結論から述べると，平行移動と回転移動の合成は，回転移動または平行移動になります．
これは合同変換の正負を定めれば，合同変換は2点の像で決まること，および，平行移動変換と回転移動変換の合成は正の合同変換．さらに$A\mapsto A',B\mapsto B'$の正の合同変換は
$A\mapsto A'$の回転移動変換と$A'$が中心の回転移動変換の合成より求められるので，1つの回転移動変換（回転角の和が$0^{\circ},360^{\circ}$の時は平行移動変換）で表すことができる．

ここでは直接どのような回転移動になるかを示します．
まず，平行移動変換$T(\overrightarrow{v})$,回転移動変換$R(O,\theta)$の合成変換$R(O,\theta) \circ T(\overrightarrow{v})$を 調べます． 右の図で，点$A$は
$\overrightarrow{AO}=\dfrac{\overrightarrow{v}}{2}$
で定めた点で， $A$を通り$AO$に垂直な直線を$l$，$O$を通り$AO$に垂直な直線を$m$，$O$を中心として$m$を$\dfrac{\theta}{2}$回転した直線を$n$とし， ２直線$l,n$の交点を$O'$とする．
このとき，
$T(\overrightarrow{v})=S(m) \circ S(l)$,$ \ \ R(O,\theta)=S(n) \circ S(m)$
であるから
$R(O,\theta) \circ T(\overrightarrow{v})=S(n)\circ S(l) =R(O',\theta)$
となる．
すなわち，右図で
$P \mapsto Q \mapsto R \mapsto Q \mapsto S$
より
$P \mapsto Q \mapsto S$
と移動するので回転移動変換とわかる．

$T(\overrightarrow{v}) \circ R(O,\theta)$は右図で考えればよい．


5．すべり対称移動

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