定義1-4
$A$を集合とする．
$A$の変換のうち，$A$の元を変えない変換，すなわち任意の$a\in A$に対して
$a\mapsto a$
の変換を$A$の恒等変換という．この変換を$I$で表す．

定義1-5
$A$を集合，$f$を$A$の変換とする．
$f:A\to A,a\mapsto b$
に対して
$b\mapsto a$
で決まる変換を$f$の逆変換といい，$f^{-1}$で表す．

定義1-6
$A$を集合，$f,g$を$A$の変換とする． $a\in A$に対して
$g(f(a))$で決まる$A$の変換
$A\to A,a\mapsto g(f(a))$
を$f,g$の合成といい$g\circ f$で表す．

ここで群の定義をします．
集合$A$があり，$A$の元にある演算$\circ$が定義されている．
$A$で演算$\circ$が自由にできるということはどういうことかを考えよう．
$(1)$任意の$a,b\in A$で$a\circ b\in A$
$(2)$任意の$a,b\in A$で
$a\circ x=b,y\circ a=b$
を満たす$x,y\in A$が存在する．
$(3)$３つ以上でも演算できる．すなわち
$a,b,c,d,\cdots \in A$のとき$a\circ b\circ c\circ \cdots $が定義でき
$a\circ b\circ c\circ \cdots \in A$
を満たす．
演算$\circ $が$(1),(2),(3)$を満たせば，集合$A$内で，自由に演算ができるといってよいであろう．
3条件$(1),(2),(3)$を丁寧に見ていこう．
$(1)$はそのままです．
$(2)$は任意の$a\in A$に対して
$a\circ e=a,e\circ a=a$
を満たす$e$が$A$内に存在する．
さらに，任意の$a$に対して
$a\circ b=e,b\circ a=e$
を満たす$b$が存在すればよい．この$b$を$a^{-1}$と表す．
実際，
$a\circ x=b$のとき
$a^{-1}\circ a\circ x=a^{-1}\circ b$
より
$x=a^{-1}\circ b$
同様に，
$y\circ a=b$
のとき
$y=b\circ a^{-1}$
次に$(3)$について．
$a,b,c\in A$のとき，$a\circ b\circ c$を考える．
二項間の演算が定義できるから
$(a\circ b)\circ c$と$a\circ (b\circ c)$のいずれかを考えることになる．したがって
$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)\cdots (\sharp)$
が成り立てば，矛盾なく$a\circ b \circ c$が定義できる．
次に$a\circ b\circ c\circ d$を考える．$(\sharp)$を満たせば，三項間の演算は定義できるから，考える演算は
$(a\circ b\circ c)\circ d,(a\circ b)\circ (c\circ d),a\circ (b\circ c\circ d)$
であるが，
$(a\circ b\circ c)\circ d=\{(a\circ b)\circ c\}\circ d=(a\circ b)\circ (c\circ d)$
$=a\circ \{b\circ (c\circ d)\}=a\circ (b\circ c\circ d)$
したがって，四項の演算が矛盾なく定義できる．五項以上の演算も順に行えばよい．すなわち$(\sharp)$により，三項以上の演算が矛盾なく定義できる．

以上の考察より，次の概念が得られる．
定義1-7
集合$A$に演算$\circ$が定義されている．この演算次の4条件を満たすとき，$A$は演算$\circ$に関して群をなすという．
$(1) \ a,b\in A$のとき必ず$a\circ b\in A$
$(2) $任意の$a\in A$に対して
$a\circ e=a,e\circ a=a$
を満たす$e\in A$が存在する．
$(3)$任意の$a\in A$に対して，
$a\circ b=e,b\circ a=e$
を満たす$b$が必ず存在する．$b$を$a^{-1}$と表す．
$(4)$任意の$a,b,c \in A$に対して
$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
が成り立つ．

さて，これからは平面の変換を考え，演算は合成です．
平面を$\pi$と表す．
定義1-8
平面$\pi$の変換よりなる集合が合成に関して群をなすとき，その集合を平面$\pi$の変換群という．

変換群は群とは少し異なる，といっても群の定義より条件が緩いことに注意する．
集合$G$を平面$\pi$の変換よりなる集合とする．
$\pi$の変換$f$は逆変換$f^{-1}$を持つから，$f^{-1} \in G$を満たせば
$f\circ f^{-1}=I,f^{-1}\circ f=I$
を満たす．
また，
$f,g,h\in G$のとき
$h\circ g\circ f$
が意味がるので
$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$
は自動的に成り立ち，確認する必要はない．

したがって，平面の変換群になるための条件は次の通りである．
命題1-1
$G$を平面$\pi$の変換よりなる集合とする．
$G$が合成に関して群となるための条件は次の2条件である．
$(1)$任意の$f,g\in G$に対して$g\circ f\in G$である．
$(2)$任意の$f\in G$に対して$f^{-1}\in G$である．

なお，平面$\pi$の変換は，交換法則は一般に成り立たない．
例えば，原点の周りの$90^{\circ}$回転と平行移動の合成を考える．作図でもよいが，複素数だと手っ取り早い．
$z\mapsto iz$と$z\mapsto z+a$の合成は
$z\mapsto iz+a$と$z\mapsto i(z+a)$となり，$a\neq 0$のとき一致しない．
2つの線対称変換を考えてもよい．

議論を進める上での準備は終わりました．ここまでは，抽象的な内容で読み飛ばされても問題はないと思います．
それでは本題に入りましょう．

定義1-9
平面の変換のうち，２点間の距離を変えない変換を合同変換という．

２点間の距離を変えないので等長変換というほうが自然ですが，３辺が等しい三角形は合同であり， 一般の図形は三角形で分割近似することで，この変換により一つの図形はそれと合同な図形にうつる ことが分かる，初等幾何ではこの変換を合同変換と言います．
等長変換は微分幾何でよく用いられ，曲面の伸び縮みしない変形， 例えば平面を円柱や円錐に巻きつけることによる平面から円柱面や円錐面への対応等に用いるのが一般的です．

定義1-9
平面上の$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$について，$\triangle ABC$を$ABCA$と回った向き（時計回りか反時計回り）と$\triangle A'B'C'$を$A'B'C'A'$と回った 向きが同じとき$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$は同じ向きであるといい，反対向きのとき$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$は 反対向きであるという．

定義1-10
合同変換$f$で$\triangle ABC$の像が$\triangle A'B'C'$のとき．
$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$が同じ向きのとき$f$は正の合同変換といい，
$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$が反対向きのとき$f$は負の合同変換という．

合同変換の土台となる性質は次の定理です．

命題1-2
平面上に２つの線分$AB,A'B'$があり$AB=A'B'$のとき．
$A \mapsto A',B \mapsto B'$
である合同変換は２つ存在して，片方は正の合同変換でもう一方は負の合同変換である．
証明
異なる2点$A,B$の像をそれぞれ$A',B'$とする．
ここで，
$AB=A'B'$
である．
平面上の任意の点を$P$とする．
点$P$が直線$AB$上のとき．
$P'$は直線$A'B'$上の
$A'P':P'B'=AP:PB$
を満たす点．すなわち，同じ比に内分，外分する点．
点$P$が直線$AB$上にないとき．
$A'P'=AP,B'P'=BP$
である．$A'$を中心に半径$AP$の円と$B'$を中心とする半径$BP$の円を描くと，交点は2つありその点を$P',P''$とする．
$\triangle ABP$と$\triangle A'B'P'$が同じ向きであるように$P',P''$を定めると,$P\mapsto P'$が正の合同変換で，$P\mapsto P''$が 負の合同変換である．(証明終わり)

以上の証明では
$A\mapsto A',B\mapsto B'$
より正の変換，負の変換がただ一つに決まるというだけで，それが合同変換になることは示していない． 変換の一意性は示しているが存在は示していない．すなわち，$A'B'=AB$を示しているとは言えない．
$AB=A'B'$のとき，
$A\mapsto A',B\mapsto B'$
の合同変換が存在することを示そう．
ここでは，平行移動変換，回転移動変換，対称移動変換を用いて具体的に構成する．
$\overrightarrow{AA'}$で決まる平行移動変換を$f$として，
$B\stackrel{f}{\mapsto}B''$
で$B''$を定義する．
$B'$の周りの回転角$\angle B'A'B''(=\theta)$の回転移動変換を$g$,線分$B'B''$の垂直二等分線に関する対称移動変換を$h$とすれば， 正の合同変換は$g\circ f$,負の合同変換は$h\circ f$である．
なお，この合同変換の構成より，合同変換は，対称移動変換，回転移動変換，対称移動変換の合成で表せることが分かる．

これから，対称移動変換，回転移動変換，対称移動変換の同種または異種の合成を調べていきます． ここで，合同変換で用いる記号をまとめておきます．

ベクトル$\overrightarrow{a}$で決まる平行移動変換（translation transformation）を$T(\overrightarrow{a})$.
点$A$を中心とする中心角$\theta$の回転移動変換（rotation transformation）を$R(A,\theta)$,
直線$l$に関する対称移動変換（symmetric transformation ）を$S(l)$と表します．



２．同種の合同変換の合成

平面における幾何学変換の目次


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