本題に入りましょう．
　 ユークリッド空間$\mathbb{R}^3$における，媒介変数$t$を用いて表された曲線
$\boldsymbol{f}(t)=(f_1(t),f_2(t),f_3(t))$・・・�@
について，各成分の関数$f_i(t)$は何度でも微分可能で，かつ
$\boldsymbol{f'}(t)\not\equiv (0,0,0)$・・・・・�A
が成り立つとします．
微分の仮定については，いくらでも微分ができるということで，つまらない心配を避けるということです．
�Aを仮定することは少し説明が必要です．
�Aを仮定しないと，どうなるかを例を挙げて説明します．

例1
$\boldsymbol{f}(t)=(t^3,t^2)$
この曲線のグラフは右図のようになります.
$t^2,t^3$は共に微分可能ですが，グラフは原点でなめらかではありません．
$t=0$で$\boldsymbol{f}'(0)=(0,0)$となる．

例2
半径１の円によるサイクロイドは
$x=t-\sin t,y=1-\cos t$
です．$x,y$はともに$t$について微分可能であるが，この曲線は
$t=2n\pi$・・・�@
で微分可能ではありません．
実際�@においては
$(x'(t),y'(t))=(0,0)$
となります．

これらの例が示すとおり，
$\boldsymbol{f}'(t)\neq (0,0,0)$
を仮定しないと，尖点(cusp)を持つ場合も含み，議論を複雑するだけだからです．

これから扱う媒介変数表示された曲線
$\boldsymbol{f}'(t)=(x(t),y(t),z(t))$
は次の２条件を満たすものである．
$(1) \ x(t),y(t),z(t)$はそれぞれ３回以上連続微分可能である．
$(2)$ 任意の$t$で$(x'(t),y'(t),z'(t))\neq (0,0,0)$である．

条件$(2)$を満たす点を正則点といい，$(1),(2)$を満たす曲線を正則曲線という．
また，$(x'(t),y'(t),z'(t))= (0,0,0)$を満たす点を特異点という．

次に曲線の長さ（これから弧長という）を調べます．
曲線の長さが曲線のもつ固有な性質の一つであることはすでに述べた通りです．
曲線を点の運動と考えると，弧長は点の動いた距離ですから，点の速さの積分によって得られます， 速さは，速度ベクトル
$\boldsymbol{f'}(t)=(f_1'(t),f_2'(t),f_3'(t))$
の大きさですから，
$|\boldsymbol{f'}(t)|=\sqrt{f_1'(t)^2+f_2'(t)^2+f_3'(t)^2}$
となります．
したがって，曲線
$\boldsymbol{f}(t)=(f_1(t),f_2(t),f_3(t))$
の$a\leqq t \leqq b$における曲線の長さ$s$は
$\displaystyle s=\int_a^b|\boldsymbol{f'}(t)|dt$
$\displaystyle =\int_a^b\sqrt{f_1'(t)^2+f_2'(t)^2+f_3'(t)^2}dt$
です．

曲線を表す媒介変数表示はいくつでもあります．
例えば，原点を中心とする単位円の$x$軸の上の部分すなわち
$x^2+y^2=1,y\geqq 0$
は $(\cos \theta ,\sin \theta) \ \ (0\leqq \theta \leqq \pi)$
が標準的ですが，それだけではありません.
$(\cos 2\theta ,\sin 2\theta) \ \ (0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2})$
$(t,\sqrt{1-t^2}) \ \ (-1 \leqq t \leqq 1)$
等幾らでもあります．
さて，微分幾何は$\mathbb{R}^3$における曲線や曲面の固有の性質を調べるもので， ２つの曲線や曲面があり，それが合同変換（剛体運動）で 重ねあうときそれらは同じものとして扱います．
曲線が与えれたとき， その曲線を$\mathbb{R}^3$内に置き，媒介変数表示して調べるという手法をとります．
しかし，与えられた曲線の置き方や媒介変数表示はたくさんあるのですから， 曲線がある性質を持っているというならば，その性質は媒介変数表示 を変えてもっていなければならないし，剛体運動でその性質が保たれる必要があります．
これらを調べましょう．
これらは当たり前としてもかまわない．実際，曲線上に２点$P,Q$をとり弧$PQ$ の長さは曲線の媒介変数の取り方によらないことや， 曲線の場所を変えても変わらないことは当たり前のことです．
しかし，これから常に付きまとう議論ですから，慣れるためにも丁寧に行います．

(媒介変数の取り方によらないこと)
曲線
$C:\boldsymbol{f}(t)=\boldsymbol{f}(t(u))=\boldsymbol{g}(u)$
のとき考える．ただし$a\leqq t \leqq b, \ \ c\leqq u \leqq d$とする．
ただし，媒介変数の変換$t=t(u)$は次の２条件を仮定します．
(1) $t=t(u)$は$u$に関して３次以上の連続微分可能
(2) $t'(u)$はいたるところ０でない．

$t'(u)\not\equiv 0$であるから，
$t'(u)\text{＞}0$または$t'(u)\text{＜}0$である．
$t'(u)\text{＞}0$のとき．
$\displaystyle \int_c^d|\boldsymbol{g'}(u)|du$
$\displaystyle =\int_c^d|\boldsymbol{f'}(t)\cdot t'(u)|du$
$\displaystyle =\int_c^d|\boldsymbol{f'}(t)|t'(u)du$
$\displaystyle =\int_a^b|\boldsymbol{f'}(t)|dt$
$t'(u)\text{＜}0$のとき．
$t(d)=a,t(c)=b$である． $\displaystyle \int_c^d|\boldsymbol{g'}(u)|du$
$\displaystyle =\int_c^d|\boldsymbol{f'}(t)\cdot t'(u)|du$
$\displaystyle =\int_c^d|\boldsymbol{f'}(t)|\cdot -t'(u)du$
$\displaystyle =\int_a^b|\boldsymbol{f'}(t)|dt$
したがって，曲線の長さが媒介変数の取り方によらないことが分かった．


(弧長が剛体運動で変わらないこと)
これは，相対的に見直し，座標の取り方によらない，すなわち曲線は動かさず，座標の取り方を変えても曲線の長さは 変わらないことを示します．
2つの正規直交座標系$\{O;\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}, \{O';\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}$で
$\overrightarrow{OO'},\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3$を $\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$で表すと
$\overrightarrow{OO'}=a\boldsymbol{i}+b\boldsymbol{j}+c,\boldsymbol{k}$
$\boldsymbol{e}_1=a_{11}\boldsymbol{i}+a_{21}\boldsymbol{j}+a_{31}\boldsymbol{k}$
$\boldsymbol{e}_2=a_{12}\boldsymbol{i}+a_{22}\boldsymbol{j}+a_{32}\boldsymbol{k}$
$\boldsymbol{e}_3=a_{13}\boldsymbol{i}+a_{23}\boldsymbol{j}+a_{33}\boldsymbol{k}$
$\boldsymbol{i}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \boldsymbol{j}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \boldsymbol{k}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
のとき$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3$は次のように行列で表すことができる．
$\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2&\boldsymbol{e}_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} =A$
となる．
$\boldsymbol{e}_i\cdot \boldsymbol{e}_i=1$
$\boldsymbol{e}_i\cdot \boldsymbol{e}_j=0 \ \ (i\neq j)$
である．ここで座標系は右手系すなわち $(\boldsymbol{e}_1\times \boldsymbol{e}_2)\cdot \boldsymbol{e}_3 > 0$とすれば
$\det A=(\boldsymbol{e}_1\times \boldsymbol{e}_2)\cdot \boldsymbol{e}_3=1$
を満たす．
したがって，行列$A$は特殊直交群$SO(3)$の要素である$(\because \ ^tAA=E,\det A=1)$．
もちろん，正規直交座標系の条件から右手系を外せば直交群$O(3)$となる．
逆に$\mathbb{R}^3$上の点と$SO(3)$の要素を１つ与えれば，剛体運動を１つ与えるから， ユークリッド空間$\mathbb{R}^3$上の合同変換全体は
$\mathbb{R}^3\times SO(3)$
と表せる．
さて話を戻そう．
点$P$が座標系$\{O;\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$で$(x,y,z)$と表せ， 座標系$\{O';\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}$では$(u,v,w)$と表せるとき，
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'P}$
より
$\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}a_{11}u(t)+a_{12}b(t)+a_{13}w(t)\\a_{21}u(t)+a_{22}v(t)+a_{23}w(t) \\a_{31}u(t)+a_{32}v(t)+a_{33}w(t)\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}+A\begin{pmatrix}u(t)\\v(t)\\w(t)\end{pmatrix}$
したがって
$\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}u'(t)\\v'(t)\\w'(t)\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}u'(t)\\v'(t)\\w'(t)\end{pmatrix}\cdot A\begin{pmatrix}u'(t)\\v'(t)\\w'(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u'(t)\\v'(t)\\w'(t)\end{pmatrix}\cdot ^tAA\begin{pmatrix}u'(t)\\v'(t)\\w'(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u'(t)\\v'(t)\\w'(t)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}u'(t)\\v'(t)\\w'(t)\end{pmatrix} $
剛体運動で，ベクトル大きさが変わらないことが示された．
弧長はベクトルの大きさの積分であるあるから，剛体運動で弧長が変わらないことが示された．

弧長が合同変換で変らないことは，次のように，曲線に内接する折線の長さの和の極限と 定義したほうが分かりやすいかもしれない．

$C:\boldsymbol{f}(t) \ \ \ (a\leqq t\leqq b)$
において，区間$[a,b]$の分割
$\Delta :a=t_0$＜$t_1<\cdots$＜$t_{n-1}$＜$t_n=b$
に対して，
$\boldsymbol{f}(t_i)=P_i$
とし，折れ線の長さの和
$\displaystyle \sum_{i=1}^nP_{i-1}P_i$・・・�@
を考える．分割の最大の幅を$|\Delta|$とすると，
$|\Delta|\to 0$
のとき，�@は確定した極限値を持ち，その値を曲線
$C:\boldsymbol{f}(t) \ \ \ (a\leqq t\leqq b)$
の弧長と定義する．
２点間の距離は，剛体運動で不変であるから，この定義なら， 弧長が合同変換で不変であることが分かりやすい．
�@の極限値が
$\displaystyle \int_a^b|\boldsymbol{f'}(t)|dt$
となることは少し説明が必要である．
$\boldsymbol{f}(t)=(x(t),y(t))$
のとき，区間$[a,b]$の分割
$\Delta :a=t_0$＜$t_1$＜$\cdots$＜$t_{n-1}$＜$t_n=b$
に対して，
$P_{i-1}P_i=\sqrt{(x(t_i)-x(t_{i-1}))^2+(y(t_i)-y(t_{i-1}))^2}$
であるので，平均値の定理より
$=\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\eta _i)^2}(t_i-t_{i-1}), \ \ (\xi _i,\eta_i\in (t_{i-1},t_i))$
一方，
$\displaystyle \int_a^b|\boldsymbol{f'}(t)|dt$
の値は，
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\xi _i)^2}(t_i-t_{i-1})$
であるから
$\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\eta _i)^2}$と$\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\xi _i)^2}$の差を調べる必要がある．
２つのベクトル$(a,b),(a,c)$で決まる三角形の三角不等式より
$|\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{a^2+c^2}|\leqq |b-c|$
が成り立つから，
$|\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\eta _i)^2}-\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\xi _i)^2}| \leqq |y'(\eta _i)-y'(\xi _i)|$
$y'$は連続より，任意の正の数$\epsilon$に対して，区間の分割の最大幅$|\Delta|$を十分小さくとれば $|y'(\eta _i)-y'(\xi _i)|\leqq \epsilon$
が成り立つ.したがって
$\displaystyle |\sum_{i=1}^n(\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\xi _i)^2}-\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\eta _i)^2})|(t_i-t_{i-1})$
$\displaystyle \leqq \sum_{i=1}^n|\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\xi _i)^2}-\sqrt{x'(\xi _i)^2+y'(\eta _i)^2}|(t_i-t_{i-1})$
$\leqq \epsilon (b-a)$
これで折れ線の長さの和の極限で定義する値と，速度ベクトルの大きさを積分することにより得られる値が一致することが 分かった．

曲線$\boldsymbol{f}$が与えられたとき，$t=t_0$からの曲線の長さ(以後弧長と呼ぶ)$s(t)$は
$\displaystyle s(t)=\int_{t_0}^t|\dfrac{d\boldsymbol{f}}{dt}|dt$
であるから，
$ds=|\dfrac{d\boldsymbol{f}}{dt}|dt$
が成り立つ．この式は
$ds^2=(d\boldsymbol{f})^2$
と書くことも多い．

曲線$\boldsymbol{f}(t)$の弧長$s=s(t)$は $s'(t)=|\boldsymbol{f'}(t)|$＞$0$であるから，$s=s(t)$は逆関数を持ち，その関数を$t=t(s)$と表せば， 曲線$\boldsymbol{f}(t)$の弧長を媒介変数とした表示が得られる．すなわち
$\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}(t)=\boldsymbol{f}(t(s))$
この式を新しく$\boldsymbol{f}(s)$と表し，この表示法を自然媒介変数表示という．
$\boldsymbol{f}(s)$を曲線の自然媒介変数表示とすると， $|\boldsymbol{f'}(s)|=|\dfrac{\boldsymbol{f'}(t)}{s'(t)}|=1$
より
$|\boldsymbol{f'}(s)|=1$・・・�@
が成り立ちます．
逆に�@が成り立つとき， 曲線の接ベクトル大きさが１であるから$s$が弧長である．
したがって，次の命題が成り立つ．

命題
$s$を媒介変数とする曲線$\boldsymbol{f}(s)$て次がなりたつ．
$s$が弧長である　$\Longleftrightarrow \ \ |\boldsymbol{f'}(s)|\equiv 1$

　 曲線$\boldsymbol{f}$は常に弧長による媒介変数表示（自然媒介変数表示）で表せることが分かった．
もちろん，曲線の弧長による媒介変数表示もたくさんあるが，任意の２つの自然媒介変数表示の 変数をそれぞれ$s,s'$とすると，
$s'=\pm s+c_0$
であり，違いは始点をどこに取るかと，どちら向きに弧長を計算するかである．
すなわち，曲線の置かれる場所や置き方には関係ないことが わかる．これが大切なことで，曲線の研究はこの自然媒介変数用いることになる．


続く


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