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ここでは，中心相似変換と回転移動の合成を調べる．ベクトル$\overrightarrow{v}$を回転すると得られたベクトルは
一般に$\overrightarrow{v}$と平行ではないから，中心相似変換と回転移動の合成は１つの中心相似変換では表せない．
そこで，中心相似変換と回転移動の合成のうち扱いやすいものを定義し，すべての中心相似変換と回転移動の合成は 新しく定義された変換であるということをしたい． その扱いやすい変換として考えるのが，中心相似変換の中心と回転移動の中心が一致する２つの変換の合成変換 $R(O,\theta) \circ H(O,k)$である． 
この変換をOを中心，相似比k,回転角$\theta$の中心相似回転変換または
らせん相似変換(spiral similarity transformation)といい$H(O,k,\theta)$と表す．$P\stackrel{S(O,\theta)}{\longmapsto}Q \stackrel{H(O,k)}{\longmapsto}S$ および $P\stackrel{H(O,k)}{\longmapsto}R \stackrel{S(O,\theta)}{\longmapsto}S$ に注目することにより $R(O,\theta) \circ H(O,k)=H(O,k) \circ R(O,\theta)$ が分かる． 中心相似変換と回転移動の中心が異なるとき，これらの合成変換がらせん相似変換であることを証明しよう． 
中心相似変換と回転移動の合成は正の相似変換である．したがって，これらの合成で$\overrightarrow{AB}$が
$\overrightarrow{A'B'}$にうつるとき，$\overrightarrow{AB}$が$\overrightarrow{A'B'}$にうつるらせん相似変換
が存在することを示せばよい．
$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{A'B'}$が平行なときは，条件を満たす中心相似変換が存在するので，
$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{A'B'}$が平行でない場合調べればよい．
$AB$と$A'B'$の交点を$C$とし，３点$C,A,A'$を通る円と３点$C,B,B'$を通る円の交点のうち，$C$でない方を$O$とする． さらに$\dfrac{A'B'}{AB}=k,\angle BCB'=\theta$とする． 右図で$a=b$,$ \ c=d$より$\triangle OBA $∽$\triangle OB'A'$ $\therefore OA':OA=OB':OB=A'B':AB=k:1$ さらに $e=f(=\angle BCB'=\theta)$ したがって，$O$の周りに$A,B$をそれぞれ$\theta$だけ回転し$k$倍したのが$A',B'$である. 以上で，中心相似変換と回転変換の合成はらせん相似変換であることが証明された． 正の相似変換は，中心相似変換と平行移動または回転移動の合成で表せるから， 中心相似変換またはらせん相似変換のいずれかであることが分かった． 9．中心相似対称変換 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |