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13. $P$は正三角形$ABC$の内部の点で $AP=3,BP=4,CP=5$ を満たしている．$\triangle ABC$の面積$S$を求めよ． 
解答$R(B,60^{\circ}):P\mapsto Q$, $R(C,60^{\circ}):P\mapsto R$, $R(A,60^{\circ}):P\mapsto S$, で$Q,R,S$で定義すると $R(B,60^{\circ}):\triangle CPB \mapsto \triangle AQB$, $R(C,60^{\circ}):\triangle APC \mapsto \triangle BRC$, $R(A,60^{\circ}):\triangle ABP \mapsto \triangle ACS$, したがって， $2S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}(3^2+4^2+5^2)+3\times 6$ $\therefore S=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}+9$ 解２ 四角形$AQBP$に注目すると， $\triangle BPQ$は正三角形で，$\triangle APQ$は$\angle APQ=90^{\circ}$の直角三角形である． $\angle APB=150^{\circ}$であるから $AB^2=4^2+3^2-2\cdot 4\cdot \cos 150^{\circ}=25+12\sqrt{3}$ $\therefore S=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}+9$ 解説 正三角形$ABC$の内部の点$P$が $AP=x,BP=y,CP=z$ を満たすときの$\triangle ABC$の面積$S$は，解答から分かるように， ３辺の長さが$x,y,z$の三角形の面積を$A$とすれば， $S=\dfrac{\sqrt{3}(x^2+y^2+z^2)}{8}+\dfrac{3A}{2}$ である． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |