17.平行ベクトル場とガウス・ボンネの定理


$\mathbb{R}^3$における曲面$S$上の曲線$C$に沿ったベクトルの平行移動を論じます.
まず,曲面上のベクトルの平行性をきちんと定義する必要があります.
$\mathbb{R}^3$における平行性を曲面上に持ってきたらどうなるでしょう. 球面$S^2$の点Pにおける接ベクトル$v$が曲線$PQ$に沿って平行移動して$w$になることを $\mathbb{R}^3$の性質をそのまま用いると右図となり.$w$が点$Q$における接ベクトルには なりません.したがって,この方法をそのまま採用することはできません.
2次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^2$における平行ベクトル場を見直し,その方法にしたがって,曲面上の 曲線に沿った平行ベクトル場の定義をするのが自然な方法です.

$\mathbb{R}^2$における曲線に沿った平行ベクトル場を見てみましょう.
曲線
$C:(x(s),y(s))$
に沿ってベクトルを平行移動すると各点で同じベクトルである.なお媒介変数$s$は弧長とする.
そこで,曲線$C$に沿ったベクトル場,
$X=(u^1(s),u^2(s))=u^1(s)e_1(x(s),y(s))+u^2(s)e_2(x(s),y(s))$
ただし$e_1(x(s),y(s))=(1,0),e_2(x(s),y(s))=(0,1)$
が平行ベクトル場の定義を
$u^1(s),u^2(s)$
が一定,すなわち
$\dfrac{d}{ds}X(s)=0$
で定義しよう.
これなら,曲面上で定義できる.
ベクトル場$X(s)$に対する曲面上の微分である共変微分
$\dfrac{DX(s)}{ds}$
で表す.
なお,共変微分の定義は次の通り.
曲面
$F:f(u^1,u^2)$
上の曲線
$C:f(u^1(s),u^2(s))$
上のベクトル場
$X(s)=a^1(s)f_1(u^1(s),u^2(s))+a^2f_2(u^1(s),u^2(s))$
に対して,曲線$C$に沿っての共変微分
$\dfrac{DX(s)}{ds}$

$\dfrac{DX(s)}{ds}=\left(\dfrac{dX(s)}{ds}\right)^T$
で定義する.ただし,$\left(\frac{dX(s)}{ds}\right)^T$はベクトル$X(s)$の成分ごとの微分である ベクトル$\frac{dX(s)}{ds}$の 接ベクトル平面への正射影である.
そこで次のように定義する.

定義
曲線
$C:f(u^1(s),u^2(s))$
に沿ったベクトル場$X(s)$が
$\dfrac{DX(s)}{ds}=0$
を満たすとき,$X(s)$を曲線$C$に沿った平行ベクトル場という.

ベクトル場
$X(s)=a^1(s)f_1(u^1(s),u^2(s))+a^2f_2(u^1(s),u^2(s))=a^if_i$
が平行ベクトル場になるための微分方程式を求めよう.
$f_{ij}=\Gamma _{ij}^kf_k+h_{ij}n$
であるから,
$\dfrac{dX(s)}{ds}=\dfrac{da^i}{ds}f_i+a^if_{ij}\dfrac{du^j}{ds}$
$=\left(\dfrac{da^k}{ds}+a^i\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^j}{ds}\right)f_k+a^ih_{ij}\dfrac{du^j}{ds}n$
したがって,
$\dfrac{DX(s)}{ds}=\left(\dfrac{dX(s)}{ds}\right)^T =\left(\dfrac{da^k}{ds}+a^i\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^j}{ds}\right)f_k$
すなわち,曲線$C$に沿ったベクトル場$X(s)=a^if_i$が平行ベクトル場であるために必要十分条件は, 連立常微分方程式
$\begin{cases} \dfrac{da^1}{ds}+a^i\Gamma _{ij}^1\dfrac{du^j}{ds}=0 \\ \dfrac{da^2}{ds}+a^i\Gamma _{ij}^2\dfrac{du^j}{ds}=0 \end{cases} $
を満たすことである.
この微分方程式は,初期条件
$s=s_0$において$a^1(s_0)=a_0^1,a^2(s_0)=a_0^2$を定めれば,ただ一つの解が任意の範囲で存在することが わかっている.したがって,$C$上の1点で接ベクトルを与えれば,$C$上の平行ベクトル場がただ一つ存在する.
これから,閉曲線$C$に沿った平行ベクトル場$X(s)$が一周したとき同じベクトルだろうか,異なるなら 差はどうなるであろうかを調べる.


続く



微分幾何の目次