1.三角形$ABC$の各辺上に３頂点をとり，１辺が辺$BC$との平行な正三角形を作れ． 解答 
2.定円$O$の２つの半径$OA,OB$によって３等分される弦を作図せよ． 解答 
3.右図のように，$O$を通る３つの半直線$OX,OY,OZ$と点$A$が与えられている． $A$を通る直線が３直線$OX,OY,OZ$と交わる点をそれぞれ$P,Q,R$とし， $PQ:QR=1:2$ となるように直線$APQR$を定めよ． 解答 
4.与えられた$\triangle ABC$の底辺$BC$上に定点$P$がある．辺$AB$上に点$S$,辺$BC$上に点$Q$,辺$AC$上に点$R$を取り， 四角形$PQRS$をひし形にしたい．$Q,R,S$をどのようにとればよいか． 解答 
5.(パスカルの定理)6角形$ABCDEF$が円に内接する．このとき，対辺の交点は同一直線上にある． すなわち$AB$と$DE$との交点を$P$，$BC$と$EF$の交点を$Q$,$CD$と$FA$の交点を$R$とすると，３点$P,Q,R$は同一直線上にある． 証明 6.(トレミー不等式) 凸四角形$ABCD$において，つねに $AB\cdot CD+BC\cdot DA \geqq AC \cdot BD$ が成り立つ． 等号が成り立つのは，四角形$ABCD$が円に内接するときに限る． 証明 
7.(シムソン線)$\triangle ABC$と任意の１点$P$があり，$P$から辺$BC,CA,AB$またはその延長に下した垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする． このとき次が成り立つ． $P$が$\triangle ABC$の外接円上 $\Longleftrightarrow$ 3点$D,E,F$が一直線上 証明 
8.$\triangle ABC$は$\angle A=90^{\circ}$の直角三角形である．頂点$A$から斜辺$BC$に 下ろした垂線の足を$D$とする．$\triangle ABD, \ \triangle ADC$のそれぞれの内心$I,J$を結ぶ直線と$AB,AC$ との交点をそれぞれ$K,L$とする． $\triangle ABC$の面積を$S$,$\triangle AKL$の面積を$T$とするとき， 不等式 $S\geqq 2T$ が成り立つことを証明せよ． 解答 
9.(ニュートンの定理)四角形$ABCD$が円に外接し，接点を$P,Q,R,S$とする．このとき，４本の直線$AC,BD,PR,QS$は一点で交わる． 証明 
10.(デザルグの定理)平面上の$\triangle ABC$と$\triangle DEF$があり，３直線AD,BE,CFのどの２本も平行でなく， $AB \nparallel DE, \ BC \nparallel EF, \ CA \nparallel FD$のとき次が成り立つ． 3直線$AD,BE,CF$が１点で交わる $\Longleftrightarrow \ $ $AB$と$DE$の交点を$P,BC$と$EF$の交点を$Q,CA$と$FD$の交点を$R$とすると， ３点$P,Q,R$は一直線上にある． ただし$\nparallel$は平行でないを表す． 証明 
11.一辺の長さ$x$の正三角形の３頂点がすべて一辺の長さ１の正方形上にある．このとき，$x$の 取り得る範囲を求めよ． 解答 
12.正方形$ABCD$と正方形$A'B'C'D'$はともにある地域の異なる縮尺の地図であり，図のように一つの地図上に他の地図が置かれている． このとき，その地域の同じ場所を表す小さな地図上の点$O$と大きな地図上の点$O'$で， $O$と$O'$が重なっているものがただ一つだけ存在することを示せ． また，定規とコンパスだけを用いてその点$O$を求めよ． 解答 
13.(Steinerの定理)$\triangle ABC$の辺$BC$上に点$D,E$を $\angle BAD=\angle CAE$ を満たすようにとる． このとき $\dfrac{AC^2}{AB^2}=\dfrac{CD\cdot CE}{BD \cdot BE}$ が成り立つ． 証明 
14.円$O$に外接する四角形$ABCD$の対角線$AC,BD$の中点をそれぞれ$M,N$とすると３点$O,M,N$は一直線上にある． 証明 
15.四角形$ABCD$の辺$AB,BC,CD,DA$上にそれぞれ点$P,Q,R,S$を $AP:AB=DR:DC=t:1$ $AS:AD=BQ:BC=s:1$ を満たすようにとる． $PR$と$QS$の交点を$T$とするとき $ST:SQ=t:1$ $PT:PR=s:1$ が成り立つ． 証明 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |