1.∠Cが直角の直角三角形ABCを２つ斜辺で重ねた右図のような長方形ADBCをBのまわりに９０°回転したものを長方形BC'A'D'とする． （△A'BAの面積）＝（台形A'D'CAの面積）ー２（△ABCの面積） を計算して，三平方の定理を証明せよ． 解答 
2.E,Fはそれぞれ正方形ABCDの辺BC,CD上の点で， BE+DF=EF を満たしている． 線分AE,AFと対角線との交点をそれぞれP,Qとするとき，５角形PECFQは円に内接することを証明せよ． 解答 
3.直角二等辺三角形ABCの斜辺BC上に２点D,Eを ∠DAE=９０° を満たすようにとる． BD=x，DE=y，EC=z のとき，x,y,zを３辺とする三角形の形状を調べよ． 解答 
4.△ABCの２辺AB,ACをそれぞれ１辺とする二つの正方形ABDE,ACFGを△ABCの外側に作るとき，辺BCの中点をMとすれば EG=２AM であることを証明せよ． 解答 
5正6角形$ABCDEF$の対角線$AC,CE$上に点$M,N$をそれぞれ $AM:AC=CN:CE=r:1$ を満たすようにとる．3点$B,M,N$が一直線上となる$r$の値を求めよ． 解答 
6同じ大きさの正方形$ABCD$と正方形$PQRS$がある．正方形$PQRS$をその中心が正方形$ABCD$のいずれかの頂点に置いたとき， ２つの正方形の共通部分の面積は１つの正方形の$\dfrac{1}{4}$であることを証明せよ． 解答 
7$\triangle ABC$は$BC$が斜辺の直角二等辺三角形である．$D$を辺$BC$上の任意の点とすると $BD^2+DC^2=2AD^2$ が成り立つことを証明せよ． 解答 
8$\triangle ABC$は$AB=AC$の二等辺三角形であり，点$D$は$\triangle ABC$の内部の点とする． このとき次が成り立つことを 証明せよ． $DC>DB \Longleftrightarrow \angle ADB > \angle ADC$ 解答 
9（ナポレオン三角形）$\triangle ABC$の各辺の外側に正三角形をつくり，それぞれの正三角形 の中心を$O_1,O_2,O_3$とする．このとき$\triangle O_1O_2O_3$は正三角形である． 証明 
10(ガモフの宝探し問題)無人島に宝が埋まっている．そのありかを示す文章は次の通りである． 島には裏切り者を処刑する絞首台と一本の樫の木と一本の松の木がある． まず絞首台の前に立ち，樫の木に向かって歩数を数えながらまっすぐ歩き，樫の木にぶつかったら 直角に右に曲がり，同じ歩数だけ歩いて杭を打つ．絞首台に戻り，今度は松の木に向かって歩数を数えながらまっすぐ歩き， ぶつかったら直角に左に曲がり，同じ歩数だけ歩いてまた杭を打つ．宝は２つの杭の中間点にある． ある若者がこの文章を手にいれ，その無人島に行ったところ，樫の木と松の木はあるが絞首台は見つからない．時間の経過で 絞首台は朽ち落ちてしまったようだ．いたずらに穴を掘っても見つからず若者はあきらめてこの島を後にした． この文章から宝の場所を見つけましょう．図でいえば，$A$の場所が分からないとき$Z$を求める方法を考えなさいということです． 解答 
11.$\triangle ABC$の辺$AB,AC$の外側に正方形$ABDE,ACFG$を作る．EGの中点をMとするとき $AM \perp BC,2AM=BC$ が成り立つことを証明せよ． 解答 
12.正方形$ABCD$と正方形$A'B'C'D'$は共通の中心Oをもつ．このとき $AA' \perp BB'$ が成り立つ 証明 
13.Pは正三角形$ABC$の内部の点で $AP=3,BP=4,CP=5$ を満たしている．$\triangle ABC$の面積$S$を求めよ． 解答 
14.長方形ABCDは３つの正方形ABEF,FEGH,HGCDが横に並んだものである．このとき $\angle HBG+\angle DBC=45^{\circ}$ が成り立つ． 証明 
15.正6角形ABCDEFのBDの中点をG,EFの中点をHとすると，$\triangle AGH$は正三角形である. 証明 
16.円$O$が$\triangle ABC$と各辺とそれぞれ２点で交わっており，円$O$と辺$BC$との交点を$A_1,A_2$，辺$CA$との交点を$B_1,B_2$, 辺$AB$との交点を$C_1,C_2$とする． もし，$A_1$における$BC$の垂線，$B_1$における$CA$の垂線,$C_1$における$AB$の垂線が一点で交わるなら， $A_2$における$BC$の垂線，$B_2$における$CA$の垂線,$C_2$における$AB$の垂線も一点で交わる． 証明 
17.$\triangle ABC$は$AB$を斜辺とする直角三角形で，$M$は$AB$の中点である． $AC$上の点$P$を，$BC$上の点$Q$を $\angle PMQ=90^{\circ}$ を満たすようにとると $AP^2+BQ^2=PQ^2$ が成り立つ． 証明 3．対称移動（問題） 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |