
$(\cos u,\sin u,u)+v(-\sin u,\cos u,1)$
は右図となる.
$v$が正の部分を赤面で,$v$が負の部分が青面の2面からなっている.
境界が常らせん$\Gamma$で,この境界の曲線を接線曲面の反帰曲線という.


可展面





微分幾何