平面における変換

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問題の解答

16.
円

$O$ が

$\triangle ABC$ と各辺とそれぞれ２点で交わっており，円

$O$ と辺

$BC$ との交点を

$A_1,A_2$ ，辺

$CA$ との交点を

$B_1,B_2$ , 辺

$AB$ との交点を

$C_1,C_2$ とする．
もし，

$A_1$ における

$BC$ の垂線，

$B_1$ における

$CA$ の垂線,

$C_1$ における

$AB$ の垂線が一点で交わるなら，

$A_2$ における

$BC$ の垂線，

$B_2$ における

$CA$ の垂線,

$C_2$ における

$AB$ の垂線も一点で交わる．

証明

$A_1$ における

$BC$ の垂線，

$B_1$ における

$CA$ の垂線,

$C_1$ における

$AB$ の垂線が一点で交わりその交点を

$P$ とする．
また，

$A_2$ における

$BC$ の垂線を

$l$ ，

$B_2$ における

$CA$ の垂線を

$m$ ,

$C_2$ における

$AB$ の垂線を

$n$ とする．
円の中心

$O$ に関する点対称移動は

$O$ の周りの回転角

$180^{\circ}$ の回転移動

$R(O,180^{\circ})$ である．

$BC\perp PA_1,BC \perp l$
であるから

$R(O,180^{\circ}):PA_1 \mapsto l$
理由は解説で説明する．
同様に

$R(O,180^{\circ}):PB_1 \mapsto m$

$R(O,180^{\circ}):PC_1 \mapsto n$
3直線

$PA_1,PB_1,PC_1$ が１点で交わるから，3直線

$l,m,n$ も一点で交わる．

解説
点

$O$ に関する点対称移動(central symmetry)を，本稿では点

$O$ に関する回転角

$180^{\circ}$ の回転移動と扱ってきた．
ここでは，点対称移動独自の基本的性質についてまとめる．
点

$O$ に関する点対称移動は

$C(O)$ を用いることが多いが，ここでは，他のページとあわせて

$R(O,180^{\circ})$ を用いる．

$1.$
問題の証明では次の性質を用いている．

円

$O$ 上に２点

$A,B$ があり，

$A,B$ における線分

$AB$ に垂直な直線をそれぞれ

$l,m$ とすると，2直線

$l,m$ は円の中心

$O$ に関して点対称な図形である．

証明
右図のように，

$A$ を通り

$AB$ に垂直な直線と円

$O$ とのもう一つの交点を

$C$ ,

$B$ を通り

$AB$ に垂直な直線と円

$O$ とのもう一つの交点を

$D$ とする．

$\angle ABD=90^{\circ}$
であるから,円の中心

$O$ は線分

$AD$ の中点．
直線AC上の任煮の点を

$P$ とし，

$PO$ の延長と直線

$BD$ との交点を

$Q$ とすると，

$\triangle AOP \equiv \triangle DOQ$

$\therefore OP=OQ$
したがって，

$R(O,180^{\circ}):P \mapsto Q$

$\therefore R(O,180^{\circ}):l \mapsto m$

$2.$
点対称移動は，回転角

$180^{\circ}$ の回転移動であるから直線の点対称移動による像はもとの直線と平行な直線である．

$3.$
2直線

$l,m$ が平行なとき，

$l$ 上の任意の点

$P$ と

$m$ 上の任意の点

$Q$ について，２直線

$l,m$ は

$P,Q$ の中点

$O$ に関して点対称である．

証明

$R(O,180^{\circ}):P\mapsto Q$
であるから，

$R(O.180^{\circ})$ による直線

$l$ の像は

$Q$ を通り，

$l$ に平行であるから

$m$ である．

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