正12面体群と正20面体の関係も同様である(右図参照)．回転の数は，$(a)$は頂点に集まる辺の個数で，$(c)$は面の辺数である．
正12面体は
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 正12面体 &a & b & c\\ \hline 本数 &10 & 15 & 6 \\ \hline 回転の数& 3& 2 &5 \\ \hline \end{array}$
正20面体は
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 正20面体 &a & b & c\\ \hline 本数 &6 & 15 & 10 \\ \hline 回転の数& 5& 2 &3 \\ \hline \end{array}$
正12面体群,正20面体群の個数はともに$60$個である.
正四面体は少し状況が変わる．回転軸は
$(b)$向かいあう線分の中点を結ぶ直線
$(d)$頂点と対面の中心を結ぶ直線
だけであるから
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline 正4面体 &b & d \\ \hline 本数 & 3 & 4 \\ \hline 回転の数& 2& 3 \\ \hline \end{array}$
である．したがって，正四面体群の元の個数は$12$個である．

1.部分群の剰余類
正多面体をそれ自身にうつす運動群は3種類あることが分かりました．それらを正四面体群，正八面体群，正20面体群といいます．
ここでは正八面体群を用いて群の解説をします．群の説明のために用いるは例は対称群(すべての置換よりなる群)を用いることが多いですが，正多面体群も負けていません．群の導入にはもってこいです．

正8面体群を$G$と表す．群の元の個数を位数という．ここでは群$A$の位数を$\mathrm{ord} (A)$と表す．
$\mathrm{ord}(G)=24$
である．
$G$の位数を別の方法で求めよう．
正8面体の頂点を$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$とし(右図)，頂点の移動に注目し正8面体群$G$の元をみる．
$G$の元のうち$A_1\mapsto A_1$であるものは$A_1A_6$を回転軸とする回転変換である．その回転変換全体を$S$とすると，$S$は$G$の部分群であり，
$\mathrm{ord}(S)=4$
である．
次に，$G$の元のうち$A_1\mapsto A_2$であるものを求めよう．
$A_1\mapsto A_2$である$G$の元を1つとりそれを$p_2$とする．$p_2$は存在する．実際$A_1A_2$の中点と$A_5A_6$の中点を結ぶ直線を回転軸とする回転角$\pi$の回転変換を考えればよい．
$Sp=\{sp|s\in S\}$
で$Sp$を定義すれば，$Sp_2$は$G$の部分集合であり，その元は$A_1\mapsto A_2$を満たす．
逆に$A_1\mapsto A_2$を満たす$G$の任意の元$q$を取ると必ず$q\in SP_2$である．
実際$qp_2^{-1}$は$A_1\mapsto A_1$であるから
$qp_2^{-1}=s_i\in S$
したがって
$q=s_ip_2\in Sp_2 \ \ \blacksquare$
集合$Sp_2$の個数は
$n(Sp_2)=n(S)=4$
である．
$G$の元は$A_1\mapsto A_1,A_1\mapsto A_2,A_1\mapsto A_3,A_1\mapsto A_4,A_1\mapsto A_5,A_1\mapsto A_6$
である．したがって
$G=S\cup Sp_2\cup Sp_3\cup Sp_4\cup S_5\cup Sp_6 $
であり，$i\lneq j$のとき
$Sp_i \cap Sp_j=\emptyset$(空集合)
であるから
$n(G)=\mathrm{ord}(G)=4\times 6=24$
となる．
同じ議論が正20面体群でも用いることができるので，
正多面体群は頂点を結ぶ直線を回転軸とする回転変換の個数(頂点に集まる辺の個数と頂点の個数の積である ことがわかる．
この方法を用いれば正20面体群の位数は
$5\times 12=60$
である．
正四面体群は少し様子が異なるが，向かいあう頂点を結ぶ直線を頂点と対面の中心とを結ぶ直線にかえれば
$3\times 4=12$
となる．

ここで用いた$G$の位数を求める方法は，群の部分群の共役類の性質を用いている．
群$G$の位数は有限とする．位数有限の群を有限群という．
$H$を群$G$の部分群とする．
$a\in G$に対して集合$Ha$を
$Ha=\{ha|h\in H \}$
で定義する．
集合$Ha$を部分集合$H$の右剰余類という．単位元$e\in H$より
$a\in H$
である．
$H=He$
であるから，$H$も$H$の右剰余類である．
集合$aH$も同様に定義でき，左剰余類という．

$a,b\in G$のとき集合$Ha,Hb$は
$Ha=Hb$または$Ha\cap Hb=\emptyset$
が成り立つ．
実際，$Ha\cap Hb\ni p$とすると
$h_1a=c=h_2b \ \ (h_1,h_2\in H)$
より
$a=h_1^{-1}h_2b$
したがって
$Ha=Hh_1^{-1}h_2b=Hb$
である．$\blacksquare$

$H$のすべての右剰余類を考え，その中で異なるもの
$Ha_1,Ha_2,\dots ,Ha_r\cdots (\sharp)$
とすると
$G=Ha_1\cup Ha_2\cup \cdots \cup Ha_r \ \ i\neq j$のとき$Ha_i\cap Ha_j=\emptyset$
が成り立つ．これは，任意の$G$の元$a$に対して$a\in Ha$であり，$Ha$は$Ha_1,\dots ,Ha_r$のいずれかと一致しているからである．
$(\sharp)$における$r$を部分群$H$の群$G$における指数という．
部分群$H$の指数は
$\dfrac{\mathrm{ord}(G)}{\mathrm{ord}(H)}$
である．

右剰余類を考えることにより次の命題を得る.
命題
有限群$G$の部分群の位数は$G$の位数の約数である．

次に，群$G$の部分群$H$に関する左剰余類を考える．
任意の$p\in G$に対して$p^{-1}$はいずれかの右剰余類に属するから
$p^{-1}\in Hq$
$p^{-1}=hq \ (h\in )H$ このとき
$p=q^{-1}h^{-1}\in q^{-1}H$
したがって
$G=Ha_1\cup Ha_2\cup \cdots \cup Ha_r$
のとき$p$は
$a_1^{-1}H,\dots ,a_r^{-1}H$
のいずれかに含まれる．
$i\neq j$のとき
$a_i^{-1}H\cap a_j^{-1}H=\emptyset$
を示す．
元の個数をみればわかることであるが，直接示す．
$a_i^{-1}H\cap a_j^{-1}H\ni p \ (i\neq j)$
とする．
$a_i^{-1}h_i=p=a^{-1}h_j$
逆元を考える．
$h_i^{-1}a_i=h_j^{-1}a_j$
$a_i=h_ih_j^{-1}a_j\in Ha_j$
これは，
$Ha_i\cap Ha_j=\emptyset$
に反する．

以上の内容をまとめると次のようになる．
命題
$G$は有限群，$H$は$G$の部分群．
$G$の元$a_1,a_2,\dots ,a_r$をもちいて
$G=Ha_1\cup Ha_2\cup \cdots \cup Ha_r \ \ i\neq j$のとき$Ha_i\cap Ha_j=\emptyset \ \ \cdots (1)$
とできる．さらに$(1)$のとき
$G=a_1^{-1}H\cup a_2^{-1}H\cup \cdots \cup a_r^{-1}H \ \ i\neq j$のとき$Ha_i\cap Ha_j=\emptyset$
である．

2.共役部分群と正規部分群
$H$が有限群$G$の部分群のとき．右剰余類$Ha$左剰余類$aH$は$H$と異なるとき群ではない．それは単位元を持たないことよりわかる．
次に，有限群$G$およびその部分群$H$と$G$の元$a$に対して
$a^{-1}Ha=\{a^{-1}ha|h\in H\}$
を考える．
$a^{-1}Ha$は群である．
それを示すには
$p,q\in a^{-1}Ha$
に対して
$pq,p^{-1}\in a^{-1}Ha$
を示せばよい．
$p=a^{-1}h_1a,q=a^{-1}h_2a$
とおく．
$pq=a^{-1}h_1aa^{-1}h_2a=a^{-1}h_1h_2a\in a^{-1}Ha$
$p^{-1}=a^{-1}h_1^{-1}a\in a^{-1}Ha, \ \blacksquare$

群$G$の部分群$a^{-1}Ha$を$G$の元$a$による$H$に共役な部分群という．

$a^{-1}Ha$を考えることは数学ではしばしば行われる.
例えば，座標平面における，点$(a,b)$の周りの回転変換は
$(a,b)$が原点になるよう平行移動し，その後回転し，原点が$(a,b)$に来るように元に戻す．
すなわち
$T:(x,y)\mapsto (x+a,y+b)$
原点の周りの回転角$\theta$の回転を$R_{\theta}$で定めれば
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\stackrel{T^{-1}}{\longmapsto}\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix} \stackrel{R_\theta}{\longmapsto}\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta\\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}$
$\stackrel{T}{\longmapsto}\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta\\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$
と
$T\circ R_{\theta}\circ T~{-1}$
を考える．
線形変換の基底を変換したときの行列表示も同様である．
正8面体群$G$で共役な部分群を見てみよう．
正8面体の向かい合る頂点を$A_1,A_2;B_1,B_2;C_1,C_2$とする．
線分$A_1A_2$を軸とするすべての回転変換，すなわち回転角$0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}$ の回転変換を$H$とする．$H$は$G$の部分群である．
$G$の元$p$をとする．
このとき$P$による線分$A_1A_2$の像は$A_1A_2,B_1B_2,C_1C_1$のいずれかである．
例えば，$p$による線分$A_1A_2$の像が線分$B_1B_2$のとき($A_1\mapsto B_1$または$A_1\mapsto B_2$) $h$を$A_1A_2$を回転軸とする回転角$\frac{\pi}{2}$の回転とすると$p^{-1}hp$は$B_1B_2$を回転軸とする 回転角$\frac{\i}{2}$の回転である．すなわち$p^{-1}Hp$は$B_1B_2$の周りのすべての回転の作る部分群で， $H$に共役な部分群である．
$H$に共役な部分群は3つあり，それは，$A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$のそれぞれを回転軸とするすべての回転よりなる．
分かりづらければ$p^{-1}hp$は$p^{-1}$で頂点のラベルを張りかえて移動して$p$でラベルを元に戻すと考えてもい．

有限群$G$の部分群$H$に対して，$H$と共役な部分群$p^{-1}HP$がすべて$H$と一致する，言い方を変えると$H$以外に共役な部分群が存在しないとき，$H$を$G$の正規部分群という．
定義から分かるように
$G$が有限群のとき
$H$が$G$の正規部分群
$\Leftrightarrow$
任意の$p\in G$で$p^{-1}Hp=H$
が成り立つ．
正8面体群の正規部分群の例の理解にはクラインの四元群の知識が必要です．
クラインの四元群は座標空間で考えるのが分かり易い．
座標空間における$x$軸，$y$軸，$z$軸を回転軸とする回転角$\pi$の回転変換をそれぞれ$R_{x,\pi},R_{y,\pi},R_{z,\pi}$とする．
例えば$R_{x,\pi}$は$x$軸に関する対称移動である．したがって
$(a,b,c)\stackrel{R_{x,\pi}}{\longmapsto}(a,-b,-c)\stackrel{R_{y,\pi}}{\longmapsto}(-a,-b,c)$
すなわち
$R_{,\pi}R_{y,\pi}=R_{z,\pi}$
同様の計算により
$R_{x,\pi}R_{y,\pi}=R_{y,\pi}R_{x,pi}=R_{z,\pi}$
$R_{y,\pi}R_{z,\pi}=R_{z,\pi}R_{y,pi}=R_{x,\pi}$
$R_{z,\pi}R_{x,\pi}=R_{x,\pi}R_{z,pi}=R_{y,\pi}$
を得る．
恒等変換を$I$とすれば
$ \{I,R_{x,\pi},R_{y,\pi},R_{z,\pi}\}$
は回転の合成で群をなす．この群をクラインの四元群という．
なお，クラインの四元群は巡回群でない位数が最小の群である．
実際，位数3の群を$\{e,a,b\}$とする．ただし$e$は単位元．
このとき，$a^2$は$e,a,b$のいずれかである．したがって，$e$でも$a$でもないことを示せばよい．
$a^2=a$のとき$a=e$となり矛盾．
$a^2=e$のとき，$ab$は$e,a,b$いずれかと等しい．
$ab=a$のとき$b=e$となる．
$ab=b$のとき$a=e$とする． $ab=e$のとき$a^2=e$より
$ab=a^2$
となり，$a=b$となり矛盾． したがって$b=a^2$である．$\blacksquare$

正8面体の向かい合る頂点を$A_1,A_2;B_1,B_2;C_1,C_2$とする．
$A_!A_2,B_1B_2,C_1C_2$を回転軸とる回転角$\pi$の回転変換をそれぞれ$R_{A_1A_2,\pi},R_{B_1B_2,\pi},R_{C_1C_2,\pi}$,単位元を$I$とすると，
$S=\{I,R_{A_1A_2,\pi},R_{B_1B_2,\pi},R_{C_1C_2,\pi} \}$
はクラインの4元群であり，正8面体群$G$の部分群である．
$G$の任意の元を$p$とすると，$p$による線分$A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$の像は線分$A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$のいずれかである．
したがって，$a\in S$のとき
$p^{-1}ap\in H$
すなわち
$p^{-1}Sp\subset S$
$p^{-1}Sp=S \ \ (\because pHp^{-1}=(p^{-1})^{-1}Hp^{-1}\subset H$より$H\subset p^{-1}Hp)$
したがって，$H$は$G$の正規部分群である．

$S$が群$G$の正規部分群であるとき，$S$は$G$の部分群の一つであるから剰余類を考えることができる．
$S$が正規部分群のとき
任意の$p\in G$で
$p^{-1}Sp=H$ すなわち
$Sp=pS$
したがって，$S$が正規部分群のとき，右剰余類，左剰余類を区別する必要はない．ここでは右剰余類を考え右剰余類を剰余類と呼ぶ．
群$G$に対して，正規部分群$S$のすべての剰余類を
$H=\{Sp_1,Sp_2,\dots ,SP_r\}$
とする．
$H$に演算を
$Sp_iSp_j=Sp_ip_j$
で定義する．
まずこの定義に意味があることを示さなければならない．
すなわち，この定義が$Sp_i,Sp_j$の代表の取り方によらないことを示す必要がある．
$s_ip_i\in Sp_i,s_jp_j\in Sp_j$
のとき
$s_ip_is_jp_j\in Sp_ip_j$
を示す必要がある．
$s_ip_is_jp_j=s_ip_is_jp_i^{-1}p_ip_j=s_i(p_is_jp_i^{-1})p_ip_j$ $S$は正規部分群より
$s_ip_is_jp_j \in Sp_ip_j \ \ \blacksquare$
次に，集合$H$のここで定義した演算で群をなすことを示す．
それは，結合法則と単位元，逆元の存在を示せばよい．
$(Sp_iSp_j)sp_k=Sp_ip_jSp_k=Sp_ip_jp_k$
$Sp_i(Sp_jSp_k)=Sp_ip_jp_k=Sp_ip_jp_k$
より結合法則が成り立つ．
逆元の存在は，$G$の単元を$e$とする．
$Se=S$で
任意の$p\in G$で
$SpSp^{-1}=S,Sp^{-1}Sp=S$
より$Se=S$が単位元で，$Sp^{-1}$が$Sp$の逆元である．$\blacksquare$

したがって，$H$が群であることが証明された．この群$H$を$G$の正規部分群$S$による剰余群といい$G/S$で表す．

群の準同型と表現
$G,K$が集合の時
$f*G\to K$
が1対1，上への写像なら$G$と$K$が同型であるということができますが，群では群の構造まで考える必要が1対1，上への写像だけでは不十分です．
$G,K$が同型であるためには，
例えば，実数$\mathbb{R}$上の線形空間$G,K$では，
$f:G\to K$が
1対1，上へでかつ線形写像，すなわち
任意の$\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},a\mathbb{R}$に対して
$f(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=f(\boldsymbol{u})+f(\boldsymbol{v}),f(a\boldsymbol{u})=af(\boldsymbol{u})$
が必要です．
また，$G,K$が位相空間なら
$f:G\to K$が
1対1，上へでかつ$f$およびその逆写像$f^{-1}$がともに連続
が必要です．
ここでは，群において上記の線形性や連続性に対応する性質を扱います．

定義
$G,K$は群である．
$G$から$K$への写像$f$が任意の$a,b\in G$で
$f(ab)=f(a)f(b)$
を満たすとき，$f$を$G$の$K$への準同型写像という．
さらに，$f$の値域が$K$と一致するとき，すなわち$f(G)=K$のとき$f$を$G$の$K$の上への準同型写像といい， $f(G)$が$K$の部分集合のとき($f(G)=K$の場合も含む)$f$を$G$の$K$の＠中への準同型写像という．

命題
$G,K$は群である．
写像
$f:G\to K$
が準同型の時次が成り立つ．
$(1) \ G$の単位元$e$の像は$K$の単位元である．
$(2) \ a\in G$のとき，$a$の逆元$a^{-1}$の像は$f(a)$の逆元である．
$(3) \ f(G)$は$K$の部分群である．
証明 $(1) \ a\in G$のとき
$ae=ea=a$
より
$f(a)f(e)=f(e)f(a)=f(e)$
であるから$f(e)$は$K$の単位元．
$(2) \ f(e)=e'$とおく．
$aa^{-1}=a^{-1}a=e$
であるから
$f(a)f(a^{-1})=f(a^{-1})f(a)=f(e)=e'$
したがって
$f(a)^{-1}=f(a^{-1})$
$(3) \ a',b'\in f(G)$のとき
$f(a)=a',f(b)=b'$とする．
$f(a)f(b)=f(ab)\in f(G)$
$K$の単位元$e'$は$f(G)$の元であり，$f(a)$の逆元は$f(a^{-1})\in f(G)$
したがって，$f(G)$は$K$の部分群である．$\blacksquare$

定義
$f$を群$G$から群$K$への準同型写像とする．
$G$の元で$f$による像が$K$の単位元$e'$である全体すなわち
$\{a\in G|f(a)=e'\}$
を準同型写像$f$の核という．

命題
$f:G\to K$
が準同型写像なら，$f$の核$H$は$G$の正規部分群である．
証明
まず$H$が$G$の部分群であることを示す．
$G,K$の単位元をそれぞれ$e,e'$とする．
$a,b\in H$のとき
$f(a)=e',f(b)=e'$
より
$f(ab)=e'$
$ab\in H$
したがって，$H$は演算で閉じている．
$f(e)=e'$
より，
$e\in H$
$a\in H$のとき
$f(a^{-1})=f(a)^{-1}=e'$
$f(a)^{-1}\in H$
以上で，$H$が$G$の部分群であることが分かった．
次に，正規部分群であることを示す．
$a\in H,p\in G$
のとき$p^{-1}ap\in K$を示せばよい．
$f(p^{-1}ap)=f(p^{-1)}f(a)p=f(p)^{-1}e'f(p)=e'$
したがって
$p^{-1}ap\in H \ \ \blacksquare$

命題
$f$が群$G$から群$K$の上への準同型写像とする．
$H$を$f$の核とする．
$f$より$G$の$H$による剰余群$G/H$から$K$への同型写像(準同型でかつ1対1上への写像)が定まる．
証明
$f:G\to K$
が準同型写像である．
群$G$の$H$の剰余類の一つを$Ha$とすると任意の$h\in H$で
$f(ha)=f(h)f(a)=f(a)$
であるから写像
$\bar{f}:G/H\to K$
は意味がある．
すなわち
$f(Ha)=a$
$f(HaHb)=f(Hab)=f(ab)=f(a)f(b)=f(aH)f(bH)$
より$\bar{f}$は準同型写像である．
$f(Ha)=f(Hb)$
のとき
$f(a)=f(b)$ $f(a)f(b)^{-1}=e'$
$f(ab^{-1})=e'$
より
$ab^{-1}\in H$
したがって
$a\in Hb$
したがって
$Ha=HB$
より$\bar{f}$は1対1である．
$f$は$K$の上への写像であるから
任意の$b\in K$に対して
$f(a)=b$となる$a\in G$が存在するから
$f(Ha)=b$
したがって，$\bar{f}$は上への写像である．$\blacksquare$

命題で$f$が中への準同型写像の時$f(G)$は$K$の部分群であるから$K$を$f(G)$で置き換えた
$\bar{f}:G\to f(G)/H$
が同型写像になる．

最後に証明した命題より，群$G$が与えられたとき.準同型写像
$f:G\to K$
が存在すれば$G$の構造を調べるのに役に立ちます．一般には$K$として，対称群(置換全体よりなる群)またはその部分群である置換群を持ちます．これを群$G$の表現と言う．
ここまで述べてきたのは有限群ですが，実際は合同変換群である$O(3)$などの連続群(Lie群)で用いることが多く，その時は
$f:G\to K$
の$K$は実正則行列$Gl(n,\mathbb{R})$または$Gl(n,\mathbb{C})$を用いる．これはなかなか大変な議論で，私の手の出せる内容ではありません．

ここでは，正8面体群の表現
$f:G\to K \ \ K$は3次対称群(3文字の置換全体よりなる群)
を作り，その核が$G$の正規部分群になっていることを確認しよう．

正8面体の向かい合る頂点を$A_1,A_2;B_1,B_2;C_1,C_2$とする．
回転軸$A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$をそれぞれ$a,b,c$とし，正8面体群$G$から$a,b,c$の対称群$S_3$への写像
$f:G\to S_3$
を$p\in G$のとき，$p$による$a,b,c$の像を$(a)p,(b)p,(c)p$とするとき
$p\mapsto \begin{pmatrix}a&b&c\\(a)p&(b)p&(c)p\end{pmatrix}$
定義する．
$f$が準同形であることは，
$f(pq)=\begin{pmatrix}a&b&c\\(a)pq&(b)pq&(c)pq\end{pmatrix}$
一方
$f(p)=\begin{pmatrix}a&b&c\\(a)p&(b)p&(c)p\end{pmatrix}$
$f(q)=\begin{pmatrix}a&b&c\\(a)q&(b)q&(c)q\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}(a)p&(b)p&(c)p\\(a)pq&(b)pq&(c)pq\end{pmatrix}$ $(\because) \ \begin{pmatrix}1&2&3\\(1)p&(2)p&(3)p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i_1&i_2&i_3\\(i_1)p&(i_2)p&(i_3)p\end{pmatrix}$である．
したがって
$f(p)f(q)=f(pq)$
つぎに$f$が上への写像について．
$a,b,c$の互換を像に持てばよい．
$a$を回転軸とする$\frac{\pi}{2}$の回転は互換$(b,c)$である．同様にすべての互換を像に持つから$f$は上への写像である．
一方，$A_1B_1,B_1B_2,C_1C_2$を回転軸とする回転角$\pi$の回転変換および恒等変換よりなる$G$の 部分群(クラインの4元群)を$H$とする．
このとき，$H$の元は$f$の核に属する．
$\mathrm{ord}(G)=24,\mathrm{ord}(S_3)=6$
$f$の核の位数は$4$であるから，$H$が準同型写像$f$の核である．

4.$SO(3)$と$SU(2)$の関係

平面における幾何学変換の目次


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