ここでは，内在幾何を別の方向から眺めます． 曲面を与えれば，第１基本量$g_{ij}$および第２基本量$h_{ij}$が決まります． 逆に$g_{ij},h_{ij}$が与えられ, それらがガウス，コダッチの方程式を満たせば，第１基本量，第２基本量がそれぞれ$g_{ij},h_{ij}$である 曲面がただ一つに決まります． これは言い方を変えれば第１基本量$g_{ij}$を与えただけでは曲面はただ一つには決まりません． すなわち，１つの曲面を与えると，この曲面と第１基本形式が等しいほかの曲面がたくさん見つかりそうです．もちろん原理的には そうですが，ガウスおよびコダッチの方程式はなかなかきつい条件で，具体的に見つけるのは簡単ではありません． それでは本題に入ります． リーマンが提唱した，曲面上の幾何学を第１基本形式だけを用いて行うという意味を説明します． 曲面$\overrightarrow{f}(u,v)$が与えられ，第１基本形式を $I=E(u,v)du^2+2F(u,v)dudv+G(u,v)dv^2$ 曲面上の曲線$(u(t),v(t))$の長さは $\displaystyle \int_{t_0}^{t_1}\sqrt{E(\dfrac{du}{dt})^2+2F\dfrac{du}{dt}\dfrac{dv}{dt}+G(\dfrac{dv}{dt})^2}dt$ であり，曲面上の面積は $\displaystyle \int_A\sqrt{EG-F^2}dudv$ です．さらに，さらに２つのベクトル $a\overrightarrow{f}_u+b\overrightarrow{f}_v,c\overrightarrow{f}_u+d\overrightarrow{f}_v$ のなす角$\theta$は $\cos \theta =\dfrac{Eac+F(ad+bc)+Gbd}{\sqrt{Ea^2+2Fab+Gb^2}\sqrt{Ec^2+2Fcd+Gd^2}}$ となります． これらの式を見てみましょう．曲面上の曲線の長さ，曲面の面積，２つのベクトルのなす角を求めるのに，曲面$\overrightarrow{f}$ の式，すなわち$\mathbb{R}^3$における曲面の形など関係ないことが分かると思います．すなわち第１基本量$E,F,G$だけで 計算できることに注目しましょう． 一歩進めて，２次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^2$またはその開集合上の各点に$E(u,v),F(u,v),G(u,v)$を 定めたものとして扱っています． もちろん曲面の記述は第１基本量だけでは不十分です．曲線論で扱ったように，空間曲線は曲率と捩率で決まります．この曲線を決定付ける曲率と 捩率は第１基本量が同じでも保たれません．それは，円柱面と平面の関係を見れば分かるでしょう．円柱面を１つの母線に そって切り開いたとき，円柱面の底面と平行な円は切り開くと直線になり，円柱面上の円柱螺旋も切り開くと直線になります． 曲面は第１基本量$E(u,v),F(u,v),G(u,v)$,第２基本量$L(u,v),M(u,v),N(u,v)$で完全に 決まるというのが曲面の基本定理です．曲面が決まるということは $f^1(u,v),f^2(u,v),f^3(u,v)$ と３つの式が定まるということです． 未知数３つに条件が６つあるわけですから，$E,F,G,L,M,N$の３つの関係式それがガウスの方程式，コダッチの方程式です． ここでは，まず，２つの曲面間の等長変換写像および等長同型の定義をします． 次に，ガウスの驚くべき定理（Theorema egregium）より，曲面のガウス曲率は第１基本量だけで決まります． したがって，２つの曲面間に等長変換が存在するとき，各点における ガウス曲率も等しいことが分かる． それでは逆の定理が成り立つのでしょうか．すなわち 問題 ２つの曲面の全曲率が各対応点で一致すれば，２つの曲面の間に等長変換が存在するか． ここでは，この一般には問題が正しくありません．まず反例を挙げ，さらに，定曲率の曲面に限れば，この問題が正しいことを証明する． その後，定曲率曲面，特に負と定曲率曲面を扱います．負の定曲率曲面は非ユークリッド幾何学に話はつながります． まず，負の定曲率曲面を回転面の中から見つけます．正の定曲率曲面の１つは球面で， 負の定曲率曲面の１つ（擬球面）が見つかりますが，それだけが定曲率曲面ではありません． 球面，擬球面以外の定曲率曲面を回転面の中から見つけます． まず，２つの曲面の間の等長変換の定義します． 定義1 ２つの曲面$\overrightarrow{f}(u,v),\overrightarrow{g}(x,y)$があり，それぞれの第１基本形式を $I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$ $I=E'dx^2+2F'dxdy+G'dy^2$ とする． $R^2$から$R^2$またはそれらの開集合における微分同型写像（逆写像が存在し，共に微分可能） $(u,v)\mapsto (x,y)$ ただし$x=p(u,v),y=q(u,v)$ が存在して次の条件を満たすときこの変換を等長変換という． 曲面$\overrightarrow{g}$の新しい媒介変数$\overrightarrow{g}(u,v)$を $\overrightarrow{g}(p(u,v),q(u,v))$ で定義しとき，曲面$\overrightarrow{g}(p(u,v),q(u,v))$の 第１基本形式が$\overrightarrow{f}(u,v)$の第１基本形式と一致する．すなわち ともに $I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$ である． ２つの曲面$\overrightarrow{f}(u,v),\overrightarrow{g}(x,y)$に 等長変換が存在するとき等長同型であるという． 内在幾何ではすなわち第１基本形式だけを考える幾何では，等長同型の曲面は同じ曲面と考えます．平面と円柱や円錐の側面は等長同型の 例ですが，懸垂曲面と常螺旋面が等長同型になる例として知られており，まずその内容を解説します． なお， ２つの曲面$(S,g),(S',g')$（ただし$g,g'$はそれぞれ$S,S'$の距離テンソル）に対して， $f^{\ast }g'=g$を満たす微分同型写像 $f:S \longrightarrow S'$ が存在する． がよく使われる等長同型の定義です．まったくその通りなのですが，定義の意味が分かりづらいと思います．最初のうちは 上の定義を用いて，片方の媒介変数表示を変えることにより， 第１基本形式を一致させることができる２つの曲面の関係だと理解することを勧めます． 等長変換の定義が次の方が分かりやすいかもしれません． 定義2 ２つの曲面$\overrightarrow{f}(u,v),\overrightarrow{g}(x,y)$があり，それぞれの第１基本形式を $I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$ $I=E'dx^2+2F'dxdy+G'dy^2$ とする． $R^2$から$R^2$またはそれらの開集合における微分同型写像（逆写像が存在し，共に微分可能） $(u,v)\mapsto (x,y)$ ただし$x=p(u,v),y=q(u,v)$ で，曲面$\overrightarrow{f}(u,v)$上の任意の曲線で，弧長とその像の弧長が等しい常に等しいものが存在するとき， この写像を等長変換といい等長変換が存在する２平面を等長同型という． 定義2と定義1が同じであることを示そう． 曲面$\overrightarrow{g}(x,y)$の第１基本形式 $I=E'dx^2+2F'dxdy+G'dy^2$ は微分同型写像 $x=p(u,v),y=q(u,v)$ により $I=E^*du^2+2F^*dudv+G^*dv^2$ とする．任意の弧長が等しいから $\displaystyle \int_{t_0}^t\sqrt{E(\dfrac{du}{dt})^2+2F\dfrac{du}{dt}\dfrac{dv}{dt}+G(\dfrac{dv}{dt})^2}dt$ $\displaystyle =\int_{t_0}^t\sqrt{E^*(\dfrac{du}{dt})^2+2F^*\dfrac{du}{dt}\dfrac{dv}{dt}+G^*(\dfrac{dv}{dt})^2}dt$ 両辺を$t$で微分し平方すると $E(\dfrac{du}{dt})^2+2F\dfrac{du}{dt}\dfrac{dv}{dt}+G(\dfrac{dv}{dt})^2$ $=E^*(\dfrac{du}{dt})^2+2F^*\dfrac{du}{dt}\dfrac{dv}{dt}+G^*(\dfrac{dv}{dt})^2$ 任意の $(\dfrac{du}{dt},\dfrac{dv}{dt})$ で成り立つので $E=E^*,F=F^*,G=G^*$ が成り立つ． 次に等長同型の例を挙げる．  例1（常螺旋面と懸垂曲面） 懸垂曲面 $\overrightarrow{f}=(\cosh u\cos v,\cosh u\sin v,u)$・・・@ と常螺旋面 $\overrightarrow{g}=(x\cos y,x\sin y,y)$・・・Abr> の第１基本形式を計算しましょう． $\overrightarrow{f}_u=(\sinh u \cos v,\sinh u \sin v,1)$ $\overrightarrow{f}_v=(-\cosh u\sin v,\cosh u\cos v,0)$ 
$\overrightarrow{g}_x=(\cos y,\sin y,0)$$\overrightarrow{g}_y=(-x\sin y,x\cos y,1)$ より $\overrightarrow{f}$の第１基本形式は $I=cosh^2u(du^2+dv^2)$ $\overrightarrow{g}$の第１基本形式は $I=dx^2+(x^2+1)dy^2$ これではまだ等長同型であるかどうかは分かりません． そこで，常螺旋面の座標曲線を $x=\sinh u,y=v$ により曲面$\overrightarrow{g}$に新しい座標曲線を導入します． $\overrightarrow{g}=(\sinh u\cos v,\sinh u\sin v,v)$・・・B によって定義します(右下図．同じ曲面であるが座標曲線が荒くなっている)． なお，蛇足ですが，AとBは媒介変数の取り方が違うだけで同じ曲面です． 曲面$\overrightarrow{g}$でBの媒介変数の時の第１基本形式を計算しましょう．  計算の中で $\cosh^2u-\sinh^2u=1$ を用います． $\overrightarrow{g}_u=(\cosh u\cos v,\cosh u\sin v,0)$ $\overrightarrow{g}_v=(-\sinh u\sin v,\sinh u\cos v,1)$ したがって，曲面$\overrightarrow{g}$の第１基本形式は $I=\cosh ^2udu^2+(1+\sinh ^2u)dv^2$ $=\cosh ^2u(du^2+dv^2)$ となり，懸垂曲面$\overrightarrow{f}$と常螺旋面懸$\overrightarrow{g}$が等長同型であることが分かった． ここで，懸垂曲面 $\overrightarrow{f}=(\cosh u\cos v,\cosh u\sin v,u)$・・・@ と常螺旋面 $\overrightarrow{g}=(\sinh u\cos v,\sinh u\sin v,v)$・・・B の座標関数に注目してみてみよう． @の$v$線（$u$を固定した座標曲線）は半径$\cosh u$の円であり，Bの$v$線は円柱螺旋である．当然２つの曲線の 接ベクトルの大きさは等しい．曲率は円の曲率は$\dfrac{1}{\cosh u}$であり，円柱螺旋の曲率は$\dfrac{\sinh ^2u}{\sinh ^2u+1}=\tanh ^2u$である． すなわち$v$線は長さは等しいが曲率は異なるし，捩率も異なる（片方は平面上にあり，もう一方は平面上にない）． $u$線はもっと顕著で，@の$u$線は懸垂曲線でBの$u$線は直線である． なお，懸垂面と常螺旋面の等長変換の様子が Manfredo P.do Carmo; Differntial Geometry of Curves and Surfaces,Prentice-Hall の223ページから224ページにある．図は常螺旋面から懸垂面に変る様子が書いてある．逆から見たほうが分かりやすいと思うが 一度図書館で見てみるのをお勧めします． すなわち，伸び縮みしないもので作った曲面たとえば紙で作った曲面を滑らかに変形しても２点間の距離は変りませんので 等長同型の曲面の１つの作り方を説明しています． ここで，ガウスの驚くべき定理（Theorema egregium）の定理を思い出しましょう． すなわち，曲面の全曲率は第１基本形式だけで決まる量であるということです． これがなぜ驚くべき定理なのかというと，曲面の全曲率（ガウス曲率）はその点の法曲率の最大値と最小値の積で定義されます． そのもととなる，法曲率はその点を通る曲線の曲率を用いて定義される．一方，曲線を決定つける曲線の曲率や捩率は第１基本形式の不変量ではないのです．これは円柱の側面と平面を考えれば分かります． このように，第１基本量では決まらない曲線の曲率を用いて定義された全曲率が第１基本量だけで決まるのというの が驚異であるというのが一般にいわれている説明です． もう少し付け加えれば，曲率が第１基本量だけで決まるので，第１基本量だけで十分曲面を研究できる． さらに，曲率こそが曲面を決定している，これが 内在幾何すなわちリーマン幾何学の基本的考え方です． 続く 微分幾何の目次 |