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平面における幾何学変換を扱います．平面における幾何学変換は通常，
合同変換，相似変換，反転変換を意味しますが，
ここでは，合同変換，相似変換に関して述べ，反転変換は別に扱います． 図形の問題を解くことの楽しさにはいろいろありますが，その一つに，与えられた条件にない点，直線，円を付け加えて 解くことにあります．これらをそれぞれ，補助点，補助線，補助円と呼ぶますが，これらの付け加える点，直線，円の 背景に幾何学変換があります．これらの関係に注目し，問題の解く楽しみを伝えたいと思います． 合同変換 まず，これから話を進める上で必要な言葉の定義を述べる． 定義 Ａ，Ｂを集合とする．ＡからＢへの写像$f$すなわち $f$：Ａ→Ｂ が$A \ni a,b$に対して $a\neq b$ならば$f(a)\neq f(b)$ を満たすとき写像$f$は１対１であるという． 定義 Ａ，Ｂを集合とする．ＡからＢへの写像$f$すなわち $f$：Ａ→Ｂ が$f$（Ａ）＝Ｂを満たすとき写像$f$は上への写像という． 定義 Ａ，Ｂを集合とする．ＡからＢへの写像$f$ のうちＡとＢが一致し，すなわち $f$：Ａ→Ａ でさらに１対１かつ上への写像のとき$f$をＡの変換という． 以下合同変換の解説に入ります． 定義 平面の変換のうち，２点間の距離を変えない変換を合同変換という． ２点間の距離を変えないので等長変換というほうが自然ですが，３辺が等しい三角形は合同であり， 一般の図形は三角形で分割近似することで，この変換により合同な図形にうつる ことが分かる，初等幾何ではこの変換を合同変換と言います． 等長変換は微分幾何でよく用いられ，２つの曲面が伸び縮みさせないで変形した， すなわち平面を円柱や円錐に巻きつけることによる平面から円柱面や円錐面への対応に用いるのが一般的で， 平面幾何では合同変換を用います． 合同変換とは，平面上の任意の２点Ａ，Ｂとその像Ａ’，Ｂ’について常に ＡＢ＝Ａ’Ｂ’ が成り立つ変換のことです． 合同変換の土台となる性質は次の定理です． 定理 合同変換は１直線上にない３点の像によって決まる． 
証明Ａ，Ｂ，Ｃを平面上の同一直線上にない３点とし，合同変換$ｆ$によるＡ，Ｂ，Ｃの像をそれぞれＡ’，Ｂ’，Ｃ’とする． このとき，平面上の任意の点Ｐの$f$による像$f$（Ｐ）がただ１点決まることを示せばよい． $\bullet \ \ $Ｐが直線ＡＢ上にないとき． Ａ’を中心とする半径ＡＰの円とＢ’を中心とする半径ＢＰの円の交点をＰ'，Ｐ"とする． Ｐが直線ＡＢに関してＣと同じ側（反対側）にあるとき，Ａ’Ｂ’に関してＣ’と同じ側（反対側） にある方の点を選べばよい． $\bullet \ \ $Ｐが直線ＡＢ上の点のとき． Ａ’を中心とする半径ＡＰの円とＢ’を中心とする半径ＢＰの円は接するのでその接点が$f$（Ｐ）である． このように，平面上の合同変換は１直線上にない３点の像で決まることがわかった．すなわち，平面上の△ＡＢＣと 合同な△Ａ’Ｂ’Ｃ’を平面上のどこに置くかで $f:\triangle ABC \longmapsto A'B'C'$ が決まる． 定義 平面上の△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’について，ＡＢＣＡと回った向き（時計回りか反時計回り）とＡ’Ｂ’Ｃ’Ａ’と回った 向きが同じとき△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’は同じ向きであるといい，反対向きのとき△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’は 反対向きであるという． 
定義合同変換$f$で△ＡＢＣの像が△Ａ’Ｂ’Ｃ’のとき． △ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’が同じ向きのとき$f$は正の合同変換といい， △ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’が反対向きのとき$f$は負の合同変換という． 上で述べた定理１はその証明から分かるように，次の形に書き換えることができる 定理２ 平面上の２つの線分ＡＢ，Ａ’Ｂ’がありＡＢ＝Ａ’Ｂ’のとき． $A \mapsto A',B \mapsto B'$ である合同変換は２つ存在して，片方は正の合同変換でもう一方は負の合同変換である． 合同変換は３点の像で決まるので，平面上に置かれた△ＡＢＣに対して，合同な△Ａ’Ｂ’Ｃ’をどのように（そのままか裏返すか ）どこに置くかで合同変換 $\triangle ABC \mapsto \triangle A'B'C'$ が決まる． 頂点Ａを頂点Ａ’にうつす合同変換は平行移動，対称移動（ＡＡ’の垂直２等分線），回転移動（ＡＡ’の垂直２等分線上の 任意の点を中心とする）が考えられる．さらに，２つの合同な三角形△ＡＢＣ，△Ａ’Ｂ’Ｃ’で頂点Ａと頂点Ａ’が同じ点 のとき，２つの三角形が同じ向きなら回転移動で，反対向きなら対称移動で，２つの三角形を重ね合わせることができる． したがって，合同変換は平行移動，回転移動，対称移動の合成で表すことができることが分かる．すなわち，これらの合成 変換を調べることが合同変換を調べることになります． これから平行移動，回転移動，対称移動の合成を調べていきます． ここで，合同変換で用いる記号をまとめておきます． ベクトル$\overrightarrow{a}$で決まる平行移動（translation transformation）を$T(\overrightarrow{a})$. 点Ａを中心とする中心角$\theta$の回転移動（rotation transformation）を$R(A,\theta)$, 直線$l$に関する対称移動（symmetric transformation ）を$S(l)$と表します． ２．同種の合同変換の合成 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |