座標空間$\mathbb{R}^3$における原点を中心とする半径$1$の球面
$x^2+y^2+z^2=1$
を$S$とする．
$S$の北極を$N(0,0,1)$とする．
ここで，$xy$平面は複素平面$\mathbb{C}$である．
球面$S$上の$N$以外の任意の点$P(\alpha,\beta,\gamma)$,直線$NP$と$xy$平面との交点を$Q(x,y,0)$とする．
この写像$P\mapsto Q$により $S\setminus \{N\} \to \mathbb{R}^2$が定義できるが
ここでは，$P\to N$のとき$|OQ|\to \infty$であるから$\mathbb{R}^2$に無限遠点を付け加えた 平面を
$\overline{\mathbb{R}^2}(=\mathbb{R}^2\cup \{\infty\})$
として
$f:S\to \overline{\mathbb{R}^2}$
とする．
$f$を求める．
$P$が$N$でないとき
$\overrightarrow{NP}=t\overrightarrow{NQ}$
より
$(\alpha,\beta,\gamma -1)=t(x,y,-1)$
$\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2=1$
より
$t=\dfrac{2}{x^2+y^2+1}$
したがって
$\alpha =\dfrac{2x}{x^2+y^2+1},y=\dfrac{2y}{x^2+y^2+1},\dfrac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1}$
$N$の像は$\infty$である．
$\mathbb{R}^2$を複素平面$\mathbb{C}$とし，$(x,y)=x+iy=z$とすると
$\alpha =\dfrac{z+\bar{z}}{|z|^2+1},\beta =\dfrac{z-\bar{z}}{i(|z|^2+1)},\gamma =\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\cdots (1)$
である．
さて，極射影$f$で球面$S$から無限遠点$\infty$を加えた複素平面$\overline{\mathbb{C}}$(この平面を今後拡大複素平面と呼ぶことにする)への写像がつくられた．この写像を利用して，球面の幾何学を$\overline{C}$上で行いたいわけです．もちろん，これだけでは，位相の議論だけで意味がありません．リーマンは，$f$が2点間の距離を保つという条件を加えれば十分意味があると主張しました．$S$上の幾何学を$\overline{\mathbb{C}}(\overline{\mathbb{R}^2})$で行おうというのがリーマン幾何学です．これは，球面を外から見て議論するのでなく，球面上に住む人が球面から得られる知識だけで調べようとする幾何学です．なおこのことは，ポアンカレは著「科学と仮説」で厚さのない人間が作り上げる幾何学として説明しています．

$1. \ \overline{\mathbb{C}}$上の球面線素
$\overline{\mathbb{C}}$における曲線
$z:[a,b]\to \overline{\mathbb{C}}$
の長さは$s$は
$s=\int_a^b|z'(t)|dt$
したがって，曲線の長さ$s$が定めれば，
$\dfrac{ds}{dt}=|z'(t)|$
決まる，すなわち各点の接ベクトルの大きさが決まることであり，逆に$\overline{\mathbb{C}}$の各点における接ベクトルの大きさが分かれば曲線の長さが定まる．
要するに，ある空間で曲線の長さを定めるとは，各点で接ベクトルの大きさを定めることである．
$(x,y)$座標平面で考えれば，各点$P$で基本ベクトル$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$とすれば
$|u\boldsymbol{e_1}+v\boldsymbol{e_2}|^2$
$=(u\boldsymbol{e_1}+v\boldsymbol{e_2})\cdot (u\boldsymbol{e_1}+v\boldsymbol{e_2})$
$=u^2\boldsymbol{e_1}\cdot \boldsymbol{e_1}+2uv\boldsymbol{e_1}\cdot \boldsymbol{e_2}+ v^2\boldsymbol{e_2}\cdot \boldsymbol{e_2}$
すなわち，曲線の長さを定めることは，各点で
$\boldsymbol{e_1}\cdot \boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_1}\cdot \boldsymbol{e_2},\boldsymbol{e_2}\cdot \boldsymbol{e_2}$
定めることであり，
$\boldsymbol{e_1}\cdot \boldsymbol{e_1}=g_{11},\boldsymbol{e_1}\cdot \boldsymbol{e_2}=g_{12},\boldsymbol{e_2}\cdot \boldsymbol{e_2}=g_{22}$
と置けば，
$|u\boldsymbol{e_1}+v\boldsymbol{e_2}|^2=g_{11}u^2+2g_{12}uv+g_{22}v^2$
である．
曲線$(x(t),y(t))$の接ベクトルは
$(x'(t),y'(t))=(\dfrac{dx(t)}{dt},\dfrac{dy(t)}{dt})$
であるから，接ベクトルを$(dx,dy)$とすると都合がよい．
$|dx\boldsymbol{e_1}+dy\boldsymbol{e_2}|^2=g_{11}(dx)^2+2g_{12}dxdy+g_{22}(dy)^2\cdots (2)$
となる．
$(2)$の右辺を，解析学では線素
$ds^2=g_{11}(dx)^2+2g_{12}dxdy+g_{22}(dy)^2$
といい，微分幾何では第1基本形式
$I=g_{11}(dx)^2+2g_{12}dxdy+g_{22}(dy)^2$
という．また，$g_{11}g_{12},g_{22}$を第1基本量という．

極射影で$\overline{\mathbb{C}}$に導入した線素を$\overline{\mathbb{C}}$の球面線素という．$\overline{\mathbb{C}}$上の球面線素$ds$を求める．
$z,w\in \overline{\mathbb{C}}$のとき，極射影で$z,w$に対応する単位球面上の点をそれぞれ
$A(\alpha,\beta,\gamma ),B(\alpha ',\beta ',\gamma ')$
とする．今考えているのは，$z,w$が十分近い点，すなわち，$A,B$も十分近い点であるから 大円弧$AB$を線分$AB$で近似する.
ここで，$z,w\in \overline{\mathbb{C}}$のとき
$d(z,w)=AB\cdots (3)$
で定義する．
$(3)$で定義した$\overline{\mathbb{C}}$上の距離を球面距離という．
$z,w\in \mathbb{C}$のとき
$AB^2=(\alpha '-\alpha)^2+(\beta '-\beta)^2+(\gamma '-\gamma)^2$
$=2-2(\alpha \alpha '+\beta \beta '+\gamma \gamma ')$ ここで，$(1)$より
$\alpha =\dfrac{z+\bar{z}}{|z|^2+1},\beta =\dfrac{z-\bar{z}}{i(|z|^2+1}),\gamma =\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1}$
$\alpha '=\dfrac{z+\bar{w}}{|w|^2+1},\beta '=\dfrac{w-\bar{w}}{i(|w|^2+1}),\gamma '=\dfrac{|w|^2-1}{|w|^2+1}$
であるから
$AB^2=\dfrac{2|z-w|}{\sqrt{(1+|z|^2)(1+|w|^2)}}$
$z,w$のうち片方が$\infty$のとき．
$d(z,\infty)$は
球面$S$における，$(\frac{z+\bar{z}}{|z|^2+1},\frac{z-\bar{z}}{i(|z|^2+1}),\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1})$と$(0,0,1)$間の距離であるから
$d(z,\infty)=2-2\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1}=\dfrac{4}{|z|^2+1}$
したがって，$\overline{\mathbb{C}}$の球面距離は
$z,w\in \mathbb{C}$のとき
$d(z,w)=\dfrac{2|z-w|}{\sqrt{(1+|z|^2)(1+|w|^2)}}$
$d(z,\infty)=\dfrac{2}{\sqrt{1+|z|^2}}$
である．

球面距離は，局所的には大円弧の近似になっているから，球面距離によって$\overline{\mathbb{C}}$の線素を定めることができる．
$\overline{\mathbb{C}}$上の線素を定めよう．
$d(z,z+\Delta z)$の$\Delta \to 0$の極限を求めればよい．
$(\mathbb{R}^2$で考える.
$|(\Delta x,\Delta y)|^2$
$=|\Delta x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}|^2$
$=(\Delta x)^2\boldsymbol{e_1}\cdot \boldsymbol{e_1}+ (\Delta x)(\Delta y)\boldsymbol{e_1}\cdot \boldsymbol{e_2}+ (\Delta y)^2\boldsymbol{e_2}\cdot \boldsymbol{e_2}$
$(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$のとき$\Delta x,\Delta y$をそれぞれ$dx,dy$に書き換えて
$\to g_{11}dx^2+2g_{12}dxdy+g_{22}dy^2)$
$d(z,z+\Delta z)=\dfrac{2|\Delta z|}{\sqrt{(1+|z|^2)(1+|z+\Delta z|^2)}}$ $\Delta z\to 0$のときが線素$ds$で
$ds=\dfrac{2|dz|}{1+|z^2|}$
である．
この線素(第1基本形式)$ds$を$\overline{\mathbb{C}}$上の球面線素という．
球面上の幾何学を$\overline{\mathbb{C}}$上で球面線素で行おうというがのリーマンの主張した幾何学です．

$2. \ $球面線素を保つ1次分数変換
拡大複素平面$\overline{\mathbb{C}}$上の1次分数変換
$f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d},a,b,c,d\in \mathbb{C},ad-bc=1$
で，球面線素$ds=\dfrac{2|dz|}{1+|z^2|}$を保つための条件を調べよう．
$df(z)=f'(z)dz$
であるから
$f(z)$が球面線素を保つ
$\Longleftrightarrow$
$\dfrac{2|f'(z)||dz|}{1+|f(z)|}=\dfrac{2|dz|}{1+|z|^2}$
すなわち
$\dfrac{|f'(z)|}{1+|f(z)|^2}=\dfrac{1}{1+|z|^2}\cdots (4)$
である．
$f'(z)=\dfrac{1}{(cz+d)^2} \ \ (\because ad-bc=1)$
であるから
$|cz+d|^2+|az+b|^2=1+|z|^2$
左辺を整理すると
$(|a|^2+|c|^2)|z|^2+(a\bar{b}+c\bar{d})z+(\bar{a}b+\bar{c}d)\bar{z}+|b|^2+|d|^2$
であるから
$|a|^2+|c|^2=1,|b|^2+|d|^2=1,a\bar{b}+c\bar{d}=0$
を得る．さらに，仮定より
$ad-bc=1$
である．
したがって
$d=\bar{a},b=-\bar{c}$
を得る．
すなわち
$f(z)=\dfrac{az-\bar{c}}{cz+\bar{a}}\cdots (5)$
を得る．
逆に$(5)$が$(4)$を満たすことは簡単な計算である．

$(5)$を行列として見るなら特殊ユニタリ群$SU(2)$である．
実際
$A=\begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix},ad-bc=1$
のとき
$A^{-1}=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$
$A$が特殊ユニタリ行列の定義は
$A^{-1}=A^*,ad-bc=1$
であるから
$\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bar{a}&\bar{c}\\ \bar{b}&\bar{d}\end{pmatrix}$
より
$d=\bar{a},b=-\bar{c}$
さらに，
$A=\begin{pmatrix}a&-\bar{c}\\ c&\bar{a}\end{pmatrix}$
で
$|a|^2+|c|^2=1$
である． $a=p+qi,c=r+si$
とおくと
$A=\begin{pmatrix}p+qi&-r+si\\r+si&p-qi\end{pmatrix},p^2+q^2+r^2+s^2=1$
である．
すなわち，特殊ユニタリ群$SU(2)$位相だけを考えるなら4次元の3次元球面と同相である．

$3. \ f(z)=\dfrac{az-\bar{c}}{cz+\bar{a}}$に対応する正の向きの直交変換
ここでは極射影による$\overline{\mathbb{C}}$上の1次分数変換$f(z)=\frac{az-\bar{c}}{cz+\bar{a}}$と対応する球面上の変換を求める．
極射影による，球面と拡大複素平面の対応は上記$(1)$より
$\alpha =\dfrac{z+\bar{z}}{|z|^2+1}=\dfrac{2x}{x^2+y^2+1}$
$\beta =\dfrac{z-\bar{z}}{i(|z|^2+1)}=\dfrac{2y}{x^2+y^2+1}$
$\gamma =\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1}=\dfrac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1}$
である．
$f(z)=\dfrac{az-\bar{c}}{cz+\bar{a}}$に対応する球面上の点を$(\alpha ',\beta ',\gamma ')$とすれば
$\alpha '=\dfrac{f(z)+\overline{f(z)}}{|f(z)|^2+1}$
$=\dfrac{(az-\bar{c})(\bar{c}\bar{z}+a)+(\bar{a}\bar{z}-c)(cz+\bar{a})}{|az-\bar{c}|^2+|cz+\bar{a}|^2}$
$=\dfrac{(a\bar{c}+\bar{a}c)(|z|^2-1)+(a^2-c^2)z+(\bar{a}^2-\bar{c}^2)\bar{z}}{|z|^2+1}$
$=\dfrac{2\mathrm{Re}(a^2-c^2)x-2\mathrm{Im}(a^2-c^2)y+2\mathrm{Re}(a\bar{c})(|z|^2-1))}{x^2+y^2+1}$
$=\mathrm{Re}(a^2-c^2)\alpha -\mathrm{Im}(a^2-c^2)\beta +2\mathrm{Re}(a\bar{c})\gamma$
同様に
$\beta '=\dfrac{f(z)-\overline{f(z)}}{i(|f(z)|^2+1)}$
$=\mathrm{Im}(a^2+c^2)\alpha +\mathrm{Re}(a^2+c^2)\beta +2\mathrm{Im}(a\bar{c})\gamma$
$\gamma '=-2\mathrm{Re}(ac)\alpha +\mathrm{Im}(ac)\beta +(|a|^2-|c|^2)\gamma $
である．
したがって，変換$(\alpha ,\beta ,\gamma )\mapsto (\alpha ',\beta ',\gamma ')$が1次変換であることが分かった．これは正の向きの直交変換であることを確認する．
$|a|^2+|c|^2=1$
であるから
$a=\cos \theta (\cos \phi +i\sin \phi),c=\sin \theta (\cos \psi +i\sin \psi)$
と置くことができる．
計算はパソコンを利用する．下で示した結果より，得られた変換が正の直交変換，すなわち$SO(3)$の元であることが分かる．

逆に正の直交変換
$A:S\to S,\boldsymbol{a}\mapsto A\boldsymbol{a}$
が与えられたとき，極射影により
$F:\overline{\mathbb{C}}\to \overline{\mathbb{C}}$
が定まる．ちなみに,極射影を$f$とすると
$F=f\circ A\circ f^{-1}$
である．
まず，$F$は向きを保つ．
実際，極射影$f$は北極$N$を中心とする半径$2$の球面を反転球とする反転変換による 反転変換と$N$を相似比$\frak{1}{2}$の相似変換による球面の像である．したがって $f$は向きを変える．しかし，$f$を2回および$A$は向きを保つから$F$は向きを保つ．
反転変換は実関数として微分可能であるから$F$は実関数として微分可能である．
$F$は複素関数として微分可能であること(これをここでは解析と呼ぶ)を示す必要がある．通常はCauchy-Riemannの関係式を用いるのであるが，ここでは
$\displaystyle \lim_{z\to c}\left|\dfrac{f(z)-f(z)}{z-c}\right|$
が存在し$0$でないとき，$f(z)$または$\overline{f(z)}$が解析である．(例えば吉田洋一，k関数論、岩波全書，44ページ)
を用いる．
$z,w\in \overline{\mathbb{C}}$で$z,w$が十分近いとき$F$は球面距離を保つから
$d(F(z),F(w))=d(z,w)$
すなわち
$\dfrac{2|F(z)-F(w)|}{\sqrt{1+|F(z)|^2}\cdot \sqrt{1+|F(w)|^2}} =\dfrac{2|z-w|}{\sqrt{1+|z|^2}\cdot \sqrt{1+|w|^2}}$
$\therefore \dfrac{|F(w)-F(z)|}{|w-z|}=\dfrac{\sqrt{1+|F(z)|^2}\cdot \sqrt{1+|F(w)|^2}}{\sqrt{1+|z|^2}\cdot \sqrt{1+|w|^2}}$
$\displaystyle \lim_{w\to z}\dfrac{|F(w)-F(z)|}{|w-z|}=\dfrac{1+|F(z)|^2}{1+|z|^2}$
したがって
$\displaystyle \lim_{z\to c}\left|\dfrac{f(z)-f(z)}{z-c}\right|$
が存在して$0$でない．$F(z)$または$\overline{F(z)}$のいずれかが解析であるが，$F(z)$ が向きを保つから$F(z)$が解析である．
正の直交変換$A$により像が北極である点の極射影の像を$z_0$とすると
$F(z_0)=\infty$
であり，$F$は$\overline{\mathbb{C}}\setminus \{z_0\}$で解析である．
さらに，$F(z)$は1対1であるから,F(z)は一次分数変換
$f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d},a,b,c,d\in \mathbb{C}$
である．
これを示すには関数論の知識が必要である．
本稿はself-containedを心掛けているが，何処までもさかのぼるわけにはいかない. ここではLaurent展開とその一意性は仮定する．
補助命題1
$f(z)$が$\overline{\mathbb{C}}$上解析なら$f(z)$は定数である．
証明
Cauchyの積分公式より平均値の公式を導き出し，それにより最大値の原理を用いて示すのが一般的だが，ここではLaurent展開の一意性より示す．
$f(z)$は$\overline{\mathbb{C}}$で解析であるから，$\mathbb{C}$で解析．すなわち$f(z)$ は整関数である(整関数の定義).
$f(z)$のTaylor展開を
$f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots +a_nz^n+\cdots \ \ (\sharp)$
とする．一方，$f(z)$は$\overline{\mathbb{C}}$で解析であるから
$\displaystyle \lim_{z\to \infty}f(z)$
が存在するから$z=\infty$は$f(z)$の除去可能特異点．したがって，特異部分が$0$.
$f(z)$の$z=\infty$における特異部分は$(\sharp)$の第2項以降である．
したがって
$f(z)\equiv a_0 \ \ \blacksquare$

$\frac{f(z)}{g(z)}$の形の関数で，分子，分母ともに多項式，すなわち
$\dfrac{a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_0}{b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+\cdots +b_0}\cdots (\flat)$
の形の関数を有理関数という．また，$\max (n,m)$を有理関数$(\flat)$の次数と呼ぶ．

$f(z)$が領域$U \subset \overline{\mathbb{C}}$で極点を除いて解析な時(真性特異点や孤立しない特異点を持たない)$f(z)$は$D$で有理型関数であるという．

$f(z)$が有理関数の時，$f(z)$は$\overline{\mathbb{C}}$上の有理型関数です．$\overline{\mathbb{C}}$上逆も成り立つ．
補助命題2
$f(z)$が$\overline{\mathbb{C}}$上の有理型関数なら，$f(z)$は有理関数である．
証明
$f(z)$は有限個の極しか持たない．
$(\because $無限個特異点を持つなら，特異点の集合に集積点が存在し，その点は$f(z)$ の孤立特異点でない．$)$
$f(z)$の極を
$z=a_1,\dots ,a_n,\infty$
とする．
$f(z)$の特異点$z=a_i$のLaurent展開の主要部を
$\phi _i(z)=\dfrac{a^i_1}{z-a_i}+\cdots +\dfrac{a^i_{n_i}}{(z-a_i)^{n_{i}}}$
$f(z)$の特異点$z=\infty$のLaurent展開の主要部を
$\psi (z)=b_1z+\cdots b_nz^n$
と置く．
$F(z)=f(z)-(\phi _1(z)+\cdots \phi _n(z)+\psi (z))$
は$z=a_1,\dots ,a_n,\infty$で除去可能特異点になるから$\overline{\mathbb{C}}$で解析， すなわち，補助定理1より
$F(z)=c$
$\therefore f(z)=\phi _1(z)+\cdots \phi _n(z)+\psi (z)+c$
したがって，$f(z)$は有理関数である．$\blacksquare$

さて，ここで示したいことは
$F=f\circ A\circ f^{-1}$
が1次分数変換であるということです．それを示しましょう．
正の直交変換$A$により像が北極である点の極射影の像を$z_0$とすると
$F(z_0)=\infty$
である．さらに$F(z)$は$\overline{\mathbb{C}}\setminus \{z_0\}$で解析であるから, $F(z)$は$\overline{\mathbb{C}}$で有理型関数．すなわち，
$n$次多項式$P_n(z)$,$m$次多項式$Q_n(z)$を用いて
$F(z)=\dfrac{P_n(z)}{Q_m(z)}$
と表せる．
一方$F(z)$は1対1(関数論ではこれを単葉という)である．
したがって，任意の$k$で
$\dfrac{P_n(z)}{Q_m(z)}=k$
$Q_m(z)-kP_n(z)=0$
の解はただ一つ．したがって$\max (n,m)=1$
したがって，
$F(z)=\dfrac{az+b}{cz+d} \ \ \blacksquare$

正の直交変換$A$に対応する$\overline{\mathbb{C}}$の変換$F=f\circ A\circ f^{-1}$が1次分数変換であることが分かった$F$は球面線素を保つからすでに示したことより
$F(z)=\dfrac{az-\bar{c}}{cz+\bar{a}},|a|^2+|c|^2=1$
である．

最後に，$F(z)$の不動点に注目しよう．
$z_0$が$F(z)$の不動点のとき，$-\frac{1}{\bar{z_0}}$も不動点である．
実際
$\dfrac{az_0-\bar{c}}{cz_0+\bar{a}}=z_0$
のとき左辺に$-\frac{1}{\bar{z_0}}$を代入して計算すると
$\dfrac{a\cdot -\dfrac{1}{\bar{z_0}}-\bar{c}}{-c\cdot \dfrac{1}{\bar{z_0}}+\bar{a}} =-\dfrac{\bar{c}\bar{z_0}+a}{\bar{a}\bar{z_0}-c}=-\dfrac{1}{\bar{z_0}} \ \ \blacksquare$

$z_0,-\dfrac{1}{\bar{z_0}}$が$F$の不動点なら当然$F$に対応する正の直交変換でも，$f^{-1}(z_0),f^{-1}(-\frac{1}{\bar{z_0}})$は不動点である．
$z$に対応する球面上の点は
$\left(\dfrac{z+\bar{z}}{|z|^2+1},\dfrac{z-\bar{z}}{i(|z|^2+1)},\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\right)$
である．
$f^{-1}(-\frac{1}{\bar{z_0}})$を計算すると
$f^{-1}(-\frac{1}{\bar{z_0}})=-\left(\dfrac{z_0+\bar{z_0}}{|z_0|^2+1},\dfrac{z_0-\bar{z_0}}{i(|z_0|^2+1)},\dfrac{|z_0|^2-1}{|z_0|^2+1}\right)=-f^{-1}(z_0)$
したがって$f^{-1}(z_0),f^{-1}(-\frac{1}{\bar{z_0}})$は球面の対蹠点である．
正の直交変換はある直線に関する回転移動であるから，変換$A$はこの直線に関する回転移動変換であることが分かる．

3次元正の実直交変換$SO(3)$と1次分数変換
$w=\dfrac{az-\bar{c}}{cz+\bar{a}},|a|^2+|c|^2=1$
の関係を述べてきたが，最後に特殊ユニタリ群$SU(2)$と1次分数変換群 $w=\dfrac{az-\bar{c}}{cz+\bar{a}},|a|^2+|c|^2=1$
の関係を調べよう．
1次分数変換
$w=\dfrac{az+b}{cz+d}\cdots (\sharp)$
を$z$について解くと
$z=\dfrac{dw-b}{-cw+a}$
である．逆関数が存在するので1次分数変換$(\sharp)$は$\overline{\mathbb{C}}$上1対1上への変換である．また
$(\sharp)$は$\mathbb{C}\setminus \{-\frac{d}{c}\}$で解析，$z=-\frac{d}{c}$は極である．
$f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d},g(z)=\dfrac{pz+q}{rz+s}$
のとき,$(g\circ f)(z)$を合成写像$g(f(z))$で定義すると
$(g\circ f)(z)=\dfrac{(ap+cq)z+bp+dq}{(ar+cs)z+br+sd}$
である．
$T=\{\dfrac{az+b}{cz+d}|a,b,c,d\in \mathbb{C},ad-bc=1 \}$
は演算$\circ$で群をなす．
$\Phi:SL(2,\mathbb{C})\to T$を
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\mapsto \dfrac{az+b}{cz+d}$
で定義すると
$\Phi (g\circ f)=\Phi (g)\Phi (f)$
であるから，準同型写像である．
$Phi$の核を求める．
$\dfrac{az+b}{cz+d}\equiv z$
であるから，任意の$z$で
$cz^2+(d-a)z+b=0$
が成り立つ．
したがって，
$b=c=0,a=d$
$ad-bc=1$より核$K$は
単位行列を$E$とすれば
$K=\{E,-E\}$
である．したがって，群の準同型定理より
$SL(2,\mathbb{C})/K$と1次分数変換の群$T$は同型である．
$SU(2)$は$SL(2,\mathbb{C})$部分群であるから
$\{w=\dfrac{az-\bar{c}}{cz+\bar{a}},|a|^2+|c|^2=1\}$
は$SU(2)/K$と同型である．(前章正多面体群の最後の部分を参照)