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目次 1.合同変換 １．合同変換 ２．同種の合同変換の合成 ３．回転移動の合成 ４．平行移動と回転移動の合成 ５．すべり対称移動 <付記>原点を原点にうつす合同変換は線型写像 2.相似変換 ６．相似変換 ７．中心相似変換の合成 ８．らせん相似変換 ９．中心相似対称変換 １０．２つの円 3.いろいろな問題 1.平行移動 2.回転移動 3.対称移動 4.相似変換 (問題は随時追加いたします) 問題の解答・解説で用いる記号 $T(\overrightarrow{a})$は$\overrightarrow{a}$で決まる平行移動(translation transformation). $R(O,\theta)$は$O$を中心とする回転角$\theta$の回転移動(rotation transformation) $S(l)$は直線$l$に関する対称移動(symmetric transformation) $G(l,\overrightarrow{v})$は対称移動$S(l)$と平行移動$T(\overrightarrow{v})$の合成． ただし$l \parallel \overrightarrow{v}$のとき． この変換をすべり対称移動(glide symmetric transformation)という． $H(O,k)$は$O$を相似の中心とする相似比$k$の中心相似変換(homothetic transformation). $H(O,k,\theta)$は$H(O,k)$と$R(O,\theta)$の合成． ただし，相似の中心と， 回転の中心は同じ点． この変換を中心相似回転変換またはらせん変換という． $H(O,k,l)$は$H(O,k)$と$S(l)$の合成． ただし，相似の中心$O$は対象軸$l$上にある． この変換を中心相似対称変換という． はじめに 平面における幾何学変換を扱います．平面における幾何学変換は通常， 合同変換，相似変換，反転変換を意味しますすが， ここでは，合同変換，相似変換に関して述べ，反転変換は別に扱います． 図形の問題を解くことの楽しさはいろいろありますが，その一つに，与えられた条件にない点，直線，円を付け加えて 解くことにあります．これらをそれぞれ，補助点，補助線，補助円と呼びますが，これらの付け加える点，直線，円の 背景に幾何学変換があります． さらに，幾何学変換を利用すると，静的な図形が躍動感を持つ感覚にとらわれることがあり， この変換こそが図形の魅力の１つです． 「変換により保たれる性質に注目する」は幾何学研究の１つの精神ですが，これを少し変えて 「対象にしている性質を保つ変換を積極的に利用せよ」としてよく使っています． 幾何学変換の面白さを説明するために，例題を１つ紹介します． 
例題１つの円Oと線分ABが与えられている．このとき，この円に内接する長方形で その１辺が与えられた線分ABと平行でかつ長さが 等しいものをつくれ． 平行移動を利用すると次の解答になります． 円Oを$\overrightarrow{AB}$だけ平行移動する．すなわち$\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{AB}$で決まる点O' を中心とする円Oと同じ半径の円を円O'とする．２円O,O'の交点をQ,Rとする． Qと通りOO'に平行な直線と円Oとの交点をPとすれば，$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AB}$であり，さらに $PQ\bot QR$． 
したがって，右図の四角形PQRSが求めるものである．
すなわち，２円O，O'の交点で決まる線分QRが１辺である長方形といってもよい．
もちろん，円Oを円O'と反対方向に平行移動することにより点S,Pを求めることができるので，両側に平行移動することにより
４点P,Q,R,Sが求められるとしてもよい．
この例が示す通り，変換を用いた解答はどれも面白いものばかりです． 時間をかけていろいろな問題に挑戦して欲しいと思います． 本稿の内容は３つに分かれます． まず，合同変換と相似変換を扱います． これらはともに，合成変換がどうなるかを 中心に述べてあります． 次にいろいろな問題を扱います． 問題を解くのに，合同変換や相似変換の合成の知識はそれほど必要ありません．必要な場合は 解説で本文と重複していますがまとめてあります． もし解答や解説が分からないとき，前の問題の解説を見てみましょう．解決することが多いと思います． まず問題に挑戦し，解くことを楽しみ，幾何学変換に興味を持つようになってから前半の合同変換，相似変換に戻るのも よいでしょう． 先日 秋山武太郎著 幾何学つれづれ草 サイエンス社 を読んだ．余りのすばらしさにびっくりした． この本は私の本箱に眠っていた本で，奥付を見ると１９９３年（初版は１９１８年．現代風に改められている）になっているので，約２０年前に買ったのであろうが 読んだ記憶が残っていない．当時はこの本の価値が分からなかったのであろう． この本は，漫然と読んだだけでは，いろいろな問題を扱っているとしか思わないであろうが，幾何学変換を意識して読むと， 驚くべき書物であることがわかる． 問題も作図を中心に１つ１つがとても優れており，じっくり時間をかけて作られたことがよく分かる，誠に頭の下がる本である． 私の扱った問題は，数学オリンピックの問題を中心として できるだけこの本とは重複しないように注意したが， ただ，射影幾何で扱われる定理の初等幾何的証明，例えば，パスカルの定理，ニュートンの定理．デザルグの定理の証明は 幾何学変換が特に役に立つ例なので利用させていただいた． 秋山先生は序文の中で，「実は今までに幾何学について権威となるべき標準参考書を大成しようと思い立って筆を執りかけたことは 三度や四度ではなかった・・・」と書いているが，これは， 幾何学変換を土台に初等幾何を作り上げようとしたのではなかろうか． これは魅力ある仕事である．実際幾何学変換を用いると，多くの難問がすっきり解決することはこの著書からも読み取れるし， 本稿で扱ったいろいろな問題からも分かってもらえると思う． 恐れ多いことではあるが，秋山先生が本稿をよまれれば，お喜びになられるのではないかと思っている． 最後に，「幾何学つれづれ草」の中の次の詩を紹介する． 幾何学を讃嘆する「うた」 万象の微を極むれば (世の中で最小のものは何だろう) 点とこそなれ此の点ぞ (点だよ．そうだこの点だ) 我が幾何学の始源なる (さあ幾何学をはじめよう) それ一点の行くところ (ほら点が動き出すよ) 一たび動けば線となり (一方向に動けば線となり) 二たび動けば面となり (二方向に動けば面となり) 三たび動けば体となる (三方向に動けば立体となる) 見よ幾何学の微妙空 (見てごらん．夜空の美しい幾何模様を) 平行線か天の川 (天の川は平行線だよ) 同心円の月の輪に (満月は円だ) 流るる星の軌跡しも (ほらあの流れ星は軌跡だね) 推理し来れば幾十線 (ながめていると思うんだ) 幾個の角の去来みな (何十本の線といくつかの角が過ぎていく) 自然の法を示現して (これらは自然の法則を表しているよ) 不尽の鉱の金砕く (（幾何学を学ぶことは）無尽の鉱山から金を掘り出すようなものなんだよ) 鶴嘴（つるはし）とめて思ふかな (ふと学ぶことをやめ思うんだ) 真理は不磨（ふま）の山を成し (真理は朽ちることのない山となっており) 巧致（こうち）はふきの雲となり (優れた知恵はどこまでも広がり雲となっている) 妙興（みょうきょう）尽きぬ大海に (この面白さのつきない大海に) ああ何人か棹（さおさ）して (今まで何人のひとが) 千里の帰路を思はんや (帰ることなど考えずこぎだしたことだろう) 若しピタゴラスの定理得ず (もしピタゴラスの定理を知らず) 相似の理論なかりせば (相似の理論がなかったなら) 何の科学か世にあらむ (どんな科学が生まれたというんだ) 至妙（しみょう）至真（ししん）の幾何学を (もっとも巧妙で最高の真実である幾何学を) 至純（しじゅん）至巧（しこう）の幾何学を (もっとも純粋で最高のすぐれた幾何学を) ああ如何にして我は讃嘆（たた）へむ (ああどのように讃えればよいのだろう) ああ如何にして我は讃嘆へむ (ああどのように讃えればよいのだろう) 各行の下の現代語風に書き直したのは，授業で高校生に読み聞かせるために書いたものです． 最初は原文の香りが伝わるように，例えば七五調を生かすようにと考えたのですが， それはすぐあきらめ，内容が伝わることだけを心がけました． 私はこの詩を読んで． １．幾何学が楽しくてしかたない あわせて ２．学問に対する畏敬の念を持っている を感じます． 多分秋山先生は，勉強するとき，机上は整理し，身だしなみを整え，背筋を伸ばして勉強していたのではないでしょうか． 授業のときも，身だしなみを整えて行っていたでしょう． 学べば学ぶほど人間は謙虚になるものです． この本に接し，背筋の伸びる感じが致しました． 全体の目次 |