次に平行移動変換を考える．
$\overrightarrow{v}=(a,b)$ で定まる平行移動変換$T(\overrightarrow{v})$は
$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+a \\ y+b\end{pmatrix}$
これでもいいが，これは線形変換でないので，少し工夫する．
$\begin{pmatrix}a&b&p\\c&d&q\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by+p\\cx+dy+q\\1\end{pmatrix}$
であることに注意する．
$(x,y)$を$(x,y,1)$として扱うのですがこれには平面の斉次座標の知識が必要なので，そこから始めます．
斉次座標は無限遠点も一緒に扱うための平面の座標です．定義は後で述べるとして，ます斉次座標の背景から説明します．
点を2直線の交点としてとらえます．無限遠点を平行線の交点としてとらえようというわけです．
座標平面における2直線
$ax+by+p=0,cx+dy+q=0\cdots (1)$
の交点を求めると
$x=\dfrac{\begin{vmatrix}b&p\\d&q\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}, y=\dfrac{\begin{vmatrix}p&a\\q&c\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$
である．
なお，ここで$|\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}|$は行列$\bigl(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\bigr)$の行列式$ad-bc$である．
解$x,y$の分子は外積
$(a,b,p)\times (c,d,q)$
の$x$成分$y$成分であることに注意しよう．
証明は，$\bigl(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\bigr)$の逆行列を左側からかければ簡単に得られるが， ここでは，Cramerの方法でとこう．
行列式
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$
の第1列，第2列をそれぞれベクトル
$\begin{pmatrix}ax+by+p\\cx+dy+q\end{pmatrix}$
で置き換えた行列式をそれぞれ
$\begin{vmatrix}ax+by+p&b\\cx+dy+q&d\end{vmatrix},\begin{vmatrix}a&ax+by+p\\c&cx+dy+q\end{vmatrix}\cdots (2)$
とする． $x,y$を連立方程式$(1)$の解とすると，行列式$(2)$はそれぞれ$0$である．
一方
$\begin{vmatrix}ax+by+p&b\\cx+dy+q&d\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}p&b\\q&d\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}a&ax+by+p\\c&cx+dy+q\end{vmatrix}=y\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&p\\c&q\end{vmatrix}$
であるから
$x=-\dfrac{\begin{vmatrix}p&b\\q&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}} =\dfrac{\begin{vmatrix}b&p\\d&q\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}},$
$y=-\dfrac{\begin{vmatrix}a&p\\c&q\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}} =\dfrac{\begin{vmatrix}p&a\\q&c\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$
である．
さて，2直線$l,m$を
$l:ax+by+p=0,m:cx+dy+q=0$
とすると
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\neq 0$
のとき$l,m$の交点が決まり
$x=\dfrac{\begin{vmatrix}b&p\\d&q\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}, y=\dfrac{\begin{vmatrix}p&a\\d&c\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$
である．
ここで，$(x,y)$を連比$x:y:1$とみる．すなわち
$(x,y)=\dfrac{\begin{vmatrix}b&p\\d&q\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}:\dfrac{\begin{vmatrix}p&a\\d&c\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}:1 =\begin{vmatrix}b&p\\d&q\end{vmatrix}:\begin{vmatrix}p&a\\d&c\end{vmatrix} :\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$
とみる．これならば
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=0$
すなわち$l\parallel m$のときでも$l,m$の交点が定義でき
$\begin{vmatrix}b&p\\d&q\end{vmatrix}:\begin{vmatrix}p&a\\d&c\end{vmatrix} :0$
である．
平行な2直線
$y=mx,y=mx+n$
交点を求めよう．
$(m,-1,0)\times (m,-1,n)=(-n,-mn,0)$
より，交点は
$1:m:0$
である．
これは，直線$y=mx+n$上の無限遠点の座標である．
各直線上に無限遠点が一点あり，すべての無限遠点は
$1:n:0,0:1:0$で尽くされる．すなわち
$m:n:0$
である．
点の座標$(x,y)$を連比
$x:y:1=x_1:y_1:z_1$
ただし$z_1\neq 0$のとき
$x=\dfrac{x_1}{z_1},y=\dfrac{y_1}{z_1}$
である3数の組$(x_1,y_1,z_1)$で点を表す方法を斉次座標という．

斉次座標の意味が大体分かったところで，平面の斉次座標の定義を行おう．

定義
直交座標系$O-xy$において
順序のある3数$(x_1,y_1,z_1)\neq (0,0,0)$が以下の3条件満たすとき平面の斉次座標という．
条件1: $k\neq 0$のとき$(x_1,y_1,z_1)$と$(kx_1,kx_2,kx_3)$は同じ斉次座標である．
条件2:$z_1\neq 0$のとき$(x_1,y_1,z_1)$は
$x=\dfrac{x_1}{z_1},y=\dfrac{y_1}{z_1}$
で定義した$(x,y)$は直交座標である．
条件3:$z_1=0$のときすなわち$(x_1,y_1,0)$は無限遠点の座標である．

注意
ここでは直交座標で斉次座標を定義した．一般には平面上に
原点$O$と1次独立な2つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$による座標系$[O:\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$による座標すなわち点$P$の座標$(x,y)$を
$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$
で定義し，これをアフィン座標という，この座標で斉次座標を定義することが多い．

ここで定義した平面の座標を平面の斉次座標という．斉次座標は平面に無限遠点を追加したもので 無限遠点を追加した平面を拡大平面と呼ぶ
直交座標系における直線$ax+by+c=0$は斉次座標では
$x,y$をそれぞれ$\frac{x}{z},\frac{y}{z}$で置き換えた
$a\dfrac{x}{z}+b\dfrac{y}{z}+c=0$
すなわち
$ax+by+cz=0$
である．
すべての無限遠点を通る直線は
$z=0$
であり，この直線を無限遠直線と呼ぶ．
無限遠直線上の点はすべて無限遠点である．

すでに，原点の像が原点である合同変換(平面上の距離を保つ変換）は原点のまわりの回転変換か，原点を通る直線に関しての対称変換に限ることより線形変換であることが分かるが，もし合同変換が直接線型変換であることが証明されるなら，
原点の像が原点である合同変換は原点を中心とする回転移動か原点を通る直線に関する対称移動である
を示すのは簡単です．
実際，線型変換を表す行列を
$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $
とおけば
$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+by \\ cx+dy \end{pmatrix}$
距離を保つから任意の$x,y$で
$(ax+by)^2+(cx+dy)^2=x^2+y^2$
$\therefore (a^2+c^2-1)x^2+2(ab+cd)xy+(b^2+d^2-1)y^2=0$
したがって，
$a^2+c^2=1,b^2+d^2=1,ab+cd=0$
$\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} $, $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \phi \\ \sin \phi \end{pmatrix} $
とおくことができ
$\begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} \cos \phi \\ \sin \phi \end{pmatrix}$
より
$\phi =\theta \pm \dfrac{\pi}{2}$
$\therefore A= \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix} $
を得る．$\blacksquare$

このように，線型変換であることが分かれば，行列の問題になり扱いやすくなります． すなわち，

定理
原点を原点にうつす合同変換は線型変換である

が合同変換の本質にかかわる定理です．
この定理の直接の証明を行います．

まず，合同変換(距離を保つ変換)で成り立つ性質を整理します．

命題1
合同変換で一直線上の３点の像は一直線上にあり３点間の比は変えない．
証明
$A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$
のとき
$AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'$
である.
たとえば，$B$が線分$AC$の内分点のとき
$AB+BC=AC$
が成り立ち.
$A'B'+B'C'=A'C'$
がなりたつ．したがって
$A',B',C'$は一直線上にある．
また
$AB:BC=A'B':B'C'$
が成り立つ．$\blacksquare$

命題2
合同変換で直線の像は直線である．
証明
直線$l$上に２点$A,B$をとり，合同変換により
$A\mapsto A',B\mapsto B'$
とする．
直線$l$上の任意の点を$P$とし
$P\mapsto P'$
とすれば, $A,B,P$が一直線上にあるから，$A',B',P'$を一直線上のある．したがって，$P'$は 直線$A'B'$上にある．
逆に$P'$が直線$A'B'$上にあるとき, 直線$l$上に点$P$を
$AP:PB=A'P':P'B'$
を満たすようにとる．
このとき
$P\mapsto P'$
である．
したがって，直線$A'B'$上のすべての点は直線$l$上の点の像になっている．$\blacksquare$

命題3
合同変換で平行な２直線の像は平行な２直線である
証明
背理法で示す．
平行な２直線$l,m$の像をそれぞれ$l',m'$とする．
もし$l',m'$が平行でないと仮定する．$l',m'$の交点を$P'$とする．
このとき$P'$の原像$P$は$l$上にも$m$上にもあり$l,m$が交わることになり矛盾．$\blacksquare$

以上の準備で原点を原点にうつす合同変換は線型変換であることが証明できる．
定理
原点を原点にうつす合同変換
$\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$
は線型変換である．

証明
$\boldsymbol{f};A(\boldsymbol{a})\mapsto A'(\boldsymbol{a'}), B(\boldsymbol{b})\mapsto B'(\boldsymbol{b'})$
とする．このとき
$\boldsymbol{f}(k\boldsymbol{a})=k\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}) \ \ $ただし$k$は実数$\cdots (1)$
$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})+ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{b})\cdots (2)$
を示せばよい．
$(1)$は命題１より
$\boldsymbol{f}(k\boldsymbol{a})=k\boldsymbol{a}'=k\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})$
$(2)$は，
$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$とおき，
$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{c})=\boldsymbol{c}'$とする．
$C(\boldsymbol{c}),C'(\boldsymbol{c}')$とおく．命題3より
$AC\parallel OB$より$A'C'\parallel O'B'$
$BC\parallel OA$より$B'C'\parallel O'A'$
四角形$OA'C'B'$は平行四辺形より
$\boldsymbol{c}'=\boldsymbol{a}'+\boldsymbol{b}'$
したがって
$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) =\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})+\boldsymbol{f}(\boldsymbol{b})$
が証明された，$\blacksquare$

原点を原点にうつす合同変換
$\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$
が線型変換であることが分かったので，あとは線型代数の問題で，
原点を原点にうつす合同変換全体が直交群$O(n)$，原点を原点にうつす 向きを保つ合同変換全体が特殊直交群$SO(n)$になる．
．


2.空間の合同変換

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