空間曲線は，フレネ座標系という動座標を用いて性質を調べました．曲面でも同じように出来るのでしょうか． この問題を考えます．なお，この章で扱う曲率形式が次の章で重要な役割を演じます． $\S1.$正規直交基底 まず，接ベクトルおよびその正規直交基底，外微分を説明する． ユークリッド空間\(\mathbb{R}^3\)における曲面 \(F:f(u,v)\) 上で考える． なお，曲面\(f(u,v)\)とはベクトル値関数で \(f(u,v)=\begin{pmatrix}f^1(u,v)\\f^2(u,v)\\f^3(u,v)\end{pmatrix}\) のこと.本来は$\overrightarrow{f}(u,v)$とベクトル表記するべきであるが，ここでは\(f(u,v)\)と書きベクトル表記はしない． 次に，たとえば\(f_u,f_v,f_{uv}\)はベクトルで，それぞれ \(f_u=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f^1}{\partial u}\\ \dfrac{\partial f^2}{\partial u}\\ \dfrac{\partial f^3}{\partial u}\end{pmatrix}, f_v=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f^1}{\partial v}\\ \dfrac{\partial f^2}{\partial v}\\ \dfrac{\partial f^3}{\partial v}\end{pmatrix}, f_{uv}=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial ^2f^1}{\partial u\partial v}\\ \dfrac{\partial ^2f^2}{\partial u\partial v}\\ \dfrac{\partial ^2f^3}{\partial\partial v}\end{pmatrix}\) のことである． さらに，\(df\)もベクトルで \(df=\begin{pmatrix}df^1\\ df^2\\ df^3\end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f^1}{\partial u}du+\dfrac{\partial f^1}{\partial v}dv\\ \dfrac{\partial f^2}{\partial u}du+\dfrac{\partial f^2}{\partial v}dv\\ \dfrac{\partial f^3}{\partial u}du+\dfrac{\partial f^3}{\partial v}dv \end{pmatrix}\) \(=f_udu+f_vdv\) である． さて，接ベクトルは通常基底\(\{f_u,f_v,n\}\)を用いて議論を進めるのであるが， \(f_u,f_v\)よりシュミットの直交化より得られる， 正規直交基底\(\{e_1,e_2,e_3\}\)を用いて曲面を扱おうというのです.これは，曲線論の 動座標のアイデアを曲面論に導入しようということです． ここで\(e_3=n\)である．もちろん，\(e_1,e_2\)が接ベクトルである座標曲線が存在するというわけではない． これからの議論で，用いるのは外微分だけで共変微分は用いないところに注目してほしい． なお，これから述べる内容は 小林昭七著 曲線と曲面の微分幾何 裳華房 長野正著 曲面の数学 培風館 に見事な解説があるので参考にされるとよい． 曲面 \(F:f(u,v)\) の正規直交ベクトル場を\(e_1,e_2\)とする．\(e_1,e_2\) はどのようにとってもよいが，\(e_1,e_2\)と\(f_u,f_v\) は同じ向き，すなわち，\(e_1\times e_2\) と\(f_u\times f_v\)は同じ向きのようにとる． \(e_3=e_1\times e_2\) で定義し正規直交基底\(\{e_1,e_2,e_3\}\)で曲面を調べようというのです． \(f_u=ae_1+be_2\) \(f_v=ce_1+de_2\) とおく． \(df=f_udu+f_vdv\) \(=(ae_1+be_2)du+(ce_1+de_2)dv\) \(=(adu+cdv)e_1+(bdu+ddv)e_2\) ここで \(\omega _1=adu+cdv,\omega _2=bdu+ddv\) とおくと \(df=\omega _1e_1+\omega _2e_2\) したがって，第１基本形式\(I\)は \(I=df\cdot df=(\omega _1e_1+\omega _2e_2)\cdot (\omega _1e_1+\omega _2e_2)\) \(=\omega _1\omega _1+\omega _2\omega _2\) ここまでを行列で表そう． \(A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) とおく． \(\begin{pmatrix} f_u \\f_v\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} \) より $df=\begin{pmatrix} du & dv \end{pmatrix}\begin{pmatrix} f_u \\ f_v \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} du & dv \end{pmatrix}A\begin{pmatrix} e_1 \\ e_1 \end{pmatrix}$ 一方 $df=\begin{pmatrix} \omega _1 & \omega _2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix}$ より \(\begin{pmatrix} \omega _1 & \omega _2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} du & dv \end{pmatrix}A\) 次に\(e_i\)の微分を計算しよう． $de_i=\omega _{i1}e_1+\omega _{i2}e_2+\omega _{i3}e_3 \ \ (i=1,2,3)$ とおく． $e_i\cdot e_j=\delta _{ij}$であるから $de_i\cdot e_j+e_i\cdot de_j=0$ $\therefore \omega _{ij}+\omega _{ji}=0,\omega _{ii}=0$ したがって，まとめると次のようになる． $\begin{cases} df=\omega _1e_1+\omega _2e_2 \\ de_1=\omega _{12}e_2+\omega _{13}e_3 \\ de_2=\omega _{21}e_1+\omega _{23}e_3 \\ de_3=\omega _{31}e_1+\omega _{32}e_2 \end{cases}$ $\omega _{ij}=-\omega _{ji}$ であるから，必要な微分形式は $\{\omega _1,\omega _2,\omega _{12},\omega _{13},\omega _{23}\} \ \ \cdots (1)$ であり，これらの外微分が$(1)$で表せれば曲面上の外微分が自由にできることになる．それを求めよう． 用いるのは 任意の微分形式$\omega$に対して $dd\omega =0$ がなりたつという外微分の性質である．これをポアンカレの補題という． $0=d(df)=(d\omega _1)e_1-\omega _1\wedge de_1+(d\omega _2)e_2-\omega _2\wedge de_2$ $=(d\omega _1)e_1-\omega _1\wedge (\omega _{12}e_2+\omega _{13}e_3) +(d\omega _2)e_2-\omega _2\wedge (\omega _{21}e_1+\omega _{23}e_3)$ $=(d\omega _1-\omega _2\wedge \omega _{21})e_1+(d\omega _2-\omega _1\wedge \omega _{12})e_2 +(-\omega _1\wedge \omega _{13}-\omega _2\wedge \omega _{23})e_3$ $\therefore d\omega _1=\omega _2\wedge \omega _{21},d\omega _2=\omega _1\wedge \omega _{12}, \omega _1\wedge \omega _{13}+\omega _2\wedge \omega _{23}=0$ 次に,$d(de_1),d(de_2),d(de_3)$を計算する． $0=d(de_1)=d(\omega _{12}e_2+\omega _{13}e_3)$ $=d\omega _{12}e_2-\omega _{12}\wedge (\omega _{21}e_1+\omega _{23}e_3) +d\omega _{13}e_3-\omega _{13}\wedge (\omega _{31}e_1+\omega _{32}e_2)$ $=(d\omega _{12}-\omega _{13}\wedge \omega _{32})e_2 +(d\omega _{13}-\omega _{12}\wedge \omega _{23})e_3$ $\therefore d\omega _{12}=\omega _{13}\wedge \omega _{32}, d\omega _{13}=\omega _{12}\wedge \omega _{23}$ $0=d(de_2)=d(\omega _{21}e_1+\omega _{23}e_3)$ $=d\omega _{21}e_1-\omega _{21}\wedge (\omega _{12}e_2+\omega _{13}e_3) +d\omega _{23}e_3-\omega _{23}\wedge (\omega _{31}e_1+\omega _{32}e_2)$ $=(d\omega _{21}-\omega _{23}\wedge \omega _{31})e_1 +(d\omega _{23}-\omega _{21}\wedge \omega _{13})e_3$ $\therefore d\omega _{21}=\omega _{23}\wedge \omega _{31}, d\omega _{23}=\omega _{21}\wedge \omega _{13}$ まだ$dde_3$は計算していないが，ここまでで,$d\omega _{12},d\omega _{13},d\omega _{23}$ がわかった．$dde_3$も計算しよう． $0=d(de_3)=d(\omega _{31}e_1+\omega _{32}e_2)$ $=d\omega _{31}e_1-\omega _{31}\wedge (\omega _{12}e_2+\omega _{13}e_3) +d\omega _{32}e_2-\omega _{32}\wedge (\omega _{21}e_1+\omega _{23}e_3)$ $=(d\omega _{31}-\omega _{32}\wedge \omega _{21})e_1 +(d\omega _{32}-\omega _{31}\wedge \omega _{12})e_2$ $\therefore d\omega _{31}=\omega _{32}\wedge \omega _{21}, d\omega _{32}=\omega _{31}\wedge \omega _{12}$ このように新しいものは出てこない． ここまでの内容をまとめよう． 曲面 $F:f(u,v)$ 上に正規直交基底 $\{e_1,e_2,e_3\}$ を定め， $\omega _i=df\cdot e_i,\omega _{ij}=de_i\cdot e_j \ \ \cdots (2)$ で$\omega _i,\omega _{ij}$ を定めると $\omega _{ij}+\omega _{ji}=0$ であり， $\begin{cases} df=\omega _1e_1+\omega _2e_2 \\ de_1=\omega _{12}e_2+\omega _{13}e_3 \\ de_2=\omega _{21}e_1+\omega _{23}e_3=-\omega _{12}e_1+\omega _{23}e_3 \\ de_3=\omega _{31}e_1+\omega _{32}e_2=-\omega _{13}e_1-\omega _{23}e_2 \end{cases} \ \ \ \cdots (\sharp)$ となる．この3つの方程式$(\sharp)$を曲面の正規直交基底の運動方程式という． さらに５つの微分形式 $\{\omega _1,\omega _2,\omega _{12},\omega _{13},\omega _{23}\}$ について次が成り立つ． $\begin{cases} d\omega _1=\omega _{12}\wedge \omega _2 \\ d\omega _2=\omega _{21}\wedge \omega _1 \\ d\omega _{12}=\omega _{13}\wedge \omega _{32} \\ d\omega _{13}=\omega _{12}\wedge \omega _{23} \\ d\omega _{23}=\omega _{21}\wedge \omega _{13} \\ \end{cases} \ \ \ \cdots (\flat)$ この５つの方程式$(\flat)$を曲面の構造方程式という． 曲面 $F:f(u,v)$ が与えられたとき，(2)で $\{\omega _1,\omega _2,\omega _{12},\omega _{13},\omega _{23}\}$ を定めると$(\sharp),(\flat)$が成り立つ． 数学では，逆が大切です．この命題の逆がいわゆる曲面の基本定理と呼ばれるものです．すなわち ５つの微分形式 $\{\omega _1,\omega _2,\omega _{12},\omega _{13},\omega _{23}\}$ が$(\flat)$を満たすとき，$(\sharp)$を満たす曲面とその上の正規直交基底が存在する． これを解くには偏微分方程式を解くことになるのですが，$(\sharp)$が可積分条件（解けるための条件） になっています(曲面の基本定理)． ここで，ガウスの行った曲面の構造方程式を導き出す方法を見てみましょう (曲面の第１基本形式と第２基本形式の関係). ガウスは， $f_{ijk}=f_{ikj}$ が成り立つことを利用して求めました．ちなみにベクトル$f_1,f_2$の係数より得られる式がガウスの方程式で ベクトル$n$の係数より得られる式がコダッチの方程式です． 一方ここでは $dde_i=0$ より導き出しています． 任意の微分形式$\omega $に対して $dd\omega=0$ が成り立つことの証明を見ればわかりますが，この根拠となるのは，偏微分が順番によらないことです．ですから $dde_i=0$より性質$(\flat)$が導き出されるのに何ら不思議はありません． ここで計算した$dde_1,dde_2$における$e_2,e_1$の係数である $d\omega _{12}=\omega _{13}\wedge \omega _{32}$ をガウスの方程式といい， $e_3$の係数である $d\omega _{13}=\omega _{12}\wedge \omega _{23}$ $d\omega _{23}=\omega _{21}\wedge \omega _{13}$ をコダッチの方程式という． なお，後でガウスの方程式より曲面のガウス曲率が導かれます． 続く 微分幾何の目次 |