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5. 正6角形$ABCDEF$の対角線$AC,CE$上に点$M,N$をそれぞれ $AM:AC=CN:CE=r:1$ を満たすようにとる．3点$B,M,N$が一直線上となる$r$の値を求めよ． （1992年 IMO） 
解答正６角形$ABCDEF$の中心を$O$とする． $R(O,120^{\circ}):AC \mapsto CE$ で$AM=CN$であるから $R(O,120^{\circ}):M \mapsto N$ $\therefore R(O,120^{\circ}):BM \mapsto DN$ したがって，２直線$BM$と$DN$のなす角$120^{\circ}$である． 仮定より，３点$B,M,N$は一直線上にあるから $\angle BND=120^{\circ}$ また $\angle BOD=120^{\circ}$ ゆえに，４点$B,O,N,D$は同一円周上にあり， $CB=CO=CD$ より，円の中心は$C$． ここで正６角形$ABCDEF$の１辺の長さを$1$とすると, $CE=\sqrt{3} \ $ ($\because \triangle EBC$に注目) より $r=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ これは1992年のIMOすなわち国際数学オリンピックの問題です． IMOの問題は，決して簡単ではありませんが巷間言われるほど難しいわけではありません. 特に図形の問題はすばらしい問題ばかりです． じっくり時間をかけて挑戦することが，他のどんな娯楽にも負けない楽しみになれることをねがっています． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |