|
11. $\triangle ABC$の辺$AB,AC$の外側に正方形$ABDE,ACFG$を作る．$EG$の中点を$M$とするとき $AM \perp BC,2AM=BC$ が成り立つことを証明せよ． 
証明回転移動の合成 $R(A,90^{\circ})\circ R(M,180^{\circ})\circ R(A,90^{\circ})$ 回転の和が$360^{\circ}$であるから恒等変換か平行移動である． 一方この変換により $C \mapsto G \mapsto E \mapsto B$ であるから，この合成変換は$\overrightarrow{CB}$で決まる平行移動$T(\overrightarrow{CB})$である． また $R(A,90^{\circ})\circ R(M,180^{\circ})\circ R(A,90^{\circ})$ $:A \mapsto A \mapsto N,\mapsto P$ で$N,P$を定める． このとき $T(\overrightarrow{CB}):A \mapsto P$ であるから $AP \parallel BC,AP=BC$ また $AN \perp AP,AN=AP$ が成り立つので証明された． 解説 この問題のように，回転移動の合成が平行移動になるときもある．そのときは，平行四辺形の性質を利用することが多い． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |