次の定義はすでに合同変換で述べてあるが再度述べる．
定義6-2
平面上の$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$について，$\triangle ABC$を$ABCA$と回った向き（時計回りか反時計回り）と$\triangle A'B'C'$を$A'B'C'A'$と回った 向きが同じとき$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$は同じ向きであるといい，反対向きのとき$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$は 反対向きであるという．

定義6-3
相似変換$f$による$\triangle ABC$の像が$\triangle A'B'C'$のとき．
$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$が同じ向きのとき$f$を正の相似変換といい，
$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$が反対向きのとき$f$を負の相似変換という．

相似変換の土台となる性質は次の定理です．

定理6-1
異なる2点の像を定めれば，2つの相似変換が定まり，片方は正の相似変換で，もう一方は負の相似変換である．
証明
異なる2点$A,B$の像をそれぞれ$A',B'$とする．
$A'B'=kAB$
とする．
平面上の任意の点を$P$とする． 点$P$が直線$AB$上の時，$P$の像$P'$は
直線$A'B'$上の
$A'P':P'B'=AP:PB$
を満たす点．すなわち，同じ比に内分，外分する点．
$P$が直線$AB$上にないとき， $A'B'=kAB$
および
$A'P'=kAP,$
$B'P'=kBP$
である． $A'$を中心とする半径$kAP$の円と$B'$を中心とする半径$kBP$の円を描くと交点は2つありその点を$P',P''$とする．
ここで，$\triangle ABP$と$\triangle A'B'P'$は同じ向きとする．
このとき$P\mapsto P'$は正の相似変換で$P\mapsto P''$は負の相似変換である．(証明終わり)

定理6-1の証明は$A\mapsto A',B\mapsto B'$より2つの写像$P\mapsto P',P\mapsto P''$が決まるといっているだけで，$P\mapsto P',P\mapsto P''$が相似変換であることは示していない．すなわち，一意性は示したが存在は示していない．それは後で中心相似変換を用いて説明することになるが 現時点で命題6-1は認めることにする．
2つの図形が相似であることの定義は意外と煩雑であるがここでは次の定義とする．
定義6-4
2つの図形$S,S'$に対して，$S$の像が$S'$である相似変換が存在するとき，$S$と$S'$は相似であるといい
$S$∽$S'$
と表す．

次に相似変換で保たれる性質(相似変換の不変量)を調べよう．
定理6-2
相似変換では次が成り立つ．
(1) 1対1であり逆変換が存在ずる．
(2) 一直線上にある3点の像は一直線上にあり，直線の像は直線である．
(3)線分の比は変わらない．
(4)角の大きさの絶対値は変わらない．
(5)二つの三角形の面積比は変わらない，
証明
相似変換$f$で
$f:A\mapsto A',B\mapsto B'$
とする．
(1)$A'B'=kAB (k > 0)$より
相似変換$f$は$1:1$写像である．
$g:A'\mapsto A,B'\mapsto B$
である相似変換は2つ存在するが，$f$が正の相似変換のとき$g$は正の相似変換，$f$が負の相似変換の時$g$は負の相似変換と定めれば
$g\circ f,f\circ g$
は恒等変換である．したがって$g$は逆変換．
(2) $A,B,P$が一直線上の時
相似比$k$の相似変換で
$A\mapsto A',B\mapsto B',P\mapsto P'$とする
$A'P'=kAP,P'B=kPB$より
$AP+PB=AB$のとき$A'P'+P'B'=A'B'$
であるから$A,P,B$が一直線上の時$A',P',B'$も一直線上にある．
さらに
$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$
のとき
$\overrightarrow{A'P'}=t\overrightarrow{A'B'}$
であるから直線の像は直線である．
(3),(4)
相似比$k$の相似変換で
$A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$
のとき
$A'B'=kAB,A'C'=kAC$より
$A'B':A'C'=AB:AC$
また
$\triangle ABC$∽$\triangle A'B'C'$より
$\angle BAC$と$\angle B'A'C'$の大きさの絶対値は変わらない．

(5)
$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$の面積の比は$1:k^2$であるから三角形の面積の比も変わらない．
閉曲線で囲まれた領域は三角形で分割近似すると，相似変換でそれぞれの三角形の面積が$k^2$倍になるので， 相似変換で，2つの図形の面積の比が変わらないことが分かる．(証明終わり)

次の定理が成り立つ．
定理6-3
相似変換で$\triangle ABC$の像が$\triangle A'B'C'$のとき，$\triangle ABC$の内心，外心，重心，垂心，傍心の像はそれぞれ$\triangle A'B'C'$の内心，外心，重心，垂心，傍心である．

重心だけ示す．辺$BC$の中点$D$の像は辺$B'C'$の中点$D'$であり，線分$AD$を$2:1$に内分する点$G$の像は線分$A'D'$を$2:1$に内分する点である(定理6-2(3))

具体的な相似変換がないと相似変換は扱いづらい．具体的な相似変換として，中心相似変換を中心相似変換を導入する．中心相似変換とは次の変換です．


定義
点$O$は定点である．任意の平面上の点$P$に対して$P$の像$P$'を $\overrightarrow{OP'}=k\overrightarrow{OP'}　\ \ \ $($k$は0でない定数)
で定義する.平面上の変換$P\mapsto P'$を$O$を中心とする相似比$k$の中心相似変換（homothetic transformation）という．

この変換を$H(O,k)$で表す．
$k > 0$のとき$P,P'$は$O$に関して同じ側にあり，$k < 0$のとき反対側にある．
$H(O,1)$は恒等変換であり，$H(O,-1)$は点$O$に関する対称移動($O$の周りの$180^{\circ}$といってもよい)である．

定理6-4
中心相似変換は正の相似変換である．
証明 まず，中心相似変換は相似変換であることを示す．
$A,B$を任意の点とする．
中心相似変換$H(O,k)$で
$A\mapsto A',B\mapsto B'$
のとき
$OA:OA'=OB:OB=1:|k|$
したがって
$A'B'=|k|AB$
が成り立つから，$H(O,k)$は相似変換である．
$k > 0$のとき$HO,k)$は図形の向きを変えない．(裏返さない)
$k < 0$のとき
$H(O,k)=H(O,|k|)\circ H(O,-1)$
で$H(O,-1)$は$O$の周りの$180^{\circ}$の回転移動で正の合同変換であるから，$H(O,k)$は図形の向きを変えない．(証明終わり)

中心相似変換を用いて，任意の2点$A,B$および$A',B'$を与えたときの相似変換を簡単に作ることができる．
実際
線分$AA'$を$AB:A'B'$に外分または内分する点を$O$とすれば
$A\stackrel{H(O,\frac{A'B'}{AB})}{\longmapsto}A'$
であり，
$B\stackrel{H(O,\frac{A'B'}{AB})}{\longmapsto }B''$
で$B''$を定義する．
$\angle B''OB'=\theta$とおいて点$A'$を中心とする$\theta$回転する回転変換を$R(A',\theta)$
$\angle B''A'B'$の二等分線を$l$と$l$に関する対称変換を$S(l)$で表す．
このとき，$R(A',\theta)\circ H(O,\frac{A'B'}{AB})$は$AB\mapsto A'B'$の正の相似変換で，$S(l)\circ H(O,\frac{A'B'}{AB})$は負の相似変換である．
これで，定理6-1の証明が終了した．

中心相似変換$H(O,k)$を与えれば，
$A\mapsto A',B\mapsto B'$
のとき
$\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}$
成り立つ.$(\because\triangle OAB$∽$\triangle OA'B')$
この性質は$k\neq 0,1$のとき逆も成り立つ．

定理6-5
平面の変換で，任意の2点$A,B$の像をそれぞれ$A',B'$とする．
定数$k(\neq 0,1)$が存在して
$\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}$
を満たすならこの変換は相似比$k$の中心相似変換である．
証明 $k > 0$のとき示す．
線分$AA'$を$1:k$に外分する点を$O$とすると
$\overrightarrow{OA'}=k\overrightarrow{OA}$
仮定より
$\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}$
であるから
$\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{AB}$
より
$\overrightarrow{OB'}=k\overrightarrow{OB}$
したがって
$B\stackrel{H(O,k)}{\longmapsto}B'$
すなわち$H(O,k)$が求める中心相似変換である．
$k < 0$のとき線分$AA'$を$1:|k|$に内分すれ点を$O$とすれば同じ証明である．(証明終わり)

例1
$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$の対応辺がそれぞれ平行なとき，
$\triangle ABC \mapsto \triangle A'B'C'$
である平行移動または中心相似変換が存在する．
証明
対応辺が平行であるから
$\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B'C'}=l\overrightarrow{BC},\overrightarrow{C'A'}=m\overrightarrow{CA}$
と表すことができる．
$\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{B'C'}=k\overrightarrow{AB}+l\overrightarrow{BC}\cdots (1)$
一方
$\overrightarrow{A'C'}=n\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{BC}\cdots (2)$
$(1),(2)$および$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$が一次独立より
$k=l=m$
したがって
$\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B'C'}=k\overrightarrow{BC},\overrightarrow{C'A'}=k\overrightarrow{CA}\cdots (\sharp)$
となる．
$k=1$のとき
$\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BC},\overrightarrow{C'A'}=\overrightarrow{CA}$
であるから
$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}$
したがって，$\overrightarrow{AA'}$で定まる平行移動で
$\triangle ABC \mapsto \triangle A'B'C'$
$k\neq 1$のとき．定理6-4の証明と同じである．
$k > 0$のとき，線分$AA'$を$1:k$に外分する点を$O$，$k < 0$のとき，線分$AA'$を$1:|k|$に内分する点を$O$とすると
$\triangle ABC \stackrel{H(O,k)}{\longmapsto}\triangle A'B'C'$
である．(証明終わり)

$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$の対応辺がそれぞれ平行なとき，
$\triangle ABC$∽$\triangle A'B'C'$
が成り立つことが分かる．
これは三角形だから成り立つことで 四角形では対辺が平行でも相似になるとは限らない．それは長方形を考えればわかる．例の証明で示した$(\sharp)$は三角形 だから成り立つことで自明ではない．

例2
線分$AB,CD$が平行な時，線分$AB$の像が線分$CD$である中心相似変換は2つある．台形にこの性質を利用しよう．
四角形$ABCD$を$AD\parallel BC$の台形とする．
$AB,CD$および$AC,BD$の交点をそれぞれ$O,O'$とすると，
$H(O,\frac{BC}{AD}):A\mapsto B,D\mapsto C$
および
$H(O',-\frac{BC}{AD}):A\mapsto C,D\mapsto B$
中心相似変換で内分点，外分点の比を変えないから
線分$AB,CD$の同じ比に内分，外分する点をそれぞれ$P,Q$とすると，3点$O,P,Q$は同一直線上にあり，
線分$AB,DC$の同じ比に内分，外分する点をそれぞれ$P',Q'$とすると，3点$O',P',Q'$は同一直線上にある．
特に，$AB,CD$の中点をそれぞれ$M,N$とすると，4点$O,O',M,N$は同一直線上にある．
この事実は，中心相似変換を用いれば容易に気が付くが見落としがちである．
なお，直接の証明は次の様に行えばよい．
$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{b}$とおく．
$\overrightarrow{OA}=t\overrightarrow{a},\overrightarrow{OD}=t\overrightarrow{b}$と表せ$(AD\parallel BC)$
$AO':O'C=t:1$より
$\overrightarrow{OO'}=\dfrac{t}{1+t}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$(証明終わり)

2つの図形$S,S'$がある中心相似変換$H(O,k)$で
$S\mapsto S'$
のとき$S$と$S'$は相似の位置にあるといい，$O$を相似の中心という．
相似の定義は相似の位置を用いて次のようにすることも多い(中学の教科書).
定義
1つの図形$S,S'が$片方を動かして(裏返すも含む)相似に位置に置くことができるとき，$S$と$S'$は相似であるといい$S$∽$S'$と表す．

中心相似変換を利用して9点円の性質を証明する．
例3
$\triangle ABC$の辺$BC,CA,AB$の中点をそれぞれ$D,E,F$とする．$\triangle ABC$の重心を$G$とすると
$AG:GD=BG:GE$
$=CG:GF=2:1$
であるから
$H(G,-\frac{1}{2}):A\mapsto D,B\mapsto E,C\mapsto F$
すなわち中心相似変換$H(G,-\frac{1}{2})$による$\triangle ABC$の像は$\triangle DEF$である．
$\triangle DEF$の垂心は$\triangle ABC$の外心であるから
$\triangle ABC$の外心$O$,重心$G$,垂心$H$は直線上にあり
$OG:GH=2:1$
である．
さらに$\triangle DEF$の外心を$O'$とすると
$O,G,O'$は直線上にあり
$OG:G'=2:1$
すなわち，$O'$は$OH$の中点である．
$\triangle ABC$の外接円の半径を$R$とすると，$\triangle DEF$の外接円は中心が$OH$の中点で半径が$\frac{R}{2}$である．
次に線分$AH,BH,CH$の中点をそれぞれ$A',B',C'$とすると
$H$を中心とする相似比$\frac{1}{2}$の中心相似変換で
$A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C',O\mapsto O'$
$\triangle DEF$の外接円は$A',B',C'$も通ることが分かる．
さらに，$\triangle DEF$の外接円上には，$\triangle ABC$の各頂点から対辺に下ろした垂線の足もある．その証明には，三角形の次の性質を用いる．
$\triangle ABC$のい垂心を$H$とする．
命題
直線$AH$と辺$BC$,$\triangle ABC$の外接円との交点をそれぞれ$A_1,A_2$とする．
このとき
$HA_1=A_1A_2$
が成り立つ．
命題の証明
$\angle A_2BC=\angle A_2AC \ \ $(弧$A_2C$の円周角)
$=\angle CBB_1 (=90^{\circ}-\angle C)$
しががって$BC$は$\angle B_1BA_2$の二等分線でかつ$AA_2\perp BC$である．(命題の証明終わり)
$\triangle ABC$の各頂点から対辺に下ろした垂線の足を$A_1,B_1,C_1$およびその延長と外接円のとも交点を$A_2,B_2,C_2$とする(下図 1)．
命題より，$H$を中心とする中心相似変換で
$A_2\mapsto A_1,B_2\mapsto B_1,C_2\mapsto C_1$
であるから，$\triangle A_1B_1C_1$の外接円は中心が$HO$の中点である$O'$,半径が$\frac{R}{2}$すなわち$\triangle DEF$の外接円と一致する．

次に2円の関係を調べよう．
定理6-5
中心が異なる2円は相似の位置にあり，相似の中心は，2円の半径が異なれば2つあり，2円の半径が1つのときは1つである．
証明 2円の中心を$O,O_1,$半径を$r,R$とする.
線分$OO_1$を$r:R$に外分，内分する点をそれぞれ$A,B1$とすると，
中心相似変換$H(A,\frac{R}{r}),H(B1,-\frac{R}{r})$による円$O$の像が円$O_1$である．
実際，円$O$上の任意の点を$P$とする．
$H(O,\frac{R}{r}):P\mapsto Q$
定義すると
$AO:AO_1=r:R,AP:PQ=r:R$
であるから
$\triangle APO$∽$\triangle AQO_1$
したがって
$O_1Q=R$
より点$Q$は円$O_1$上である．
$H(B,-\frac{R}{r})$も同様．
逆は必要ないと思うが，必要なら$H(A,\frac{r}{R}),H(B,-\frac{r}{R})$を考えればよい．
なお，円$O,O_1$が交わるときや，片方がもう一方に含まれる時も中心を半径の比に内分すれ点は相似の中心である．
また，$r=R$の時は$OO_1$を$r:R$に外分する点は存在しないので，相似の中心は1つで，もう一つは平行移動となる．(証明終わり)

定理6-5
点$A$が2円$O,O_1$の相似の中心とする．このとき，$A$から円$O$に引いた接線は円$O_1$にも接する．
証明
円$O$の像が円$O_1$である中心相似変換を$H(A,k)$とする．
$A$から円$O$に引いた接点を$S$とする．
$H(O,k):S\mapsto T$
で$T$を定義すると直線$OT$は円$O_1$の接線である．
実際，$T$は円$O_1$上にあり，直線$OT$と円$O_1$と$T$以外の点$T'$でも交わるとすると，$T'$の原像は直線$OS$上にも円$O$上にもあることより$S$ となり，中心相似変換が$1:1$に矛盾する．

定理6-5より2円$O,O'$共通外接線，共通内接線次のように引けばよい．
$(1)$円$O$の半径$OP$を定め，$OP$と平行な円$O'$の直径を$QR$とする．
$(2)$2直線$OO',PQ$の交点$A$,2直線$OO',PR$の交点$B$が相似の中心である．
(これは，線分の内分点，外分点の優れた作図法)
$(3) \ A,B$から円$O$に接線を引く．すなわち，線分$AO$が直径の円と円$O$との交点$X$と$A$を結ぶ直線(共通外接線)，および直径$BO$が直径の円と円$O$との交点$Y$ と$B$を結ぶ直線(共通内接線)である．

ここまで，中心相似変換の基本性質を学んできました．ここで，中心相似変換を問題を解くことに利用しよう．
平面の変換を用いるときには，軌跡の概念を持つことが大切です．
例えば，点$O$と図形$S$が与えられたとき
中心相似変換$H(O,\frac{1}{2})$による$S$の像$S'$とは, 点$P$が$S$上を動くときの線分$OP$の中点$Q$の軌跡が$S'$であるということです．
例4 平面上に点$O$と2直線$l,m$が与えれている．$l$上に点$A$,$m$上に点$B$をとり，線分$OA$の中点が$B$であるようにせよ．このような$A,B$は 必ず存在するか．
を考えます．
$\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}$
より$H(O,\frac{1}{2})$による$l$の像を$l'$とする．
$l'$と$m$の交点を$B$とし，
$\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}$
で$A$を定めればよい．
2直線$l',m$が交わらないとき，すなわち$l\parallel m$のとき
$l'$と$m$が一致するとき，$l$上の任意の点$A$で条件を満たし，$l'$と$m$が一致しないとき，条件を満たす$l$上の点$A$は存在しない．
この問題は計算(解析幾何)でも解決します．
問題
点$A(0,3)$と直線$l:y=\frac{1}{2}x,m:y=2x$がある．$m$上に点$P$,$n$上に点$Q$をとり，線分$AP$の中点が$Q$であるようにせよ．
解答例
$A(0,3)$を通る直線を$y=mx+3$とする．
$P,Q$の$x$座標はそれぞれ
$\dfrac{6}{1-2m},\dfrac{3}{2-m}$
より
$\dfrac{3}{2-m}:\dfrac{6}{1-2m}=1:2$
$m=-1$
したがって，
$P(2,1),Q(1,2)$

このように，図形的考察はしないでも解くことができます．これは小学校の数学と方程式を用いた解答と似ています．
図形的考察と解析幾何の両方大切で，上手に使い分けることが必要です．

7．中心相似変換の合成合成

平面における幾何学変換の目次


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