3.回転移動の合成
ここでは,回転移動の合成を扱います.
すでに,2つの回転移動の合成はやはり回転移動になること,すなわち
$R(O',\phi) \circ S(O,\theta)=R(O",\theta + \phi)$
が成り立つことはすでに証明しました.
しかし,この結果には少し付け加える必要があります.それは
$\theta + \phi =2 \pi$
のときです.このときは,証明を振り返れば分かるように,2直線$l,m$が平行になる場合で交わりません.
したがって,この場合は別途考える 必要があります.

右図で,直線$l$は直線OO’を点Oの周りに$-\dfrac{\theta}{2}$回転したもので, 直線$m$は直線OO’を点O'の周りに$\dfrac{\phi}{2}$回転したものです.
このとき
$R(O,\theta)=S(OO') \circ S(l),R(O',\phi)=S(m) \circ S(OO')$
したがって
$R(O',\phi) \circ S(O,\theta)=S(m) \circ S(OO')\circ S(OO') \circ S(l)$
$=S(m) \circ S(l)$
ここで$l$$m$であるから, $l$上の点Oから直線$m$に下した垂線の足をHとすると
$S(m) \circ S(l)=T(2\overrightarrow{OH})$
となる.
したがって,2つの回転移動の合成は,回転角の和が$2\pi$のとき平行移動になる.
平行移動の向きは2直線$l,m$の共通垂線$l$から$m$へ向かう向きで,大きさは$l,m$間の距離の2倍である.
2つの回転移動の中心が同じで,回転角の和が$2\pi$のとき,当然恒等変換になります.

以上のことより次の定理が成り立つことが分かります.

定理
n個の回転移動
$R(O_1,\theta _1),R(O_2,\theta _2),\cdots,R(O_n,\theta _n)$
がある.
このとき次が成り立つ.
(1)$\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n \neq 2n\pi$ (nは整数)のとき
$R(O_n,\theta_n)\circ \cdots \circ R(O_1,\theta _1)$
は回転角$\theta_1+\cdots+\theta_n$の回転移動である.
(2)$\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n = 2n\pi$ (nは整数)のとき
$R(O_n,\theta_n) \circ \cdots \circ R(O_1,\theta _1)$
は恒等変換か平行移動である.

なお,恒等変換,平行移動のいずれであるかについては,
$\bigr(R(O_n,\theta_n)\circ \cdots \circ R(O_{k+1},\theta_{k+1})\bigl) \circ \bigl(R(O_k,\theta_k)\circ \cdots \circ R(O_1,\theta _1)\bigr)$
と2つの回転移動の合成と考えたとき,それぞれの回転の中心が同じ点なら恒等変換で,異なれば平行移動である.
となる.
実際には,,恒等変換か平行移動のどちらであるかを判断するには,計算しやすい特別な点Aを用いて, Aの像を調べるのもよく行われる.
すなわちAの像がAなら恒等変換で,異なれば平行移動である.


以下具体的な場合を調べてみよう. 右回りの△ABCで∠A=$\alpha$,∠B=$\beta$,∠C=$\gamma$とする.このとき
$R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)$
を考えよう.
右図を見れば分かるように,直線ABをAの周りに$-\alpha$回転すると直線ACで直線BAをBの周りに$\beta$回転したものが 直線BCである.
したがって,
$R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)=R(C,2(\alpha +\beta ))$
$\therefore R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)=$(恒等変換)
を得る.
これは
$R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)$
$=S(CA)\circ S(CB)\circ S(BC)\circ B(BA)\circ S(AB)\circ S(AC)$
$=S(CA)\circ S(AC)=$恒等変換
と見ても納得できると思う.


ここで注意するべきことは,$\alpha,\beta,\gamma$が正の角のとき, $\triangle ABC$右回り(時計回り),すなわち通常と逆の向きであることです.
通常の左回り(反時計周り)に$\triangle ABC$を考えたとき
$R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)$
が恒等変換にならないことを確認しよう.
正三角形$\triangle ABC$で考えると分かりやすい.
$R(C,120^{\circ}) \circ R(B,120^{\circ}) \circ R(A,120^{\circ})$
による$A,B$の像を調べてみよう.
$A \mapsto A \mapsto P \mapsto P'$
$B \mapsto Q \mapsto Q' \mapsto Q"$
でともに不動点でない.
もちろん,恒等変換でなければ平行移動であるから
$\overrightarrow{AP'}=\overrightarrow{BQ"}$
になっている.
三角形がこのように左回りのときは,
$R(C,-120^{\circ}) \circ R(B,-120^{\circ}) \circ R(A,-120^{\circ})$・・・@
が恒等変換になっている.
さらに,$-120^{\circ}$は$240^{\circ}$であるから,@は
$R(C,240^{\circ}) \circ R(B,240^{\circ}) \circ R(A,240^{\circ})$
が恒等変換と書くこともできる.したがって,次のことが成り立ちます.
命題
$\triangle ABC$の内角を
$\angle A=\alpha,\angle B=\beta,\angle C=\gamma$
とおく.ただし,$\alpha,\beta,\gamma$は向きは考えず正とする.
このとき,次が成り立つ.
3点A,B,Cが右回り(時計回り)のとき
$R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)$
は恒等変換で
3点A,B,Cが左回り(反時計回り)のとき
$R(C,-2\gamma) \circ R(B,-2\beta) \circ R(A,-2\alpha)$
は恒等変換である.
さて,3つの回転移動の合成に関して細かく検討してきたが,次の定理はとても大切です.この定理は問題を解くときに よく用いられます.

定理
一直線上にない3点A,B,Cが与えられ,3点A,B,Cにおける回転移動$R(A,2\alpha),R(B,2\beta),R(C,2\gamma)$について, 次が成り立つ.
$R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)=$(恒等変換)
$\Longrightarrow$
∠CAB=$\alpha$,∠ABC=$\beta$,∠BCA=$\gamma$
が成り立つ.


証明
$R(C,2\gamma) \circ R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)=$(恒等変換)
より $\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
である.さらに,
$R(B,2\beta) \circ R(A,2\alpha)$の回転の中心と$R(C,2\gamma)$の回転の中心が一致する,
したがって,直線ABをAの周りに$-\alpha$回転した直線と直線BAをBの周りに$\beta$回転した直線の交点が点Cである.
ゆえに
∠CAB=$\alpha$,∠ABC=$\beta$,∠BCA=$\gamma$
が成り立つ.


4つの回転移動の合成については次の定理が成り立つ.

定理
平面上に同一直線上にない4点A,B,C,Dが右回りに与えられている.
各点における回転
$S(A,\dfrac{\pi}{2}),S(B,\dfrac{\pi}{2}),S(C,\dfrac{\pi}{2}),S(D,\dfrac{\pi}{2})$
について次が成り立つ.
$S(D,\dfrac{\pi}{2})\circ S(C,\dfrac{\pi}{2})\circ S(B,\dfrac{\pi}{2})\circ S(A,\dfrac{\pi}{2})=$(恒等変換)
$\Longrightarrow$
$AC \bot BD , AC=BD$
証明
$S(B,\dfrac{\pi}{2})\circ S(A,\dfrac{\pi}{2})$および$S(D,\dfrac{\pi}{2})\circ S(C,\dfrac{\pi}{2})$
はそれぞれ回転角$\pi$の回転移動(点対称移動)であり,合成が恒等変換より,それぞれの回転の中心は 一致し,その点をOとする.
△OAB,△OCDはそれぞれ直角二等辺三角形より △OACを$-\dfrac{\pi}{2}$回転移動すると△OBDになる.
したがって
$AC \bot BD , AC=BD$
が成り立つ.


4.平行移動と回転移動の合成

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