微分幾何

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17.平行ベクトル場とガウス・ボンネの定理

$\mathbb{R}^3$ における曲面

$S$ 上の曲線

$C$ に沿ったベクトルの平行移動を論じます．
まず，曲面上のベクトルの平行性をきちんと定義する必要があります．

$\mathbb{R}^3$ における平行性を曲面上に持ってきたらどうなるでしょう．球面

$S^2$ の点Pにおける接ベクトル

$v$ が曲線

$PQ$ に沿って平行移動して

$w$ になることを

$\mathbb{R}^3$ の性質をそのまま用いると右図となり．

$w$ が点

$Q$ における接ベクトルにはなりません．したがって，この方法をそのまま採用することはできません．
2次元ユークリッド空間

$\mathbb{R}^2$ における平行ベクトル場を見直し，その方法にしたがって，曲面上の曲線に沿った平行ベクトル場の定義をするのが自然な方法です．
なお，曲面の表示法は今まで通りですが書いておきます．
曲面を表す式

$f$ は3つの関数

$f^1(u^1,u^2),f^2(u^1,u^2),f^3(u^1,u^2)$ 用いて

$f=(f^1,f^2,f^3)$
であり，本来はベクトル表示で太字で

$\mathbf{f}$ とすべきですが，ここでは

$f$ とする．
上付きの添え字は文字の区別で下付きの添え字は偏微分を表す，すなわち

$\dfrac{\partial f}{\partial u^1}=\left(\dfrac{\partial f^1}{\partial u^1},\dfrac{\partial f^2}{\partial u^1},\dfrac{\partial f^3}{\partial u^1}\right)=f_1$

$\dfrac{\partial f}{\partial u^2}=\left(\dfrac{\partial f^1}{\partial u^2},\dfrac{\partial f^2}{\partial u^2},\dfrac{\partial f^3}{\partial u^2}\right)=f_2$
である．

$\mathbb{R}^2$ における曲線に沿った平行ベクトル場を見てみましょう．
曲線

$C:(x(s),y(s))$
に沿ってベクトルを平行移動すると各点で同じベクトルである.なお媒介変数

$s$ は弧長とする．
そこで，曲線

$C$ に沿ったベクトル場，

$X=(u^1(s),u^2(s))=u^1(s)e_1(x(s),y(s))+u^2(s)e_2(x(s),y(s))$
ただし

$e_1(x(s),y(s))=(1,0),e_2(x(s),y(s))=(0,1)$
が平行ベクトル場の定義を

$u^1(s),u^2(s)$
が一定，すなわち

$\dfrac{d}{ds}X(s)=0$
で定義する．
これなら，曲面上で定義できる．
ベクトル場

$X(s)$ に対する曲面上の微分である共変微分を

$\dfrac{DX(s)}{ds}$
と表す．
なお，共変微分の定義は次の通り．
曲面

$F:f(u^1,u^2)$
上の曲線

$C:f(u^1(s),u^2(s))$
上のベクトル場

$X(s)=a^1(s)f_1(u^1(s),u^2(s))+a^2f_2(u^1(s),u^2(s))$
に対して，曲線

$C$ に沿っての共変微分

$\dfrac{DX(s)}{ds}$
を

$\dfrac{DX(s)}{ds}=\left(\dfrac{dX(s)}{ds}\right)^T$
で定義する．ただし，

$\left(\frac{dX(s)}{ds}\right)^T$ はベクトル

$X(s)$ の成分ごとの微分であるベクトル

$\frac{dX(s)}{ds}$ の接ベクトル平面への正射影である．
そこで次のように定義する．

定義
曲線

$C:f(u^1(s),u^2(s))$
に沿ったベクトル場

$X(s)$ が

$\dfrac{DX(s)}{ds}=0$
を満たすとき，

$X(s)$ を曲線

$C$ に沿った平行ベクトル場という．

ベクトル場

$X(s)=a^1(s)f_1(u^1(s),u^2(s))+a^2f_2(u^1(s),u^2(s))=a^if_i$
が平行ベクトル場になるための微分方程式を求めよう．

$f_{ij}=\Gamma _{ij}^kf_k+h_{ij}n$
であるから，

$\dfrac{dX(s)}{ds}=\dfrac{da^i}{ds}f_i+a^if_{ij}\dfrac{du^j}{ds}$

$=\left(\dfrac{da^k}{ds}+a^i\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^j}{ds}\right)f_k+a^ih_{ij}\dfrac{du^j}{ds}n$
したがって，

$\dfrac{DX(s)}{ds}=\left(\dfrac{dX(s)}{ds}\right)^T =\left(\dfrac{da^k}{ds}+a^i\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^j}{ds}\right)f_k$
すなわち，曲線

$C$ に沿ったベクトル場

$X(s)=a^if_i$ が平行ベクトル場であるために必要十分条件は，連立常微分方程式

$\begin{cases} \dfrac{da^1}{ds}+a^i\Gamma _{ij}^1\dfrac{du^j}{ds}=0 \\ \dfrac{da^2}{ds}+a^i\Gamma _{ij}^2\dfrac{du^j}{ds}=0 \end{cases}$
を満たすことである．
この微分方程式は，初期条件

$s=s_0$ において

$a^1(s_0)=a_0^1,a^2(s_0)=a_0^2$ を定めれば，ただ一つの解が任意の範囲で存在することがわかっている．したがって，

$C$ 上の1点で接ベクトルを与えれば，

$C$ 上の平行ベクトル場がただ一つ存在する．
これから，閉曲線

$C$ に沿った平行ベクトル場

$X(s)$ が一周したとき同じベクトルだろうか，異なるなら差はどうなるであろうかを調べる．

続く

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