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14. 長方形$ABCD$は３つの正方形$ABEF,FEGH,HGCD$が横に並んだものである．このとき $\angle HBG+\angle DBC=45^{\circ}$ が成り立つ． 
証明下側にも３つの正方形をつくり，頂点$J,K$を右図のように決める． $R(J,-90^{\circ}):\triangle BJG \mapsto DJK$ したがって，$\triangle JDB$は$\angle BJD=90^{\circ}$の直角二等辺三角形で， $\angle HBC=\angle JBC$ であるから，題意が成り立つことが証明された． この問題は三角比を用いると次の解になる． 証明2 $\angle HBC=\theta,\angle DBC=\phi$とおくと， $\tan \theta =\dfrac{1}{2}$ $\tan \phi =\dfrac{1}{3}$ したがって，加法定理より $\tan (\theta +\phi)=1$ $0$<$\theta,\phi$<$45^{\circ}$ より $0$<$\theta+\phi$<$90^{\circ}$ であるから $\angle HBG+\angle DBC=\theta +\phi=45^{\circ}$ 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |