6.相似変換
相似変換(similarity transformation)とは,平面上の任意の2点A,Bとその像A’,B’について常に
AB=$k$A’B’ ($k$は正の定数)
が成り立つ変換のことで,一定の値$k$をこの相似変換の相似比といいます.
相似変換の土台となる性質は次の定理です.

定理 相似変換は1直線上にない3点の像によって決まる.
証明
A,B,Cを平面上の同一直線上にない3点とし,相似比$k$の相似変換$f$によるA,B,C の像をそれぞれA’,B’,C’とする.
すなわち,
A'B'=$k$AB,B'C'=$k$BC,C'A'=$k$CA
が成り立つ.
このとき,平面上の任意の点Pの$f$による像P'がただ1点決まることを示せばよい.
$\bullet \ $Pが直線AB上にないとき.
A’を中心とする半径kAPの円とB’を中心とする半径kBPの円の交点をP',P"とする.
Pが直線ABに関してCと同じ側(反対側)にあるとき,A’B’に関してC’と同じ側(反対側) にある方の点を選べばよい.
$\bullet \ $Pが直線AB上の点のとき.
A’を中心とする半径$k$APの円とB’を中心とする半径$k$BPの円は接するのでその接点がP'である.

このように,平面上の相似変換は合同変換と同じように1直線上にない3点の像で決まることがわかった. すなわち,平面上の△ABCと 相似な△A’B’C’を平面上のどこに置くかで
$f:\triangle ABC \mapsto A'B'C'$
である相似変換$f$が決まる.

次の定義はすでに合同変換で述べてあるが再度述べる.
定義
平面上の△ABCと△A’B’C’について,ABCAと回った向き(時計回りか反時計回り)とA’B’C’A’と回った 向きが同じとき△ABCと△A’B’C’は同じ向きであるといい,反対向きのとき△ABCと△A’B’C’は 反対向きであるという.

定義
相似変換$f$による△ABCの像が△A’B’C’のとき.
△ABCと△A’B’C’が同じ向きのとき$f$を正の相似変換といい,
△ABCと△A’B’C’が反対向きのとき$f$を負の相似変換という.


上で述べた定理はその証明から分かるように,次の形に書き換えることができる
定理
平面上の2つの線分AB,A'B'がありA'B'=$k$ABのとき. $A \mapsto A',B \mapsto B'$である相似比$k$の相似変換は2つ存在して,片方は正の相似変換でもう一方は負の相似変換である.


これから,一般の相似変換を,中心相似変換を用いて調べていきます.中心相似変換とは,2つの対応する相似な図形が相似の位置 にあるような相似変換のことです.

定義
点Oは定点である.任意の平面上の点Pに対してPの像P'を $\overrightarrow{OP'}=k\overrightarrow{OP'} \ \ \ $($k$は0でない定数) で定義する平面上の変換をOを中心とする相似比$k$の中心相似変換(homothetic transformation)という.

ここではこの変換を$H(O,k)$で表す.
定義からわかるように,$H(O,k)$は正の相似変換で $|k|>1$なら拡大であり,$|k|<1$なら縮小である.
$k>0$なら原像とその像はOに関して同じ側にあり, $k<0$なら原像とその像はOに関して反対側にある.
中心相似変換についてのつぎの性質は便利である.
正の相似変換は2点の像だけで決まる.
したがって,
$A \mapsto A',B \mapsto B'$ で$\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{A'B'}$のとき 2直線AA',BB'の交点をOとすると
$H(O,\dfrac{A'B'}{AB}):A \mapsto A',B \mapsto B'$ であるから,線分AA'を線分BB'にうつす正の相似変換は中心相似変換$H(O.\dfrac{A'B'}{AB})$である.

この中心相似変換を用いると,一般の相似変換が見やすくなる.
平面を$R^2$で表せば,任意の相似比kの相似変換
$f:R^2 \longrightarrow R^2$
と相似比$k$の中心相似変換
$H(O,k):R^2 \longrightarrow R^2$
の関係より
$f \circ H(O,k)^{-1}$
は合同変換でありそれを$g$とおく.(なお,$H(O,k)^{-1}$は存在して$H(O,k)^{-1}=H(O,\dfrac{1}{k})$.)
このとき,
$f \circ H(O,k)^{-1}=g$
したがって,任意の相似比$k$の相似変換$f$は相似比$k$の中心相似変換$H(O,k)$と合同変換$g$を用いて
$f=g \circ H(O,k)$
と表せる.
合同変換は,平行移動,回転移動,対称移動,すべり対称しかないからgがそれぞれの場合を調べれば,相似変換が どういう変換に限られるかが分かる.以下それらを1つ1つ調べていく.


7.中心相似変換の合成合成

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