4.曲率とその意味

  この節では,曲線の曲率を学びます.曲率は,微分幾何の根幹となる大切な概念です.
まず,定義から入ります. 曲線を自然媒介変数(弧長を媒介変数)で考えたときの 加速度ベクトル$\boldsymbol{f}''s)$大きさ
$|\boldsymbol{f}''(s)|=k(s)$
を点$\boldsymbol{f}(s)$における曲率といいます.
曲率の図形的意味を理解することが大切です.

まず,一般の関数$y=f(x)$の微分の図形的意味から考えましょう.
$f'(x)=a$とは
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \to a \ \ \ (\Delta \to0)$
ですから,同じ増加率で$x$が$1$だけ増加すると$y$が$a$だけ増加するという意味です.すなわち微分係数とは同じ状況を単位量だけ 続けたときの$y$の変化量とみることができる.
曲率の意味を考えましょう.
$\boldsymbol{f'}(s)=\boldsymbol{\alpha} (s)$
とおくと,$s$は弧長ですから
$|\boldsymbol{\alpha} (s)│\equiv 1$
です.
右図の
$\boldsymbol{f'}(s),\boldsymbol{f'}(s+\Delta s)$
はそれぞれ$\boldsymbol{\alpha} (s),\boldsymbol{\alpha} (s+\Delta s)$ のことで右側は2つのベクトルの始点をそろえたもの.
ここで2つのベクトル$\boldsymbol{\alpha} (s)と\boldsymbol{\alpha}(s+\Delta s)$のなす角を
$\Delta \theta (=\angle \boldsymbol{f'}(s+\Delta s)O\boldsymbol{f'}(s))$
とおくと,
$k(s)=|\boldsymbol{f}''(s)|=|\boldsymbol{\alpha} '|$

$\left|\dfrac{\boldsymbol{\alpha} (s+\Delta s) -\boldsymbol{\alpha} (s)}{\Delta s}\right| =\left|\dfrac{\boldsymbol{\alpha} (s+\Delta s)- \boldsymbol{\alpha} (s)}{\Delta \theta}\right| \cdot \left|\dfrac{\Delta \theta}{\Delta s}\right|$
の$\Delta s \to 0$のときの極限です.
一方,$|\boldsymbol{\alpha} |=1$より
$\boldsymbol{\alpha} (s+\Delta s)-\boldsymbol{\alpha} (s) \fallingdotseq \Delta \theta$
($\because$ 角度は単位円の円弧の長さで定義している)
$\therefore \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d \theta}=1$
したがって,
$k(s)=\left|\dfrac{d \theta }{ds}\right|$

となります.式から分かるように曲率が負になることはありません.

微分は接線の傾きという意味があります.曲率についても$\frac{d \theta }{ds}$の図形的 意味を明確にしましょう.
曲率は速度ベクトルの角の変化の曲線の長さに対する変化率です. すなわち,同じ変化率で長さが1だけ動いたときの角の変化量が $k(s)$ということです.曲率$k(s)$が一定である曲線が何かはあとで学ぶことですが, 平面上の曲率一定の曲線は円です.
円で曲率の意味を考えます.
曲率が$k(s)$とは1つの円周上を1だけ動くとき, 2つの速度ベクトル$\boldsymbol{\alpha} (s)$と$\boldsymbol{\alpha} (s+1)$のなす角が$k(s)$だということです.2つの ベクトルのなす角は,その法線ベクトルのなす角で計りますので,それは2つの半径のなす角になります.
この円の半径を$r$とすると
$rk(s)=1$
となるので
$r=\dfrac{1}{k(s)}$
となります.
すなわち,曲率が$k(s)$とは接触平面上で考えると,その点において 半径$\frac{1}{k(s)}$の円と同じ曲がり方であるという意味です.
半径$\frac{1}{k(s)}$を点$P$における曲線の曲率半径といいます.
要するに曲率とは,その点における曲がり方を円で表したもので,その円を曲率円といい, 半径が曲率半径でその逆数が曲率となります.
なお平面曲線では,2次導関数まで一致する(2次の接触)円の半径をその点の曲率半径 と定義し曲率は曲率半径の逆数と定義します.それは曲線の曲率にあります.
弧長が媒介変数でない一般の媒介変数表示の曲線$\boldsymbol{f}(t)$の曲率の求め方は後で、捩率とともに 計算します.

  5.捩率


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