ここでは，合同変換を別の立場から眺めてみましょう．
合同変換の定義は
定義
平面$\mathbb{R}^2$から平面$\mathbb{R}^2$への変換のうち２点間の距離を変えない変換を合同変換という
でした．
平面間の合同変換は異なる２点の像が決まれば，正の合同変換，負の合同変換１つずつ決まる．
実際
$A\mapsto A',B\mapsto B'$
のとき
$P$が直線$AB$上にないとき
$PA=P'A',PB=P'B',AB=A'B'$
を満たす点$P'$は２点ありそれらは
$\triangle ABP$と$\triangle A'B'P'$が同じ向きと反対向きである．
$Q$が直線$AB$上のとき$Q$の像$Q'$は
$AQ:QP=A'Q':Q'B'$より同じ比に内分，外分する点である．
したがって，原点を原点にうつす等長変換は原点以外の点$A$の像$A'$(ただし$OA=O'A'$)
が決まれば正の変換，負の合同変換一つずつ決まる．
一方$\angle A'OA=\theta$とすれば，原点の周りの$\theta$回転の回転変換は条件を満たす正の合同変換で
線分$AB$の垂直２等分線に関する対称変換は条件を満たす負の合同変換である．
したがって，原点を原点にうつす等長変換は原点
の周りの回転変換か原点を通る直線に関する対称変換である．
もし，距離を保つ変換に線型変換の条件を仮定して，すなわち
距離を保つ線型変換は回転移動か対称移動である
ことを示すのは簡単です．
実際，線型変換を表す行列を
$A=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
$
とおけば
$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ax+by \\
cx+dy
\end{pmatrix}$
より任意の$x,y$で
$(ax+by)^2+(cx+dy)^2=x^2+y^2$
$\therefore (a^2+c^2-1)x^2+2(ab+cd)xy+(b^2+d^2-1)y^2=0$
したがって，
$a^2+c^2=1,b^2+d^2=1,ab+cd=0$
$\begin{pmatrix}
a \\
c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{pmatrix}
$,
$\begin{pmatrix}
b \\
d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \phi \\
\sin \phi
\end{pmatrix}
$
とおくことができ
$\begin{pmatrix}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{pmatrix}
\perp
\begin{pmatrix}
\cos \phi \\
\sin \phi
\end{pmatrix}$
より
$\phi =\theta \pm \dfrac{\pi}{2}$
$\therefore A=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
\sin \theta & -\cos \theta
\end{pmatrix}
$
を得る．
このように，線型変換であることが分かれば，行列の問題になり扱いやすくなります．
すなわち，
定理
原点を原点にうつす合同変換は線型変換である
が合同変換の本質にかかわる定理のなのです．
この定理の証明がこの付記の目標です．
それでは始めましょう．
まず，合同変換(距離を保つ変換)で成り立つ性質を整理します．
命題1
合同変換で一直線上の３点の像は一直線上にあり３点間の比は変えない．
証明
$A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$
のとき
$AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'$
である.
たとえば，$B$が線分$AC$の内分点のとき
$AB+BC=AC$
が成り立ち.
$A'B'+B'C'=A'C'$
がなりたつ．したがって
$A',B',C'$は一直線上にある．
また
$AB:BC=A'B':B'C'$
が成り立つ．
命題2
合同変換で直線の像は直線である．
証明
直線$l$上に２点$A,B$をとり，合同変換により
$A\mapsto A',B\mapsto B'$
とする．
直線$l$上の任意の点を$P$とし
$P\mapsto P'$
とすれば,
$A,B,P$が一直線上にあるから，$A',B',P'$を一直線上のある．したがって，$P'$は
直線$A'B'$上にある．
逆に$P'$が直線$A'B'$上にあるとき,
直線$l$上に点$P$を
$AP:PB=A'P':P'B'$
を満たすようにとる．
このとき
$P\mapsto P'$
である．
したがって，直線$A'B'$上のすべての点は直線$l$上の点の像になっている．
命題3
合同変換で平行な２直線の像は平行な２直線である
証明
背理法で示す．
平行な２直線$l,m$の像をそれぞれ$l',m'$とする．
もし$l',m'$が平行でないと仮定する．$l',m'$の交点を$P'$とする．
このとき$P'$の原像$P$は$l$上にも$m$上にもあり$l,m$が交わることになり矛盾．
以上の準備で原点を原点にうつす合同変換は線型変換であることが証明できる．
定理
原点を原点にうつす合同変換
$\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$
は線型変換である．
証明
$\boldsymbol{f};A(\boldsymbol{a})\mapsto A'(\boldsymbol{a'}),
B(\boldsymbol{b})\mapsto B'(\boldsymbol{b'})$
とする．このとき
$\boldsymbol{f}(k\boldsymbol{a})=k\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}) \ \ $ただし$k$は実数$\cdots (1)$
$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})+
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{b})\cdots (2)$
を示せばよい．
$(1)$は命題１より
$\boldsymbol{f}(k\boldsymbol{a})=k\boldsymbol{a}'=k\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})$
$(2)$は，
$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$とおき，
$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{c})=\boldsymbol{c}'$とする．
$C(\boldsymbol{c}),C'(\boldsymbol{c}')$とおく．
$AC\parallel OB$より$A'C'\parallel O'B'$
$BC\parallel OA$より$B'C'\parallel O'A'$
四角形$OA'C'B'$は平行四辺形より
$\boldsymbol{c}'=\boldsymbol{a}'+\boldsymbol{b}'$
したがって
$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})
=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})+\boldsymbol{f}(\boldsymbol{b})$
が証明された，
原点を原点にうつす合同変換
$\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$
が線型変換であることが分かったので，あとは線型代数の問題で，
原点を原点にうつす合同変換全体が直交群$O(n)$，原点を原点にうつす
向きを保つ合同変換全体が特殊直交群$SO(n)$になる．
．
6．相似変換
平面における幾何学変換の目次
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