$\mathbb{R}^3$における曲面$S$上の曲線$C$に沿ったベクトルの平行移動を論じます．まず，曲面上のベクトルの平行性をきちんと定義する必要があります． $\mathbb{R}^3$における平行性を曲面上に持ってきたらどうなるでしょう． 球面$S^2$の点Pにおける接ベクトル$v$が曲線$PQ$に沿って平行移動して$w$になることを $\mathbb{R}^3$の性質をそのまま用いると右図となり．$w$が点$Q$における接ベクトルには なりません．したがって，この方法をそのまま採用することはできません． 2次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^2$における平行ベクトル場を見直し，その方法にしたがって，曲面上の 曲線に沿った平行ベクトル場の定義をするのが自然な方法です． なお，曲面の表示法は今まで通りですが書いておきます． 曲面を表す式$f$は3つの関数$f^1(u^1,u^2),f^2(u^1,u^2),f^3(u^1,u^2)$用いて $f=(f^1,f^2,f^3)$ であり，本来はベクトル表示で太字で$\mathbf{f}$と すべきですが，ここでは$f$とする． 上付きの添え字は文字の区別で下付きの添え字は偏微分を表す，すなわち $\dfrac{\partial f}{\partial u^1}=\left(\dfrac{\partial f^1}{\partial u^1},\dfrac{\partial f^2}{\partial u^1},\dfrac{\partial f^3}{\partial u^1}\right)=f_1$ $\dfrac{\partial f}{\partial u^2}=\left(\dfrac{\partial f^1}{\partial u^2},\dfrac{\partial f^2}{\partial u^2},\dfrac{\partial f^3}{\partial u^2}\right)=f_2$ である． 
$\mathbb{R}^2$における曲線に沿った平行ベクトル場を見てみましょう．曲線 $C:(x(s),y(s))$ に沿ってベクトルを平行移動すると各点で同じベクトルである.なお媒介変数$s$は弧長とする． そこで，曲線$C$に沿ったベクトル場， $X=(u^1(s),u^2(s))=u^1(s)e_1(x(s),y(s))+u^2(s)e_2(x(s),y(s))$ ただし$e_1(x(s),y(s))=(1,0),e_2(x(s),y(s))=(0,1)$ が平行ベクトル場の定義を $u^1(s),u^2(s)$ が一定，すなわち $\dfrac{d}{ds}X(s)=0$ で定義する． これなら，曲面上で定義できる． ベクトル場$X(s)$に対する曲面上の微分である共変微分を $\dfrac{DX(s)}{ds}$ と表す． なお，共変微分の定義は次の通り． 曲面 $F:f(u^1,u^2)$ 上の曲線 $C:f(u^1(s),u^2(s))$ 上のベクトル場 $X(s)=a^1(s)f_1(u^1(s),u^2(s))+a^2f_2(u^1(s),u^2(s))$ に対して，曲線$C$に沿っての共変微分 $\dfrac{DX(s)}{ds}$ を $\dfrac{DX(s)}{ds}=\left(\dfrac{dX(s)}{ds}\right)^T$ で定義する．ただし，$\left(\frac{dX(s)}{ds}\right)^T$はベクトル$X(s)$の成分ごとの微分である ベクトル$\frac{dX(s)}{ds}$の 接ベクトル平面への正射影である． そこで次のように定義する． 定義 曲線 $C:f(u^1(s),u^2(s))$ に沿ったベクトル場$X(s)$が $\dfrac{DX(s)}{ds}=0$ を満たすとき，$X(s)$を曲線$C$に沿った平行ベクトル場という． ベクトル場 $X(s)=a^1(s)f_1(u^1(s),u^2(s))+a^2f_2(u^1(s),u^2(s))=a^if_i$ が平行ベクトル場になるための微分方程式を求めよう． $f_{ij}=\Gamma _{ij}^kf_k+h_{ij}n$ であるから， $\dfrac{dX(s)}{ds}=\dfrac{da^i}{ds}f_i+a^if_{ij}\dfrac{du^j}{ds}$ $=\left(\dfrac{da^k}{ds}+a^i\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^j}{ds}\right)f_k+a^ih_{ij}\dfrac{du^j}{ds}n$ したがって， $\dfrac{DX(s)}{ds}=\left(\dfrac{dX(s)}{ds}\right)^T =\left(\dfrac{da^k}{ds}+a^i\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^j}{ds}\right)f_k$ すなわち，曲線$C$に沿ったベクトル場$X(s)=a^if_i$が平行ベクトル場であるために必要十分条件は， 連立常微分方程式 $\begin{cases} \dfrac{da^1}{ds}+a^i\Gamma _{ij}^1\dfrac{du^j}{ds}=0 \\ \dfrac{da^2}{ds}+a^i\Gamma _{ij}^2\dfrac{du^j}{ds}=0 \end{cases} $ を満たすことである． この微分方程式は，初期条件 $s=s_0$において$a^1(s_0)=a_0^1,a^2(s_0)=a_0^2$を定めれば，ただ一つの解が任意の範囲で存在することが わかっている．したがって，$C$上の1点で接ベクトルを与えれば，$C$上の平行ベクトル場がただ一つ存在する． これから，閉曲線$C$に沿った平行ベクトル場$X(s)$が一周したとき同じベクトルだろうか，異なるなら 差はどうなるであろうかを調べる． 続く 微分幾何の目次 |