中心相似変換，回転移動変換，平行移動変換の合成は正の相似変換である． 正の合同変換，相似変換は2点の像で決まるから
$f:A\mapsto A',B\mapsto B'$
のときの$f$を調べればよい．
$(case1) \ A'=A,B'=B$のとき$f$は恒等変換．
$(case2)$片方が一致するとき
$A'=A,B'\neq B$とき
$f=H(A,\dfrac{AB'}{AB},\angle BAB')$
以下，$A'\neq A,B'\neq B$の場合を考える．
$(case3) \ \ \overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}$のとき
$f=T(\overrightarrow{AB})$
$(case4) \ \overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB} \ (k\neq 1)$のとき
2直線$AA',BB'$の交点を$O$とすれば
$f=H(O,\dfrac{OA'}{OA})$
残されたのは，$AB,A'B'$が交わる場合である．
ちなみにこの場合がこの章の本質です．
2直線$AB,A'B'$の交点を$C$とする．
３点$C,A,A'$を通る円を$\Omega _1$，３点$C,B,B'$を通る円を$\Omega _2$とする．
$(case5)$2円$\Omega _1,\Omega _2$が2点で交わるとき．
2円$\Omega _1,\Omega _2$の交点で$C$でない方を$O$とする．
$\dfrac{A'B'}{AB}=k,\angle BCB'=\theta$とする．
右図で$a=b, c=d$より$\angle BOA=\angle B'OA'$
したがって
$\triangle OBA $∽$\triangle OB'A'$
$\therefore OA':OA=OB':OB=A'B':AB$
さらに
$\angle AOA'(=\angle BCB'=\theta)=\angle BOB'$
したがって，$O$の周りに$A,B$をそれぞれ$\theta$だけ回転し$\dfrac{OA'}{OA}$倍したのが$A',B'$である.
したがって
$f=H(O,\dfrac{A'B'}{AB},\angle ACA')$
$(case6)$2円$\Omega _1,\Omega _2$が接するとき．
$AA'\parallel BB'$であるから
$f=H(C,\dfrac{CA'}{CA},\angle ACA')$
以上で終了した．

以上の議論より， 正の合同変換，相似変換は
恒等変換
平行移動変換
ある点の周りの回転変換
ある点の周りのらせん相似変換
に限られることがわかる．
相似比が$1$でない正の相似変換はらせん相似変換に限ることが分かる．
らせん相似変換は不動点をただ一つ持つから（2つもつことはない．2つ持てば恒等変換となる）相似比が１でない正の相似変換は必ず不動点を持つ．
例えば，ある場所にその地域の地図を置いた時，実際の場所と地図上のその点が重なるところがある．(章末の例題を参照)


9．中心相似対称変換

平面における幾何学変換の目次


全体の目次