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ここでは，中心相似変換と対称移動またはすべり対称移動の合成は調べる． この合成写像は負の相似変換であるから， 当然中心相似変換やらせん相似変換にはならない． そこで，ここでも中心相似変換と対称変換の合成のうち，扱いやすい変換を定義することになる． 定義 中心相似変換$H(O,k)$と直線$g$に関する対称移動$S(g)$の合成$S(g) \circ H(O,k)$のうち，中心相似変換の中心Oが 対称変換の対称軸g上にあるものを中心相似対称変換といい$H(O,k,g)$と表す. 
中心相似変換$H(O,k)$の相似の中心が対称移動$S(g)$の対称軸上にあるとき
$P\stackrel{S(g)}{\longmapsto}Q \stackrel{H(O,k)}{\longmapsto}S$ および $P\stackrel{H(O,k)}{\longmapsto}R \stackrel{S(g)}{\longmapsto}S$ に注目することにより $S(g) \circ H(O,k)=H(O,k) \circ S(g)$ が成り立つことが分かる． 中心相似変換と対称移動またはすべり対称移動の合成変換が中心相似対象変換であることを証明しよう． まず，すべり対称移動は$S(g) \circ T(\overrightarrow{v})$と表すことができ，中心相似変換と平行移動の 合成変換は１つの中心相似変換となるから，中心相似変換$H(O,k)$と対称移動$S(g)$の合成変換$S(g) \circ H(O,k)$のうち Oがg上にない場合だけを調べればよい． 考えている変換は負の相似変換であるから，２点の像できまるので，その２点として考えやすい２点を取って考える． 
相似の中心$O$は対称軸$g$上にない，$O$から直線$g$に下した垂線の足を$H$とし，点$A$を $\overrightarrow{OA}=\dfrac{2\overrightarrow{OH}}{k+1}$・・・@ を満たすようにとる． また，$A$を通り直線$g$に平行な直線を$m$とし， 直線$m$上に点$B$をとる． このとき,$H(O,k)$による$A,B$の像をそれぞれ$A',B'$とすると 線分$AA'$の中点が点$H$である（$A$と$H(O,k)(A)=A'$の中点がHとなるように点Aを定めたのが@の式である）. さらに，$g$に関して$B'$と対称な点を$B"$とすると$B"$は直線$m$上にあり次が成り立つ． $S(g) \circ H(O,k):A\mapsto A,B \mapsto B"$ 一方，$S(m) \circ H(A,k):A \mapsto A,B \mapsto B"$ ともに負の相似変換で，２点の像が等しいから $S(g) \circ H(O,k)=S(m) \circ H(A,k)$ が成り立つことが分かる． 具体的に対応を調べてみよう． 
右図は，
$O$から直線$g$に下した垂線の足を$H$とし，点$A$を$\overrightarrow{OA}=\dfrac{2\overrightarrow{OH}}{k+1}$ を満たすようにとり，直線$m$は$A$を通り直線$g$に平行な直線である． 右の図で，$H(O,k):A \mapsto A'$ かつ点$H$は$AA'$の中点である． $P \stackrel{H(O,k)} {\longrightarrow}P' \stackrel {S(g)}{\longrightarrow} P"$ のとき， $H(A,k):P\mapsto Q$により$Q$を定めると $AP:PQ=OP:PP'$ $PQ=(k-1)OA$ $AA'=(k-1)OA$ より四角形$OA'P'Q$は平行四辺形であるから $AA'=QP'=2AH=2CD$ したがって $Q \stackrel{S(m)}{\longmapsto}P"$ が成り立つ． $\therefore S(g) \circ H(O,k)=S(m) \circ H(A,k)$ 負の相似変換は中心相似変換と対称移動またはすべり対称移動の合成であるが，これらは中心相似対称変換で表せるから， 負の相似変換は中心相似対象変換に限ることが証明された． 以上のことより，平面から平面への相似変換は，中心相似変換，らせん相似変換，中心相似対称変換のいずれかであることが証明された． 10．２つの円 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |