1.準備

ここで扱う曲線や曲面は共に3次元ユークリッド空間内のものです.
共に媒介変数を用いて表し,曲線は
$\overrightarrow{f}(t)=(f_1(t),f_2(t),f_3(t)) \ \ $・・・@
曲面は
$\overrightarrow{f}(u,v)=(f_1(u,v),f_2(u,v),f_3(u,v)) \ \ $ ・・・A
と表します.
@,Aのように,曲線や曲面はベクトル値関数で表します.なお,曲線や曲面を表すベクトル値関数$f$は 太文字を使うこともあり,混乱がなければそのままの文字を用いることもあります.

ベクトル量の微分は各成分ごとのの微分で
$\overrightarrow{f'} (t)=(f_1'(t),f_2'(t),f_3'(t))$
であり,偏微分も同様で
$\dfrac{\partial ^2 \overrightarrow{f}(u,v)}{\partial u \partial v} =(\dfrac{\partial ^2 f_1}{\partial u \partial v},\dfrac{\partial ^2 f_2}{\partial u \partial v},\dfrac{\partial ^2 f_3}{\partial u \partial v})$
となります.

次に多変数関数の微分,いわゆる全微分を説明します.
ここでは2変数で説明します.
$f(x,y)$において,
$f(x+h,y+k)-f(x,y)=f_x(x,y)\cdot h+f_y(x,y)\cdot k+\epsilon (\Delta)$ ・・・@
となります.
ただし,$f_x(x,y),f_y(x,y)$はそれぞれ$f(x,y)$の$x,y$に関する偏微分で,$\Delta$はベクトル$(h,k)$の大きさ.
さらに$\Delta \to 0$のとき$\dfrac{\epsilon (\Delta)}{\Delta}\to 0$が成り立ちます.
そこで,
$f_x(x,y)\cdot h+f_y(x,y)\cdot k$
を$f(x,y)$の$(x,y)$における全微分といいます.
すなわち,全微分は$f(x+h,y+k)-f(x,y)$の1次の近似式なわけです.
全微分は一般に次のように表します.
$h,k$は非常に小さいものだけ(無限小)を考えるので$dx,dy$と書き換え, $(dx,dy)$だけ増加した時の$f$の増加量の1次の近似ということで,
$df=f_xdx+f_ydy$
と表します.
2階の全微分も同様です.すなわち,
$f(x+h,y+k)-f(x,y)$
$=f_xh+f_yk+\dfrac{f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2}{2}+\epsilon (\Delta ^2)$
より,
$f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2$
を$f(x,y)$の$(x,y)$における2階の全微分といいます.
表し方はやはり$h,k$を$dx,dy$と書き換え
$d^2f=f_{xx}dx^2+2f_{xy}dxdy+f_{yy}dy^2$
と表します.もちろん2階の全微分は
$f(x+h,y+k)-f(x,y)-f_x\cdot h-f_y\cdot k$
の$h,k$による2次式による近似です.

ここで,全微分
$df=f_xdx+f_ydy$
の意味を考えましょう.
まず,接ベクトル空間の説明をします.
平面上の点Pにおける接ベクトルとは,平面上における点Pを始点とするベクトルのことです.
点Pの接ベクトル全体からなるベクトル空間を点Pにおける接ベクトル空間といい $T_P(R^2)$と表します.
2次元平面$R^2$上で考えると,$R^2$と点Pにおける接ベクトル空間は平行移動のだけの違いですが, 一般の曲面では異なり,この概念はだんだん慣れてきます.

関数
$f:R^2 \longrightarrow R$
の全微分$df$は各点Pで線型写像
$df_P:T_P(R^2) \longrightarrow T_{f(P)}(R)$
を対応させるものです.
点Pにおける接ベクトル空間$T_P(R^2)$の基底を
$\{\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y}\}$
として,さらに,$\{\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y}\}$の双対基底を$\{dx,dy\}$とします.
すなわち$dx,dy$は
$dx(\dfrac{\partial}{\partial x})=1,dx(\dfrac{\partial}{\partial y})=0,dy(\dfrac{\partial}{\partial x})=0,dy(\dfrac{\partial}{\partial y})=1$
を満たす$T_P(R^2)$の双対空間$T_P(R^2)^{\ast}$の基底です.
$dx,dy$による
$a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial y}$
の像は
$dx(a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial y})=a, dy(a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial y})=b$
であるから
$df(a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial y})$
$=(f_xdx+f_ydy)(a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial y})$
$=af_x+bf_y$
となります.
ちょっと長く分かりづらくなってしましたが全微分
$df=f_xdx+f_ydy$
とは,$T_P(R^2)$の要素を1つ定めれば,たとえば$a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial y}$ を定めれば
$af_x+bf_y$ が対応する一次変換と考えるべきなのです.別の言い方をすれば,
$df=f_xdx+f_ydy$
の$dx,dy$はどのような実数を代入してもよい文字と思って扱えばよいのです.
この$dx,dy$は変数と考え$df$を$dx,dy$の1次式と考えてよいということは微分幾何,特に古典的な微分幾何でよく使われます.

1変数の関数$y=f(x)$を考えると,
$df=f'(x)dx$   ・・・@
です.
一方
$\dfrac{df}{dx}=f'(x)$・・・A
ですから@はAの分母を払ったとものと考えて処理をしても論理的に問題ないのです(Aの左辺は微分の記号であり, 分数と見るのは問題ですが).
この分母を払う操作は微分幾何で頻繁に行われます.

同じことですが,2変数のベクトル値関数
$\overrightarrow{f}(u,v)=(f_1(u,v),f_2(u,v))$
についても述べておきます.
$\overrightarrow{f}(u,v)$の1次の微分$d\overrightarrow{f}$は$u,v$の微小量$du,dv$を与えればベクトル値
$\dfrac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial u}du+\dfrac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial v}dv$
が定まる,$du,dv$に関しての1次のベクトル値関数です($du,dv$は実数だと考えればよい).
$d\overrightarrow{f}$はベクトルですから
$d\overrightarrow{f}\cdot d\overrightarrow{f}$
$=(\overrightarrow{f}_udu+\overrightarrow{f}_vdv)\cdot (\overrightarrow{f}_udu+\overrightarrow{f}_vdv)$
等の内積の計算は頻繁に出てきます.

ここで,$R^2$から$R^2$への写像
$f:R^2 \longrightarrow R^2$
を考えましょう.
$\overrightarrow{f}(u,v)=(f_1(u,v),f_2(u,v))$
に対して,$d\overrightarrow{f}$は$\overrightarrow{f}$の1次変換により近似すなわち,Pにおける接空間から $\overrightarrow{f}(P)$における接空間への 線型変換による$\overrightarrow{f}$の近似です.
したがって,$\overrightarrow{f}$の微分$d\overrightarrow{f}$は行列
$\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x} & \dfrac{\partial f_1}{\partial y} \\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x} & \dfrac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix}$
のことでこれは通常ヤコビ行列といいます.


次に$\overrightarrow{f}$の2次の微分$d^2\overrightarrow{f}$について述べます.
$x,y$の微小量$dx,dy$を与えればベクトル値
$\overrightarrow{f}_{xx}dx^2+2\overrightarrow{f}_{xy}dxdy+\overrightarrow{f}_{yy}dy^2$
すなわち,
$\begin{pmatrix} dx & dy \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial ^2\overrightarrow{f}}{\partial x^2} & \dfrac{\partial \overrightarrow{f}}{\partial x \partial y} \\ \dfrac{\partial ^2\overrightarrow{f}}{\partial x \partial y} & \dfrac{\partial ^2\overrightarrow{f}}{\partial y^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}$
が各点で定まるベクトル値関数のことです.


各節とも例を出来るだけ用意しましたので例を参考に,あわてずゆっくり読み進めましょう.古典的な 微分幾何のすばらしさを伝えたいと思っています.


2.弧長を変数とする曲線


微分幾何の目次