ここで扱う曲線や曲面は共に3次元ユークリッド空間内のものです． ベクトルは通常$\overrightarrow{a}$と矢印をつけるか， $\boldsymbol{a}$のように太文字(ボールド体)で表記します． 曲線，曲面共に媒介変数を用いて表し,曲線は $\boldsymbol{f}(t)=(f_1(t),f_2(t),f_3(t)) \ \ $・・・@ 曲面は $\boldsymbol{f}(u,v)=(f_1(u,v),f_2(u,v),f_3(u,v)) \ \ $ ・・・A と表します． @，Aのように，曲線や曲面はベクトル値関数です．本稿では， 曲線や曲面を表すベクトル値関数は$\boldsymbol{f}$のように太文字で表します． 混乱がなければそのままの文字を用いることもあります． ベクトル$\boldsymbol{a}$の大きさは$\parallel \boldsymbol{a}\parallel$で,混乱がなければ$|a|$で表す．すなわち $\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3)$のとき $\parallel \boldsymbol{a}\parallel=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ である． ベクトル量の微分は各成分ごとのの微分で $\boldsymbol{f}' (t)=(f_1'(t),f_2'(t),f_3'(t))$ であり，偏微分も同様で $\dfrac{\partial ^2 \boldsymbol{f}(u,v)}{\partial u \partial v} =(\dfrac{\partial ^2 f_1}{\partial u \partial v},\dfrac{\partial ^2 f_2}{\partial u \partial v},\dfrac{\partial ^2 f_3}{\partial u \partial v})$ となります． なお曲面$\boldsymbol{f}(u,v)$の成分である関数の添字は上に付け $\boldsymbol{f}(u,v)=(f^1(u,v),f^2(u,v),f^3(u,v))$ とすることも多い．これは下付きの添字は偏微分に用い $\dfrac{\partial ^2 \boldsymbol{f}(u,v)}{\partial u \partial v} =(\dfrac{\partial ^2 f^1}{\partial u \partial v},\dfrac{\partial ^2 f^2}{\partial u \partial v}, \dfrac{\partial ^2 f^3}{\partial u \partial v})$ を $\boldsymbol{f}_{uv}=(f^1_{uv},f^2_{uv},f^3_{uv})$ と表すためです． 次に多変数関数の微分，いわゆる全微分を説明します． ここでは２変数で説明します． $f(x,y)$において， $f(x+h,y+k)-f(x,y)=f_x(x,y)\cdot h+f_y(x,y)\cdot k+\epsilon (\Delta)$ ・・・@ となります． ただし，$f_x(x,y),f_y(x,y)$はそれぞれ$f(x,y)$の$x,y$に関する偏微分で， $f_x(x,y)=\dfrac{\partial f (x,y)}{\partial x},f_y(x,y)=\dfrac{\partial f (x,y)}{\partial y}$， $\Delta$はベクトル$(h,k)$の大きさ，すなわち $\Delta =\sqrt{h^2+k^2}$ です．さらに $\Delta \to 0$のとき$\dfrac{\epsilon (\Delta)}{\Delta}\to 0$ が成り立ちます． そこで， $f_x(x,y)\cdot h+f_y(x,y)\cdot k$ を$f(x,y)$の$(x,y)$における全微分といいます． すなわち，全微分は$f(x+h,y+k)-f(x,y)$の１次の近似式なわけです． 全微分は一般に次のように表します． $h,k$は非常に小さいものだけ（無限小）を考えるので$dx,dy$と書き換え， $(dx,dy)$だけ増加した時の$f$の増加量の１次の近似ということで， $df=f_xdx+f_ydy$ と表します． ２階の全微分も同様です．すなわち， $f(x+h,y+k)-f(x,y)$ $=f_xh+f_yk+\dfrac{f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2}{2}+\epsilon (\Delta ^2)$ より， $f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2$ を$f(x,y)$の$(x,y)$における２階の全微分といいます． 表し方はやはり$h,k$を$dx,dy$と書き換え $d^2f=f_{xx}dx^2+2f_{xy}dxdy+f_{yy}dy^2$ と表します．$d^2f$は $f(x+h,y+k)-f(x,y)-f_x\cdot h-f_y\cdot k$ の$h,k$による２次式による近似です． ここで，全微分 $df=f_xdx+f_ydy$ の意味を考えましょう． まず，接ベクトル空間の説明をします． 平面上の点$P$における接ベクトルとは，平面$\mathbb{R}^2$上における点$P$ を始点とするベクトルのことです． 点$P$の接ベクトル全体からなるベクトル空間を点$P$における接ベクトル空間といい $T_P(\mathbb{R}^2)$と表します． ２次元平面$\mathbb{R}^2$上で考えると，$\mathbb{R}^2$と点$P$における接ベクトル空間は平行移動のだけの違いですが， 一般の曲面では異なります．接空間の概念はだんだん慣れてきます．接空間は写像の微分を 扱うために必要だということが大事です． 関数 $f:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ の全微分$df$は各点$P$で線型写像 $df|_P:T_P(\mathbb{R}^2) \longrightarrow T_{f(P)}(\mathbb{R})$ を対応させるものです． 点$P$における接ベクトル空間$T_P(\mathbb{R}^2)$の基底を $\{\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y}\}$ として，さらに，$\{\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y}\}$の双対基底を$\{dx,dy\}$とします． すなわち$dx,dy$は $dx(\dfrac{\partial}{\partial x})=1,dx(\dfrac{\partial}{\partial y})=0,dy(\dfrac{\partial}{\partial x})=0,dy(\dfrac{\partial}{\partial y})=1$ を満たす$T_P(\mathbb{R}^2)$の双対空間$T_P(\mathbb{R}^2)^{\ast}$の基底です． $dx,dy$による $a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial y}$ の像は $dx(a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial y})=a, dy(a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial y})=b$ であるから $df(a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial y})$ $=(f_xdx+f_ydy)(a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial y})$ $=af_x+bf_y$ となります． ちょっと長く分かりづらくなってしましたが全微分 $df=f_xdx+f_ydy$ とは， $df:T_P(\mathbb{R}^2)\longrightarrow T_{f(P)}(\mathbb{R})(=\mathbb{R});a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial y}\mapsto af_x+bf_y$ である一次変換です． すなわち， $df:\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}f_x&f_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ であり，$a,b$は非常に小さい値のとき考えるのでそれぞれ$dx,dy$と書き直した $df:\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}f_x&f_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix}$ のことです． 全微分$df$は行列 $\begin{pmatrix}f_x &f_y\end{pmatrix}$ のことです． 以上述べたことは，ベクトル値関数の微分を考えると，微分がヤコビ行列のことであり分かり易いと思う． $\mathbb{R}^2$から$\mathbb{R}^2$への写像 $f:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ を考える． $\boldsymbol{f}(x,y)=\begin{pmatrix}f^1(x,y)\\f^2(u,v)\end{pmatrix}$ を微分する(関数の区別の添え字は上に付け，下付きの添え字は偏微分に用いる)． $\boldsymbol{f}(x+h,y+k)-\boldsymbol{f}(x,y)$ $=\begin{pmatrix}f^1(x+h,y+k)-f^1(x,y)\\f^2(x+h,y+k)-f^2(x,y)\end{pmatrix}$ $\fallingdotseq \begin{pmatrix}f^1_x(x,y)h+f^1_y(x,y)k\\f^2_x(x,y)h+f^2_y(x,y)k\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}f^1_x(x,y)&f^1_y(x,y)\\f^2_x(x,y)&f^2_y(x,y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}$ である. $d\boldsymbol{f}:\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}f^1_x(x,y)&f^1_y(x,y)\\f^2_x(x,y)&f^2_y(x,y)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix} $ を表す． $\begin{pmatrix}f^1_x(x,y)&f^1_y(x,y)\\f^2_x(x,y)&f^2_y(x,y)\end{pmatrix}$ は$\boldsymbol{f}$の点$P$における１次近似（線型変換による近似） でこれをヤコビ行列といいます． 写像を微分することは，各点に線型変換を定義することで， これはテンソル場を定義することになります． これはだいぶ先のことですが，なかなか奥の深い内容です．
次に$\boldsymbol{f}$の２次の微分$d^2\boldsymbol{f}$について述べます． |