定義
中心相似変換$H(O,k)$と直線$g$に関する対称移動$S(g)$の合成$S(g) \circ H(O,k)$のうち，中心相似変換の中心$O$が 対称移動変換の対称軸$g$上にあるものを中心相似対称変換といい$H(O,k,g)$と表す.

中心相似対称変換は，中心相似変換$H(O,k)$の相似の中心が対称移動変換$S(g)$の対称軸上にあるから
$P\stackrel{S(g)}{\longmapsto}Q \stackrel{H(O,k)}{\longmapsto}S$
および
$P\stackrel{H(O,k)}{\longmapsto}R \stackrel{S(g)}{\longmapsto}S$
より
$S(g) \circ H(O,k)=H(O,k) \circ S(g)$
が成り立つことが分かる．

補助命題
中心相似変換$H(O,k)$と対称移動変換$S(g)$がある．
$O$が$g$上にないときも合成変換$S(g)\circ H(O,k)$は中心相似対称変換である．
すなわち，新しい直線$m$と$m$上の点$A$が存在し
$S(g)\circ H(O,k)=H(A,k,m)$
となる．
同様に
$H(O,k)\circ S(g)$
も中心相似対称変換である．
証明
相似の中心$O$は対称軸$g$上にない，
$O$から直線$g$に下した垂線の足を$H$とし,点$A$を
$\overrightarrow{OA}=\dfrac{2\overrightarrow{OH}}{k+1}$・・・�@
を満たすようにとる．
また，$A$を通り直線$g$に平行な直線を$m$とし， 直線$m$上に点$B$をとる．
$H(O,k)$による$A,B$の像をそれぞれ$A',B'$とすると 線分$AA'$の中点が点$H$である（$A$と$H(O,k)(A)=A'$の中点が$H$となるように点$A$を定めたのが�@の式である）.
さらに，$g$に関して$B'$と対称な点を$B''$とすると$B''$は直線$m$上にあり次が成り立つ．
$S(g) \circ H(O,k):A\mapsto A,B \mapsto B''$
一方，$S(m) \circ H(A,k):A \mapsto A,B \mapsto B''$
ともに負の相似変換で，２点の像が等しいから
$S(g) \circ H(O,k)=S(m) \circ H(A,k)$
が成り立つことが分かる．
次に$H(O,k)\circ S(g)$が中心相似対称変換であることを示す．
$OA':OA=1:k,AA'$の垂直二等分線が直線$g$,$A$を通り$OA$に垂直な直線を$m$とする．
点$O$，$O$を通らない直線$g$,相似比$k$を与えたときこのような点$A,A'$が取れることは前半の証明と同じ．
$H(O,k)\circ S(g):A\mapsto A'\mapsto A$
$H(A,k)\circ S(m):A\mapsto A\mapsto A$,
次に直線$m$上に$B$をとる．
$H(O,k)\circ S(g):B\mapsto B'\mapsto B''$
$H(A,k)\circ S(m):B\mapsto B\mapsto B''$,
したがって，2点の像が一致し，ともに負の相似変換であるから
$H(O,k)\circ S(g)=H(A,k)\circ S(m)$ (補助定理の証明終わり)

負の相似変換$f$について
$A\mapsto A',B\mapsto B'$のとき場合分けをして調べる．
$(case 1) \ A'=A,B'=B$のとき
$f=S(AB)$
$(case 2) A'=A,B'\neq B$のとき
$\angle BAB'$の二等分線を$l$とすると
$f=H(A,\dfrac{AB'}{AB},l)$
以下，$A'\neq A,B'\neq B$の場合を考える．
$(case 3) \ \overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}$
$k=\pm 1$のとき$f$は負の合同変換であるから対称移動変換かすべり対称移動変換である．
$k\neq \pm 1$のとき$AA',BB'$の交点を$O$とすれば
$H(O,\dfrac{OA'}{OA}):A\mapsto A',B\mapsto B'$
であるから
$f=H(O,\dfrac{OA'}{OA},A'B')$
$(case 4) \ AB,A'B'$が平行でないとき
$AB=A'B'$のとき，$f$は合同変換であるから対称移動変換かすべり対称移動変換である．
$AB\neq A'B'$のとき
直線$AA'$上に点$O$を
$OA:OA'=AB:A'B'$
満たすように取る．点$B''$を
$B\stackrel{H(O,\frac{A'B'}{AB})}{\longmapsto}B''$
で定め，$\angle B''A'B'$の2等分線を$l$とすると
$S(l)\circ H(O,\frac{A'B'}{AB}):A\mapsto A',B\mapsto B'$
さらに，補助命題より$S(l)\circ H(O,\frac{A'B'}{AB})$は中心相似対称変換である．

以上のことより，平面から平面への負の相似変換は，対称移動変換，すべり対称移動変換，中心相似対称変換のいずれかであることが証明された．
特に，合同変換を除く負の相似変換は必ず中心相似対称変換で表せることが分かった．

前章で述べたことを合わせると，
合同変換を除く相似変換は
正の相似変換はらせん相似変換
負の相似変換は中心相似対称変換
である．
すなわち，合同変換を除く相似変換は必ず不動点がただ1つ持つことが分かる．



10．２つの円

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