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競技会の数学の問題において，２円に関するものが非常に多く，
半径の異なる２円は相似の位置にあることを用いることが多い． 当然この事実は当たり前のことで，当たり前と思われることをいちいち証明することは 本稿の趣旨ではないが．高校生に話をしていると 証明を求められうことも多く，そのときに即答できるほど単純な問題ではない． さらに，２円の関係をきちんと調べることは，２円の共通外接線，共通内接線をきちんと理解することにもなり， 以下に挙げる３定理を証明することも意味があると思い，付け足した次第である． 証明するのは次の定理である． 定理１ 中心相似変換による円の像は円である． 定理２ 半径の異なる2円は，相似の位置にあり，２通りの中心相似変換がある． 定理３ 半径の異なる２円の共通接線は相似の中心を通る．逆に相似の中心を通り片方の円に接する直線は共通接線である． 証明のまえに，相似の位置の定義をする． 定義 2つの図形$S,S'$に対して，中心相似変換$H(O,k)$が存在して$S \stackrel{H(O,k)}{\longrightarrow}S'$を満たすとき， $S,S'$は相似比$k$の相似の位置にあるといい，Oを相似の中心という． 中学，高校生に教えるとき，相似の定義はなかなか難しい． 通常は「１つの図形を形を変えず一定の割合に拡大，または縮小したとき，その図形ともとの図形とは相似 である」としている．当然，この曖昧とした言い方が，対象が中高生のとき，一番妥当な方法であることは 異論はないであろう． 厳密に行うとすれば，「２つの図形$S,S'$が相似の位置におくことができるとき，$S,S'$は相似である」となる． 定理１ 中心相似変換$H(O,k)$による$A$を中心とする半径$r$の円は,$H(O,k)$による$A$の像$A'$を中心とする半径$kr$の円である． 
証明$A$を中心とする半径$r$の円上の任意の点$P$について$H(O,k)$による$P$の像を$P'$とすると $A'P'=kAP=kr$ したがって，$P'$は$A'$を中心とする半径$kr$の円上にある． 逆に$A'$を中心とする半径の$kr$上の任意の点を$Q'$とし，直線$OQ'$上に点$Q$を $\overrightarrow{OQ}=\frac{\overrightarrow{OQ'}}{k}$ を満たすようにとる．このとき $\triangle OA'Q'$∽$\triangle OAQ$ より $OQ=r$ であるから点$Q$は点$A$を中心とする半径$r$の円上にある． 定理2 任意の半径の異なる２円$A,A'$は相似の位置にあり， その方法は２通りある．すなわち，円$A$を円$A'$にうつす中心相似変換は２つある． 
証明点Aを中心とする円の半径を$r$,点$A'$を中心とする円の半径を$r'$とする． 円$A$の周上に点$P$をとり，$A'$を通り$AP$に平行な直線と円$A'$との交点を$P',P"$とする．ただし $\overrightarrow{A'P'}$と$\overrightarrow{AP}$は同じ向きとする． ここで，$AA'$と$PP'$との交点を$O,AA'$と$PP"$との交点を$O'$とする． このとき， $\dfrac{OA'}{OA}=\dfrac{A'P'}{AP}=\dfrac{r'}{r}$ $\dfrac{O'A'}{O'A}=\dfrac{A'P"}{AP}=\dfrac{r'}{r}$ したがって， (円$A$)$\stackrel{H(O,\dfrac{r'}{r})}{\longmapsto}$(円$A'$) (円$A$)$\stackrel{H(O',-\dfrac{r'}{r})}{\longmapsto}$(円$A'$) が成り立つ． この証明から，２円の相似の中心の求めかたも分かる． すなわち，$AP$と平行な直線を$P'P"$を引き，$PP'$と$AA'$の交点および $PP"$と$AA'$の交点が相似の中心である．相似の中心はそれぞれ，線分ABを半径の比に 外分，内分する点で，それらは，共通外接線の交点，共通内接線の交点になっている． 
ここで，２円の共通内接線が引ける引けないにかかわらず相似の中心が２つあることに注意する．
すなわち，右図の$O'$も相似の中心である．
定理3 半径の異なる２円の相似の中心を通る片方の円の接線は必ずもう一方の円にも接する． 
証明２円$A,A'$の半径をそれぞれ$r,r'$と，相似の中心を線分$AA'$を$r:r'$に外分する点$O$ のとき証明する． 点$O$を通る円$A$の接線を$OT$とする．このとき，中心相似変換$H(O,\dfrac{r'}{r})$による 円$A$の像は円$A'$,直線$OT$の像は直線$OT$であるから $T$の像$T'$は直線$OT$と円$A'$の交点である．さらに，直線$OT$と円$A'$の交点が$T'$以外にあるとする． その点を$S'$とする．このとき$S'=H(O,\dfrac{r}{r'})(S)$で決めれば$S$は$OT$上かつ円$A$上にあり， さらに$T$と異なる点であるから$OT$が円$A$に接するに矛盾する． したがって，直線$OT$と円$A'$との共有点が１点だけであるから，直線$OT$が円$A'$の接線であることが証明された． 相似の中心が線分$AA'$の内分点のときも同様である． 
この定理は２円の共通外接線，共通内接線の引き方を説明している．
すなわち，共通外接線は，中心を結ぶ線分を半径の比に外分する点を求め，その点を通り片方の円に接する直線を引けばよく，
共通内接線は，中心を結ぶ線分を半径の比に内分する点を求め，その点を通り片方の円に接する直線を引けばよい．
右図は共通接線の引き方を示している．1.円$A$上の点$P$をとり$AP$‖$A'P'$（または$AP$‖$A'P"$）. 2.$AA'$と$PP'$（または$PP"$）の交点が相似の中心$O$(または$O'$). ３$OA$（または$O'A$）を直径とする円と円との交点をTとすると直線$OT$が共通接線である． ． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |