2.弧長を変数とする曲線

  ユークリッド空間$R^3$における,媒介変数$t$を用いて表された曲線
$\overrightarrow{f}(t)=(f_1(t),f_2(t),f_3(t))$・・・@
について,各成分の関数$f_i(t)$は何度でも微分可能で,かつ
$\overrightarrow{f'}(t)\not\equiv (0,0,0)$・・・・・A
が成り立つとします.
微分の仮定については,いつでも微分ができるということで,つまらない心配を避けるということです.
Aを仮定することは少し説明が必要です.
Aを仮定しないと,どのような曲線も考える必要があるかを例を挙げます.
例1
$\overrightarrow{f}(t)=\begin{cases} (-t^2,t^2) & (t\leqq 0) \\ (t^2,t^2) & (t\geqq 0) \end{cases}$
この曲線は$y=|x|$と同じです. この曲線の
$f_1(t)=\begin{cases} -t^2 & (t\leqq 0) \\ t^2 & (t\geqq 0) \end{cases}$
は$t=0$で微分可能です.


例2
$\overrightarrow{f}(t)=(t^3,t^2)$
この曲線のグラフは右図のようになります.

例3
半径1の円によるサイクロイドは
$x=t-\sin t,y=1-\cos t$
です.$x,y$はともに$t$について微分可能であるが,この曲線は
$t=2n\pi$・・・@
で微分可能ではありません.
実際@においては
$(x'(t),y'(t))=(0,0)$
となります.

これらの例が示すとおり,
$\overrightarrow{f'}(t)\neq (0,0,0)$
を仮定しないと,尖点(cusp)を持つ場合も含み,議論を複雑するだけだからです.
すなわち,滑らかな曲線だけを扱うわけです.

次に曲線の長さ(これから弧長という)を調べます.
曲線の長さが曲線の性質を調べるときに重要な役割を演じます.
曲線を点の運動と考えると,弧長は点の動いた距離ですから,点の速さの積分によって得られます, 速さは,速度ベクトル
$\overrightarrow{f'}(t)=(f_1'(t),f_2'(t),f_3'(t))$
の大きさですから,
$|\overrightarrow{f'}(t)|=\sqrt{f_1'(t)^2+f_2'(t)^2+f_3'(t)^2}$
となります.
したがって,曲線
$\overrightarrow{f}(t)=(f_1(t),f_2(t),f_3(t))$
の$a\leqq t \leqq b$における曲線の長さsは
$\displaystyle s=\int_a^b|\overrightarrow{f'}(t)|dt$
$\displaystyle =\int_a^b\sqrt{f_1'(t)^2+f_2'(t)^2+f_3'(t)^2}dt$
です.

さて,曲線を表す媒介変数表示はいくつでもあります.
例えば,原点を中心とする単位円の$x$軸の上の部分すなわち
$x^2+y^2=1,y\geqq 0$
は $(\cos \theta ,\sin \theta) \ \ (0\leqq \theta \leqq \pi)$
が標準的ですが,それだけではありません.
$(\cos 2\theta ,\sin 2\theta) \ \ (0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2})$
$(t,\sqrt{1-t^2}) \ \ (-1 \leqq t \leqq 1)$
等幾らでもあります.
また,微分幾何は$R^3$における曲線や曲面の性質を調べるもので,2つの曲線があり,それが合同変換(剛体運動)で 重ねあうときそれらは同じものとして扱います.
すなわち,1つの曲線が与えれたとき,その曲線を$R^3$内に置き,その曲線を媒介変数表示して調べるわけです. しかし,与えられて曲線の置き方や媒介変数表示はたくさんあるのですから, 曲線がある性質を持っているというならば,その性質は媒介変数表示 を変えてももっていなければならないし,合同変換でその性質が保たれる必要があります.
合同変換で保たれる性質というのは,相対的に見直し,座標の取り方によらない,すなわち 座標変換により保たれる性質を調べるという言い方をすることをあります.これは明らかの場合が多い.
しかし,媒介変数のとり方に よらないことは明らかでないのでそのつど証明する必要があります.

曲線の弧長について,この2点を調べましょう.
まず,曲線の弧長が媒介変数の取り方によらないことは,弧長すなわち曲線の長さは曲線そのものの性質ですから,その表示の方法によらないことは 当たり前のことですが,証明は次のように行います.
曲線
$C:\overrightarrow{f}(t)=\overrightarrow{f}(t(u))=\overrightarrow{g}(u)$
のとき考える.ただし$a\leqq t \leqq b, \ \ c\leqq u \leqq d$とする.
ただし,媒介変数の変換$t=t(u)$は次の2条件を仮定します.
(1) $t=t(u)$は$u$に関して3次以上の連続微分可能
(2) $t'(u)$はいたるところ0でない.

$t'(u)\not\equiv 0$であるから,
$t'(u)\text{>}0$または$t'(u)\text{<}0$である.
$t'(u)\text{>}0$のとき.
$\displaystyle \int_c^d|\overrightarrow{g'}(u)|du$
$\displaystyle =\int_c^d|\overrightarrow{f'}(t)\cdot t'(u)|du$
$\displaystyle =\int_a^b|\overrightarrow{f'}(t)|dt$
$t'(u)\text{<}0$のとき.
$t(d)=a,t(c)=b$である. $\displaystyle \int_c^d|\overrightarrow{g'}(u)|du$
$\displaystyle =\int_c^d|\overrightarrow{f'}(t)\cdot t'(u)|du$
$\displaystyle =\int_c^d|\overrightarrow{f'}(t)|\cdot -t'(u)du$
$\displaystyle =\int_a^b|\overrightarrow{f'}(t)|dt$
したがって,曲線の長さが媒介変数の取り方によらないことが分かった.

次に,曲線の長さが合同変換(剛体運動)によらないことは, 各点の速度ベクトル(接ベクトル)の大きさが変らないことから分かります.

弧長が合同変換で変らないことを重視するなら,次のように,曲線に内接する折線の長さの和の極限と 定義したほうが分かりやすい.

$C:\overrightarrow{f}(t) \ \ \ (a\leqq t\leqq b)$
において,区間$[a,b]$の分割
$\Delta :a=t_0$<$t_1<\cdots$<$t_{n-1}$<$t_n=b$
に対して,
$\overrightarrow{f}(t_i)=P_i$
とし,折れ線の長さの和
$\displaystyle \sum_{i=1}^nP_{i-1}P_i$・・・@
とする.分割の最大の幅を$|\Delta|$とすると,
$|\Delta|\to 0$
のとき,@は確定した極限値を持ち,その値を曲線
$C:\overrightarrow{f}(t) \ \ \ (a\leqq t\leqq b)$
の弧長と定義する.
2点間の距離は,合同変換で不変であるから,この定義なら,弧長が合同変換で不変であることが分かりやすい.
@の極限値が
$\displaystyle \int_a^b|\overrightarrow{f'}(t)|dt$
となることは少し説明が必要である.
$\overrightarrow{f}(t)=(x(t),y(t))$
のとき,区間$[a,b]$の分割
$\Delta :a=t_0$<$t_1$<$\cdots$<$t_{n-1}$<$t_n=b$
に対して,
$P_{i-1}P_i=\sqrt{(x(t_i)-x(t_{i-1}))^2+(y(t_i)-y(t_{i-1}))^2}$
であるので,平均値の定理より
$=\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\eta _i)^2}$
一方,
$\displaystyle \int_a^b|\overrightarrow{f'}(t)|dt$
の値は,
$\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\xi _i)^2}$
の和の極限であるから
$\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\eta _i)^2}$と$\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\xi _i)^2}$の差を調べる必要がある.
2つのベクトル$(a,b),(a,c)$で決まる三角形の三角不等式より
$|\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{a^2+c^2}|\leqq |b-c|$
が成り立つから,
$|\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\eta _i)^2}-\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\xi _i)^2}| \leqq |y'(\eta _i)-y'(\xi _i)|$
したがって,任意の正の数$\epsilon$に対して,区間の分割の最大幅を$|\Delta|$十分小さくとれば $|y'(\eta _i)-y'(\xi _i)|\leqq \epsilon$
が成り立つので,折れ線の長さの和の極限で定義する値が,速度ベクトルの大きさを積分することにより得られる値が一致することが 分かった.

曲線$\overrightarrow{f}$が与えられたとき,$t=t_0$からの曲線の長さ(以後弧長と呼ぶ)$s(t)$は
$\displaystyle s(t)=\int_{t_0}^t|\dfrac{d\overrightarrow{f}}{dt}|dt$
であるから,
$ds=|\dfrac{d\overrightarrow{f}}{dt}|dt$
が成り立つ.この式は
$ds^2=(d\overrightarrow{f})^2$
と書くことも多い.
また,曲線$\overrightarrow{f}(t)$の弧長$s=s(t)$は $s'(t)=|\overrightarrow{f'}(t)|$>$0$であるから,$s=s(t)$は逆関数を持ち,その関数を$t=t(s)$と表せば, 曲線$\overrightarrow{f}(t)$を弧長を媒介変数とした表示が得られる.すなわち
$\overrightarrow{f}=\overrightarrow{f}(t)=\overrightarrow{f}(t(s))$
この式を新しく$\overrightarrow{f}(s)$と表し,この表示法を自然媒介変数表示という.
$\overrightarrow{f}(s)$を曲線の自然媒介変数表示とすると, $|\overrightarrow{f'}(s)|=|\dfrac{\overrightarrow{f'}(t)}{s'(t)}|=1$
より
$|\overrightarrow{f'}(s)|=1$・・・@
が成り立ちます.
逆に@が成り立つとき, 曲線の接ベクトル大きさが1であるから$s$が弧長である.
したがって,次の命題が成り立つ.

命題
$s$を媒介変数とする曲線$\overrightarrow{f}(s)$て次がなりたつ.
$s$が弧長である $\Longleftrightarrow \ \ |\overrightarrow{f'}(s)|\equiv 1$

  曲線$\overrightarrow{f}$は常に弧長による媒介変数表示(自然媒介変数表示)で表せることが分かった.
もちろん,曲線の弧長による媒介変数表示もたくさんあるが,任意の2つの自然媒介変数表示の 変数をそれぞれ$s,s'$とすると,
$s'=\pm s+c_0$
であり,違いは始点をどこに取るかと,どちら向きに弧長を計算するかである.
すなわち,曲線の置かれる場所や置き方には関係ないことが わかる.これが大切なことで,曲線の研究はこの自然媒介変数用いることによりとても扱いやすくなる.


続く


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