問題の解答
10(ガモフの宝探し問題)
無人島に宝が埋まっている．そのありかを示す文章は次の通りである．

島には裏切り者を処刑する絞首台と一本の樫の木と一本の松の木がある．
まず絞首台の前に立ち，樫の木に向かって歩数を数えながらまっすぐ歩き，樫の木にぶつかったら 直角に右に曲がり，同じ歩数だけ歩いて杭を打つ．絞首台に戻り，今度は松の木に向かって歩数を数えながらまっすぐ歩き， ぶつかったら直角に左に曲がり，同じ歩数だけ歩いてまた杭を打つ．宝は２つの杭の中間点にある．

ある若者がこの文章を手にいれ，その無人島に行ったところ，樫の木と松の木はあるが絞首台は見つからない．時間の経過で 絞首台は朽ち落ちてしまったようだ．いたずらに穴を掘っても見つからず若者はあきらめてこの島を後にした．

この文章から宝の場所を見つけましょう．

（ジョージ　ガモフ著「宇宙＝１,２,３,・・・,無限大」より）



解答
3つの回転移動
$R(C,90^{\circ}),R(B,90^{\circ}),R(Z,180^{\circ})$
を合成すると
$R(Z,180^{\circ})\circ R(B,90^{\circ})\circ R(C,90^{\circ})$
$:Y \mapsto A \mapsto X \mapsto Y$
より
$R(Z,180^{\circ})\circ R(B,90^{\circ})\circ R(C,90^{\circ})$
は恒等変換である(∵回転角の和が３６０°より平行移動．さらに不動点があるから恒等変換)．
したがって，$\triangle ZBC$は
$\angle B=45^{\circ},\angle C=45^{\circ},\angle Z=90^{\circ}$
の直角三角形である(本文の定理を参照)．
すなわち，$BC$を斜辺とする直角二等辺三角形の直角の頂点が宝の場所である．
もっと正確に言えば（このような点は２つあるので），直線$BC$を$C$の周りに$-45^{\circ}$回転した直線と$B$の周りに $45^{\circ}$回転した直線の交点が宝の場所である．


解説
$1.$
$A$の場所は関係ないと言うことです．
この若者もむやみに掘るのではなく，この場所が絞首台の場所ならどうなるのだろうか といくつか実験をしてみれば，たぶん宝を見つけられたでしょう．
いくつかの例を調べると本質が見えてくることがよくあります．

$2.$
解答から分かるように
$\angle ACY=\theta,\angle ABX=\phi$
のとき
$\theta +\phi=180^{\circ}$
なら
$R(Z,180^{\circ})\circ R(B,\phi)\circ R(C,\theta)$
が恒等変換ですから$Z$が求まります（辺ＢＣの両端の角が$\dfrac{\phi}{2},\dfrac{\theta}{2}$の 三角形のもう一つの頂点が求める点）．
ガモフは複素数の図形的意味の解説のためにこの例を利用しています．
絞首台の仮の位置を表した点が計算していく途中で消えると説明していますが， その理由はここの解答から分かると思います（宝の位置は松と樫の木だけで決まり，絞首台の位置とは独立だからです）． それはそれですばらしい解説です．この問題は変換の有効性がわかる例 にもなっています．
なお出典は
ジョージ・ガモフ 著 崎川範行／伏見康治／鎮目恭夫 訳，
宇宙＝１，２，３，・・・,無限大　　　白揚社　　　４３ページ
です．

$3.$
数あてクイズというのがありますが．これは場所あてクイズになります．
すなわち$B,C,Z$をあらかじめ決めておいて
私は予知能力があることをお見せしよう．
問題文の紙を持たせ，宝物を見つけさせ，私は君がそこに立つということがあらかじめ分かっていてこの文章を書いたのだ

などという遊びは面白いかもしれませんが度を越さないように致しましょう．

$4.$
この問題は，いろいろな解答が考えられます．しかし，この問題の本質は，基準の点である絞首台はどこでもかまわない， すなわち原点をどこにとっても同じ結果になることでその点に目を向けましょう．
たとえば，平面上に原点$O$と２点$A,B$が与えられたとき，
$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$
で定義される点$P$は原点$O$を変えれば点$P$は異なりますが，
もし$m+n=1$のとき， 点$P$は 直線$AB$上を動きますがこれは原点の取り方によりません．実際
$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$,
$\overrightarrow{O'P'}=m\overrightarrow{O'A}+n\overrightarrow{O'B}$
ただし$m+n=1$のとき，
$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'P'}=\overrightarrow{OO'}+m\overrightarrow{O'A}+n\overrightarrow{O'B}$
$=\overrightarrow{OO'}+m(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OO'})+n(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OO'})$
$=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}$

同様に，原点$O$と同一直線上にない３点$A,B,C$ が与えられたとき，平面上の任意の点$P$は
$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}+l\overrightarrow{OC} \ \ (m+n+l=1)$
と表せ，これも原点の取り方によらない．これは
$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}+(1-m-n)\overrightarrow{OC}$ $=\overrightarrow{OC}+m\overrightarrow{CA}+n\overrightarrow{CB}$
とみるとわかりやすい．


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