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ここでは，相似の中心が異なる２つの中心相似変換の合成が１つの中心相似変換となること，
すなわち，２つの中心相似変換$H(O',k_1),H(O",k_2)$の合成変換$H(O",k_2) \circ H(O',k_1)$が$H(O,k_1k_2)$と
なることを示します．ただし$k_1,k_2 \neq 0$とします．
中心相似変換で次の性質はこれからもよく用います． 定理 正の相似変換$f$について，A,Bの像がそれぞれA',B'で$\overrightarrow{AB}$‖$\overrightarrow{A'B'}$を満たすとき $f$は中心相似変換である． 証明 正の相似変換は2点の像で決まる．別の言い方をすれば，2つの正の相似変換$f,g$が $f(A)=A',f(B)=B'$, $g(A)=A',g(B)=B'$ なら，$f=g$である. 一方，2直線AA',BB'の交点をOとすると，$\overrightarrow{AB}$‖$\overrightarrow{A'B'}$より $OA:OA'=OB:OB'$ である． したがって， $H(O,\dfrac{OA'}{OA}):A \mapsto A',B \mapsto B'$ $\therefore f=H(O,\dfrac{OA'}{OA})$ この定理を用いれば正の相似変換$H(O",k_2) \circ H(O',k_1)$が１つの中心相似変換で表せることは簡単です． 実際，平面上の２点A,Bをとり $H(O',k_1):AB \mapsto A'B'$, $H(O',k_2):A'B' \mapsto A"B"$ とすると， $\overrightarrow{AB}$‖$\overrightarrow{A'B'}$, $\overrightarrow{A'B'}$‖$\overrightarrow{A"B"}$ さらに $A"B"=k_1k_2AB$ より，$H(O",k_2) \circ H(O',k_1)$は相似比$k_1k_2$の中心相似変換である． 中心相似変換と平行移動の合成$T(\overrightarrow{v}) \circ H(O,k)$も１つの中心相似変換 で表せることもまったく同じ証明です． 上の証明で， $H(O",k_2) \circ H(O',k_1)=H(O,k_1k_1)$ が示せたわけだが，相似の中心$O$がどこにあるかははっきりしない． 合成変換の相似の中心を求めるには次のようにすればよい． 
$O_1,O_2$を異なる点とし，$P\stackrel{H(O_1,k_1)}{\longmapsto}P_1\stackrel{H(O_2,k_2)}{\longmapsto}P_2$ とする．$O_1P$の延長と$P_2$を通り$O_1O_2$と平行な直線との交点を$Q$, $P_2P$と$O_1O_2$との交点を$O$とする． $\dfrac{OP_2}{OP}=\dfrac{O_1Q}{O_1P}=\dfrac{O_1Q}{O_1P_1}\centerdot\dfrac{O_1P_1}{O_1P}=k_1k_2$ さらに，$\triangle P_2OO_2$に注目し，メネラウスの定理より $\dfrac{k_1k_2-1}{1}\centerdot \dfrac{OO_1}{O_1O_2}\centerdot\dfrac{1}{k_2-1}=1$ $\therefore \dfrac{OO_1}{O_1O_2}=\dfrac{k_2-1}{k_1k_2-1}$ $\therefore \dfrac{OO_2}{OO_1}=\dfrac{k_2-1}{k_2(k_1-1)}$ ・・・@ $O_1,O_2$は定点であるから点$O$も定点である．@で定めた$O$用いて， $H(O",k_2) \circ H(O',k_1)=H(O,k_1k_1)$ 成り立つことが示された． ２つの中心相似変換の合成の相似の中心は，もとの２つの相似の中心を結ぶ直線上にあるから， 次の定理が成り立つことが分かる． 
定理平行な長さの異なる３本の線分AB,CD,EFがある．ACとBDの交点をO,CEとDFの交点をO',AEとBFの交点をO"とすると３点 O,O',O"は一直線上にある． 証明 $H(O",\dfrac{EF}{AB})=H(O',\dfrac{EF}{CD}) \circ H(O,\dfrac{CD}{AB})$ であるから，O,O',O"は一直線上にある． なお, $H(O",k_2) \circ H(O',k_1)=H(O,k_1k_1)$ で$O,O',O"$が一直線上にあることは次のように見てもよい． $O_1$を $H(O'，k_1):O \mapsto O_1$ ・・・@ で定義すると $H(O"，k_2):O_1 \mapsto O$ ・・・A である． @より$O,O',O_1$が同一直線上にあり，Aより$O,O",O_1$が同一直線上． したがって，$O,O',O"$は同一直線上にある． 
中心相似変換の合成を用いて，三角形のメネラウスの定理を見直してみよう．$\triangle ABC$の変AB上に点Dを辺AC上に点Eを取りDEとBCの交点をFとする． このとき $H(D,-\dfrac{DA}{DB}):B \mapsto A$ $H(E,-\dfrac{EC}{EA}):A \mapsto C$ $\therefore H(E,-\dfrac{EC}{EA}) \circ H(D,-\dfrac{DB}{DA}):B \mapsto C$ $H(E,-\dfrac{EC}{EA}) \circ H(D,-\dfrac{DA}{DB})$の相似の中心はDEとBCの交点Fであり相似比は$\dfrac{FC}{FB}$. したがって， $-\dfrac{DA}{DB}\cdot (-\dfrac{EC}{EA})=\dfrac{FC}{FB}$ $\therefore \dfrac{DA}{DB}\cdot \dfrac{FB}{FC}\cdot \dfrac{EC}{EA}=1$ 8．らせん相似変換 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |