|
ここでは，回転移動の合成を扱います． すでに，２つの回転移動の合成はやはり回転移動になること，すなわち $R(O',\phi) \circ R(O,\theta)=R(O",\theta + \phi)$ が成り立つことはすでに証明しました． しかし，この結果には少し付け加える必要があります．それは $\theta + \phi =2 \pi$ のときです．このときは，証明を振り返れば分かるように，２直線$l,m$が平行になる場合で交わりません． したがって，この場合は別途考える 必要があります． 
右図で，直線$l$は直線ＯＯ’を点Ｏの周りに$-\dfrac{\theta}{2}$回転したもので，
直線$m$は直線ＯＯ’を点Ｏ'の周りに$\dfrac{\phi}{2}$回転したものです．このとき $R(O,\theta)=S(OO') \circ S(l),R(O',\phi)=S(m) \circ S(OO')$ したがって $R(O',\phi) \circ S(O,\theta)=S(m) \circ S(OO')\circ S(OO') \circ S(l)$ $=S(m) \circ S(l)$ ここで$l$‖$m$であるから， $l$上の点Ｏから直線$m$に下した垂線の足をＨとすると $S(m) \circ S(l)=T(2\overrightarrow{OH})$ となる． したがって，２つの回転移動の合成は，回転角の和が$2\pi$のとき平行移動になる． 平行移動の向きは２直線$l,m$の共通垂線$l$から$m$へ向かう向きで，大きさは$l,m$間の距離の２倍である． ２つの回転移動の中心が同じで，回転角の和が$2\pi$のとき，当然恒等変換になります． 以上のことより次の定理が成り立つことが分かります． 定理 ｎ個の回転移動 $R(O_1,\theta _1),R(O_2,\theta _2),\cdots,R(O_n,\theta _n)$ がある． このとき次が成り立つ． （１）$\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n \neq 2n\pi$ (nは整数)のとき $R(O_n,\theta_n)\circ \cdots \circ R(O_1,\theta _1)$ は回転角$\theta_1+\cdots+\theta_n$の回転移動である． （２）$\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n = 2n\pi$ (nは整数)のとき $R(O_n,\theta_n) \circ \cdots \circ R(O_1,\theta _1)$ は恒等変換か平行移動である． なお，恒等変換，平行移動のいずれであるかについては， $\bigr(R(O_n,\theta_n)\circ \cdots \circ R(O_{k+1},\theta_{k+1})\bigl) \circ \bigl(R(O_k,\theta_k)\circ \cdots \circ R(O_1,\theta _1)\bigr)$ と２つの回転移動の合成と考えたとき，それぞれの回転の中心が同じ点なら恒等変換で，異なれば平行移動である． となる． 実際には，，恒等変換か平行移動のどちらであるかを判断するには，計算しやすい特別な点Aを用いて， Aの像を調べるのもよく行われる． すなわちAの像がAなら恒等変換で，異なれば平行移動である． 
以下具体的な場合を調べてみよう．
右回りの△ABCで∠A=$\alpha$,∠B=$\beta$,∠C=$\gamma$とする．このとき$R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)$ を考えよう． 右図を見れば分かるように，直線ABをAの周りに$-\alpha$回転すると直線ACで直線BAをBの周りに$\beta$回転したものが 直線BCである． したがって， $R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)=R(C,2(\alpha +\beta ))$ $\therefore R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)=$(恒等変換) を得る． これは $R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)$ $=S(CA)\circ S(CB)\circ S(BC)\circ S(BA)\circ S(AB)\circ S(AC)$ $=S(CA)\circ S(AC)=$恒等変換 と見ても納得できると思う． 
ここで注意するべきことは，$\alpha,\beta,\gamma$が正の角のとき，
$\triangle ABC$右回り（時計回り），すなわち通常と逆の向きであることです．通常の左回り（反時計周り）に$\triangle ABC$を考えたとき $R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)$ が恒等変換にならないことを確認しよう． 正三角形$\triangle ABC$で考えると分かりやすい． $R(C,120^{\circ}) \circ R(B,120^{\circ}) \circ R(A,120^{\circ})$ による$A,B$の像を調べてみよう． $A \mapsto A \mapsto P \mapsto P'$ $B \mapsto Q \mapsto Q' \mapsto Q"$ でともに不動点でない． もちろん，恒等変換でなければ平行移動であるから $\overrightarrow{AP'}=\overrightarrow{BQ"}$ になっている． 三角形がこのように左回りのときは， $R(C,-120^{\circ}) \circ R(B,-120^{\circ}) \circ R(A,-120^{\circ})$・・・@ が恒等変換になっている． さらに，$-120^{\circ}$は$240^{\circ}$であるから，@は $R(C,240^{\circ}) \circ R(B,240^{\circ}) \circ R(A,240^{\circ})$ が恒等変換と書くこともできる．したがって，次のことが成り立ちます． 命題 $\triangle ABC$の内角を $\angle A=\alpha,\angle B=\beta,\angle C=\gamma$ とおく．ただし，$\alpha,\beta,\gamma$は向きは考えず正とする． このとき，次が成り立つ． ３点A,B,Cが右回り（時計回り)のとき $R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)$ は恒等変換で ３点A,B,Cが左回り（反時計回り)のとき $R(C,-2\gamma) \circ R(B,-2\beta) \circ R(A,-2\alpha)$ は恒等変換である． さて，３つの回転移動の合成に関して細かく検討してきたが，次の定理はとても大切です．この定理は問題を解くときに よく用いられます． 定理 一直線上にない３点A,B,Cが与えられ，３点A,B,Cにおける回転移動$R(A,2\alpha)，R(B,2\beta),R(C,2\gamma)$について， 次が成り立つ． $R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)=$(恒等変換) $\Longrightarrow$ ∠CAB=$\alpha$,∠ABC=$\beta$,∠BCA=$\gamma$ が成り立つ． 
証明$R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)=$(恒等変換) より $\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$ である．さらに， $R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)$の回転の中心と$R(C,2\gamma)$の回転の中心が一致する， したがって，直線ABをAの周りに$-\alpha$回転した直線と直線BAをBの周りに$\beta$回転した直線の交点が点Cである． ゆえに ∠CAB=$\alpha$,∠ABC=$\beta$,∠BCA=$\gamma$ が成り立つ． 4つの回転移動の合成については次の定理が成り立つ． 定理 平面上に同一直線上にない４点A,B,C,Dが右回りに与えられている． 各点における回転 $S(A,\dfrac{\pi}{2}),S(B,\dfrac{\pi}{2}),S(C,\dfrac{\pi}{2}),S(D,\dfrac{\pi}{2})$ について次が成り立つ． $S(D,\dfrac{\pi}{2})\circ S(C,\dfrac{\pi}{2})\circ S(B,\dfrac{\pi}{2})\circ S(A,\dfrac{\pi}{2})=$(恒等変換) $\Longrightarrow$ $AC \bot BD , AC=BD$ 
証明$S(B,\dfrac{\pi}{2})\circ S(A,\dfrac{\pi}{2})$および$S(D,\dfrac{\pi}{2})\circ S(C,\dfrac{\pi}{2})$ はそれぞれ回転角$\pi$の回転移動（点対称移動）であり，合成が恒等変換より，それぞれの回転の中心は 一致し，その点をOとする． △OAB,△OCDはそれぞれ直角二等辺三角形より △OACを$-\dfrac{\pi}{2}$回転移動すると△OBDになる． したがって $AC \bot BD , AC=BD$ が成り立つ． 4．平行移動と回転移動の合成 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |