4.曲率とその意味

  この節では,曲線の曲率を学びます.曲率は,微分幾何の根幹となる大切な概念です.
まず,定義から入ります. 曲線を自然媒介変数(弧長を媒介変数)で考えたときの 加速度ベクトル$\overrightarrow{f}”(s)$大きさ
$|\overrightarrow{f}”(s)|=k(s)$
を点$\overrightarrow{f}(s)$における曲率といいます.
この図形的意味が大切です.

まず,一般の関数$y=f(x)$の微分の図形的意味から考えましょう.
$f'(x)=a$とは
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \to a \ \ \ (\Delta \to0)$
ですから,同じ増加率で$x$が$1$だけ増加すると$y$が$a$だけ増加するという意味です.すなわち微分係数とは同じ状況を単位量だけ 続けたときの$y$の変化量のことです.
曲率の意味を考えましょう.
$\overrightarrow{f'}(s)=\alpha (s)$
とおくと,$s$は弧長ですから
$|\alpha (s)│\equiv 1$
です.
右の(figure1)の
$\overrightarrow{f'}(s),\overrightarrow{f'}(s+\Delta s)$
はそれぞれ$\alpha (s),\alpha (s+\Delta s)$ のことです.
ここで2つのベクトル$\alpha (s+\Delta s)と\alpha(s)$のなす角を
$\Delta \theta (=\angle \overrightarrow{f'}(s)O\overrightarrow{f'}(s+\Delta s))$
とおくと,
$k(s)=|\overrightarrow{f}"(s)|=|\alpha '|$

$|\dfrac{\alpha (s+\Delta s)-\alpha (s)}{\Delta s}|=|\dfrac{\alpha (s+\Delta s)-\alpha (s)}{\Delta \theta}| \cdot |\dfrac{\Delta \theta}{\Delta s}|$
の$\Delta s \to 0$のときの極限です.
一方,$|\alpha |=1$より
$\alpha (s+\Delta s)-\alpha (s) \fallingdotseq \Delta \theta$
($\because$ 角度は単位円の円弧の長さで定義している)
$\therefore \dfrac{d \alpha}{d \theta}=1$
したがって,
$k(s)=\dfrac{d \theta }{ds}$

となります.


さて,$\dfrac{d \theta }{ds}$の意味ですが,速度ベクトルの角の変化の曲線の長さに対する変化率です. すなわち,同じ変化率で長さが1だけ動いたときの角の変化量が $k(s)$ということです.曲率$k(s)$が一定である曲線が何かはあとで学ぶことですが, 一つの平面上にある,曲率一定の曲線は円です.
したがって,曲率が$k(s)$とは1つの円周上を1だけ動くとき, 2つの速度ベクトル$\alpha (s)$と$\alpha (s+1)$のなす角が$k(s)$だということです.2つの ベクトルのなす角は,その法線ベクトルのなす角で計りますので,それは2つの半径のなす角になります.
この円の半径を$r$とすると
$rk(s)=1$
となるので
$r=\dfrac{1}{k(s)}$
となります.この半径$\dfrac{1}{k(s)}$を点$P$における曲線の曲率半径といいます.
要するに曲率とは,その点における曲がり方を円で表したもので,その円を曲率円といい, 半径が曲率半径でその逆数が曲率となります.

弧長が媒介変数でない一般の媒介変数表示の曲線$\overrightarrow{f}(t)$の曲率の求め方は後で、捩率とともに 計算します.

  5.捩率


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