この節では，曲線の曲率を学びます．曲率は，微分幾何の根幹となる大切な概念です． まず，定義から入ります． 曲線を自然媒介変数（弧長を媒介変数）で考えたときの 加速度ベクトル$\boldsymbol{f}''s)$大きさ $|\boldsymbol{f}''(s)|=k(s)$ を点$\boldsymbol{f}(s)$における曲率といいます． 曲率の図形的意味を理解することが大切です． まず，一般の関数$y=f(x)$の微分の図形的意味から考えましょう． $f'(x)=a$とは $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \to a \ \ \ (\Delta \to0)$ ですから，同じ増加率で$x$が$1$だけ増加すると$y$が$a$だけ増加するという意味です．すなわち微分係数とは同じ状況を単位量だけ 続けたときの$y$の変化量とみることができる． 曲率の意味を考えましょう． 
$\boldsymbol{f'}(s)=\boldsymbol{\alpha} (s)$とおくと，$s$は弧長ですから $|\boldsymbol{\alpha} (s)│\equiv 1$ です． 右図の $\boldsymbol{f'}(s),\boldsymbol{f'}(s+\Delta s)$ はそれぞれ$\boldsymbol{\alpha} (s)，\boldsymbol{\alpha} (s+\Delta s)$ のことで右側は２つのベクトルの始点をそろえたもの． ここで２つのベクトル$\boldsymbol{\alpha} (s)と\boldsymbol{\alpha}(s+\Delta s)$のなす角を $\Delta \theta (=\angle \boldsymbol{f'}(s+\Delta s)O\boldsymbol{f'}(s))$ とおくと， $k(s)=|\boldsymbol{f}''(s)|=|\boldsymbol{\alpha} '|$ は $\left|\dfrac{\boldsymbol{\alpha} (s+\Delta s) -\boldsymbol{\alpha} (s)}{\Delta s}\right| =\left|\dfrac{\boldsymbol{\alpha} (s+\Delta s)- \boldsymbol{\alpha} (s)}{\Delta \theta}\right| \cdot \left|\dfrac{\Delta \theta}{\Delta s}\right|$ の$\Delta s \to 0$のときの極限です． 一方，$|\boldsymbol{\alpha} |=1$より $\boldsymbol{\alpha} (s+\Delta s)-\boldsymbol{\alpha} (s) \fallingdotseq \Delta \theta$ ($\because$ 角度は単位円の円弧の長さで定義している) $\therefore \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d \theta}=1$ したがって， $k(s)=\left|\dfrac{d \theta }{ds}\right|$ となります．式から分かるように曲率が負になることはありません． 
微分は接線の傾きという意味があります．曲率についても$\frac{d \theta }{ds}$の図形的
意味を明確にしましょう．曲率は速度ベクトルの角の変化の曲線の長さに対する変化率です． すなわち，同じ変化率で長さが１だけ動いたときの角の変化量が $k(s)$ということです．曲率$k(s)$が一定である曲線が何かはあとで学ぶことですが， 平面上の曲率一定の曲線は円です． 円で曲率の意味を考えます． 曲率が$k(s)$とは１つの円周上を１だけ動くとき， ２つの速度ベクトル$\boldsymbol{\alpha} (s)$と$\boldsymbol{\alpha} (s+1)$のなす角が$k(s)$だということです．２つの ベクトルのなす角は，その法線ベクトルのなす角で計りますので，それは２つの半径のなす角になります． この円の半径を$r$とすると $rk(s)=1$ となるので $r=\dfrac{1}{k(s)}$ となります． すなわち，曲率が$k(s)$とは接触平面上で考えると，その点において 半径$\frac{1}{k(s)}$の円と同じ曲がり方であるという意味です． 半径$\frac{1}{k(s)}$を点$P$における曲線の曲率半径といいます． 要するに曲率とは，その点における曲がり方を円で表したもので，その円を曲率円といい， 半径が曲率半径でその逆数が曲率となります． なお平面曲線では，２次導関数まで一致する(2次の接触)円の半径をその点の曲率半径 と定義し曲率は曲率半径の逆数と定義します．それは曲線の曲率にあります． 弧長が媒介変数でない一般の媒介変数表示の曲線$\boldsymbol{f}(t)$の曲率の求め方は後で、捩率とともに 計算します． 5.捩率 微分幾何の目次 |