命題1
$A$は3次正方行列である．このとき次の2条件は同値である．
$(1)$任意の$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$で
$(A\boldsymbol{x})\cdot (A\boldsymbol{y})=\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}$
が成り立つ．
$(2)$任意の$\boldsymbol{x}$で
$|A\boldsymbol{x}|=|\boldsymbol{x}|$
が成り立つ．
証明
$(2)\Rightarrow (1)$
$|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}|^2-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^2=4\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\cdots (\sharp)$
が成り立つ．実際
$|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}|^2-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^2$
$=(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})\cdot (\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}) -(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\cdot (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})$
$=4\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}$
したがって
$4(A\boldsymbol{x})\cdot (A\boldsymbol{y})$
$=|A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}|^2-|A\boldsymbol{x}-A\boldsymbol{y}|^2$
$=|A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})|^2-|A(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})|^2$
$=|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}|-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^2$
$=4\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}$
$(1)\Rightarrow (2)$
$|A\boldsymbol{x}|^2=(A\boldsymbol{x})\cdot (A\boldsymbol{x}) =\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{x}=|\boldsymbol{x}|^2$(証明終わり)
注意
命題1は実ベクトルで成り立つ性質である．複素ベクトルの内積は後で述べることであるが，複素ベクトルでは成り立たない．(複素ベクトルでは$(\sharp)$が成り立たない．)

命題1より
任意の$\boldsymbol{x}$で
$|A\boldsymbol{x}|=|\boldsymbol{x}|$
が成り立つとき(原点の像が原点の合同変換)のとき
$(A\boldsymbol{x})\cdot (A\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}$
が成り立ち，一方
$(A\boldsymbol{x})\cdot (A\boldsymbol{y})=\boldsymbol{x}\cdot {}^tAA\boldsymbol{y}$
である．したがって
任意の$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$で
$\boldsymbol{x}\cdot ({}^tAA\boldsymbol{y})=\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}$
が成り立つから
${}^tAA=E$
逆も成り立つから次の命題が成り立つ．
命題2
任意の$\boldsymbol{x}$で$|A\boldsymbol{x}|=|\boldsymbol{x}|$が成り立つ．
$\Longleftrightarrow$
行列$A$は${}^tAA=E$を満たす．

${}^tAA=E$を満たす実行列$A$を直交行列という．

合同変換を表す行列は直交行列であるが分かった．次に直交行列の性質を調べよう．
${}^tAA=E$より
$\det A=\pm 1$
である．
$\det A=1$の直交行列$A$を正の直交行列といい，$\det A=-1$の直交行列$A$を負の直交行列という．
$A^{-1}={^t}A$
であり，$A,A^{-1}$は交換可能より
$A^tA={}^tAA$
である．
$A,B$が直交行列のとき，$AB$も直交行列．
実際
$|(AB)\boldsymbol{x}|=|A\boldsymbol{x}|=|\boldsymbol{x}|$
3つの列ベクトル$\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{a_2}$で
$A=\begin{pmatrix}\boldsymbol{a_1}&\boldsymbol{a_2}&\boldsymbol{a_3}\end{pmatrix}$
と表せば
$\boldsymbol{a_i}\cdot \boldsymbol{a_j}=\delta_{ij}$
であるから，直交行列$A$を求めることは，正規直交基底$\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{a_3}\}$ を求めることであり，$\det A=1$はその基底が右手系をなすことである．

これから，$A$が正の直交行列のとき，固有値，固有ベクトルを用いて$A$を具体的に求める．直交行列の固有値は実数とは限らないので，成分が複素数である行列，ベクトルで考える必要がある．
以下；ベクトルや行列の成分は複素数である．
行列$A$に対して，${}^t\bar{A}$を$A^*$と表し，共役転置行列という．すなわち
$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$
のとき
$A^*=\begin{pmatrix}\bar{a}_{11}&\bar{a}_{21}&\bar{a}_{31}\\ \bar{a}_{12}&\bar{a}_{22}&\bar{a}_{32}\\ \bar{a}_{13}&\bar{a}_{23}&\bar{a}_{33}\end{pmatrix}$
である．
$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix},\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$
に対して，$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$の内積$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}$を
$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=a_1\bar{b}_1+a_2\bar{b}_2+a_3\bar{b}_3={}^t\boldsymbol{a}\boldsymbol{\bar{b}}$
によって定義する．
$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}={}^t\boldsymbol{\bar{b}}\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}^*\boldsymbol{a}$
より行列の積で表せる．

$A,B$を行列とする．
$(AB)^*=B^*A^*$
であるから
$\boldsymbol{a}\cdot A\boldsymbol{b}=(A\boldsymbol{b})^*\boldsymbol{a}$
$=\boldsymbol{b}^*(A^*\boldsymbol{a})=(A^*\boldsymbol{a})\cdot \boldsymbol{b}$
より
$\boldsymbol{a}\cdot (A\boldsymbol{b})=(A^*\boldsymbol{a})\cdot \boldsymbol{b}$
がなりたつ．

$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{a}=a_1\bar{a_1}+a_2\bar{a_2}+a_3\bar{a_3}=|a_1|^2+|a_2|^2+|a_3|^2$
$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{a}}$
によって$|\boldsymbol{a}|$を定義し，$\boldsymbol{a}$の大きさと呼ぶ．
内積で成り立つ性質は次の通り．
命題3
$(1) \ \ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=\overline{\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{a}}$
$(2) \ \ (\alpha \boldsymbol{a})\cdot \boldsymbol{b}=\alpha (\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}), \ \ \boldsymbol{a}\cdot (\alpha \boldsymbol{b})= \bar{\alpha} (\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}) $
$(3) \ \ \boldsymbol{a}\cdot (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}, \ \ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}$

例えば
ベクトル$\boldsymbol{a}$が実ベクトル$\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$を用いて
$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{u}+i\boldsymbol{v}$
と表されるとき
$|\boldsymbol{a}|^2=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}$
$=(\boldsymbol{u}+i\boldsymbol{v})\cdot (\boldsymbol{u}+i\boldsymbol{v})$
$=\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{u}+\boldsymbol{u}\cdot i\boldsymbol{v}+(i\boldsymbol{v})\cdot \boldsymbol{u} +(i\boldsymbol{v})\cdot(i\boldsymbol{v})$
$=|\boldsymbol{u}|^2+|\boldsymbol{v}|^2$
したがって，
$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{a} \geqq 0$
であり，等号が成り立つのは$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}$のときに限る．

$\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$が実ベクトルのとき
$|\boldsymbol{u}+i\boldsymbol{v}|^2-|\boldsymbol{u}-i\boldsymbol{v}|^2=0$
であるが
$\boldsymbol{u}\cdot i\boldsymbol{v}=0$
とは限らない．したがって，実ベクトルで成り立つ
$|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}|^2-|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}|^2 =4\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}$
は複素ベクトルでは成り立つとは言えない．
命題4
$(1) \ \ |\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}|\leqq |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$
等号が成り立つのは，$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$が一次従属のとき．
$(2) \ \ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\leqq |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$
等号が成り立つのは，$0$または正の実数$k$を用いて$\boldsymbol{a}=k\boldsymbol{b}$または $\boldsymbol{b}=k\boldsymbol{a}$と表せるとき．
証明
$(1) \ \ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$が一次従属のとき
$\boldsymbol{b}=t \boldsymbol{b},t\in \mathbb{C}$
とおく
$|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}|=|\bar{t}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{a}|=|t||\boldsymbol{a}|^2$
$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|=|t||\boldsymbol{a}|^2$
したがって
$|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$
$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$が一次独立のとき
任意の$t\in \mathbb{C}$で
$|\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}|^2 > 0$
一方
$|\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}|^2 $
$=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}\cdot t\boldsymbol{b}+t\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}\cdot t\boldsymbol{b}$
$=|\boldsymbol{a}|^2+\bar{t}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+t\overline{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}+|t|^2|\boldsymbol{b}|^2$
ここで
$t=-\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}$
を代入
$=|\boldsymbol{a}|^2-\dfrac{|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}|^2}{|\boldsymbol{b}|^2}-\dfrac{|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}|^2}{|\boldsymbol{b}|^2}+\dfrac{|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}|^2}{|\boldsymbol{b}|^2}$
$=|\boldsymbol{a}|^2-\dfrac{|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}|^2}{|\boldsymbol{b}|^2}$
したがって
$|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}|^2 < |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2$
正の平方根をとり
$|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}| < |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$
$(2) \ \ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2$
$=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$
$=|\boldsymbol{a}|^2+2\mathrm{Re}(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})+ |\boldsymbol{b}|^2$
$\mathrm{Re}(z)$は$z$の実部
$\leqq|\boldsymbol{a}|^2+2|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}|+ |\boldsymbol{b}|^2$
$\leqq|\boldsymbol{a}|^2+2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|+ |\boldsymbol{b}|^2$
$=(|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|)^2$
等号が成り立つ場合を調べる．
２番目の不等号は$(1)$より$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$が一次従属の時に限り等号が成り立つ
したがって，$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$一次従属のとき，1番目の不等号で，等号が成り立つ場合を調べればよい．
$\boldsymbol{b}=k\boldsymbol{a}, \ k\in \mathbb{C}$
のとき
$\mathrm{Re}(\boldsymbol{a}\cdot k\boldsymbol{a})=\mathrm{Re}(\bar{k})|\boldsymbol{a}|^2$
$|\boldsymbol{a}\cdot k\boldsymbol{a}|=|k||\boldsymbol{a}|^2$
すなわち，1番目の不等号で等式が成り立つのは
$\mathrm{Re}(\bar{k})=|k|$
すなわち，$k$が実数で$0\leqq k$を満たすときである．(証明終わり)

成分が複素数のベクトルでも次の定義をする．
定義
$\boldsymbol{0}$でないベクトル$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$のなす角$\theta$を
$\cos \theta =\dfrac{|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$
で定義する．
$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=0$のとき$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$は直交するといい
$\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}$
と表す．

定義
行列$A$は成分が複素数の行列である．
$(1) \ A^*=A$である行列をエルミット行列という．
$(2) \ A^*A=E$である行列をユニタリ行列という．
$(3) \ A^*A=AA^*$である行列を正規行列という．

エルミット行列，ユニタリ行列は正規行列である．
行列$A$の成分が実数なら
$A^*={}^tA$
であうからエルミット行列は対称行列，ユニタリ行列は直交行列，正規行列は
${}^tAA=A{}^tA$
となる．当然ユニタリ行列で成り立つことは直交行列でも成り立つ．
命題5
ユニタリ行列の固有値の絶対値は$1$である．
証明
ユニタリ行列$A$の固有値を$\alpha$その固有ベクトルを$\boldsymbol{u}$とする．
このとき
$A\boldsymbol{u}\cdot A\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}\cdot A^*A\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{u} =|\boldsymbol{u}|^2$
一方 $A\boldsymbol{u}\cdot A\boldsymbol{u}=(\alpha \boldsymbol{u})\cdot (\alpha \boldsymbol{u})=|\alpha |^2|\boldsymbol{u}|^2$
したがって$|\alpha |=1$(証明終わり)
命題5より直交行列の固有値の絶対値は$1$である．
次に直交行列の固有ベクトルを調べる．
命題6
正規行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する．
証明
$A$を正規行列とする．このとき，
$A\boldsymbol{u}=\alpha \boldsymbol{u}$
を満たせば
$A^*\boldsymbol{u}=\bar{\alpha}\boldsymbol{u}$
を満たす．実際
$(A-\alpha E)(A^*-\bar{\alpha}E)=(A^*-\bar{\alpha}E)(A-\alpha E)$
であるから
$|(A-\alpha E)\boldsymbol{u}|^2=(A-\alpha E)\boldsymbol{u}\cdot (A-\alpha E)\boldsymbol{u}$
$=\boldsymbol{u}\cdot (A^*-\bar{\alpha}E)(A-\alpha E)\boldsymbol{u}$
$=\boldsymbol{u}\cdot (A-\alpha E)(A^*-\bar{\alpha}E)\boldsymbol{u}$
$=(A^*-\bar{\alpha}E)\boldsymbol{u}\cdot (A^*-\bar{\alpha}E)\boldsymbol{u}$
$=|(A^*-\bar{\alpha}E)\boldsymbol{u}|^2$
である．
$A\boldsymbol{u}=\alpha \boldsymbol{u},A\boldsymbol{v}=\beta \boldsymbol{v} ,(\alpha \neq \beta)$
とする．
$A\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}=\alpha \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}$
一方
$A\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}\cdot A^*\boldsymbol{v}$
$=\boldsymbol{u}\cdot \bar{\beta} \boldsymbol{v}$
$=\beta \boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}$
したがって
$\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}=0$
を得る．(証明終わり)

背景知識はこれで終わりです．エルミット行列も定義に入れましたここでは扱いません，
直交行列はユニタリ行列として議論を進めるわけですが，それを実部，虚部に分け実数の範囲で行ないます．
ここでは正の直交行列，すなわち行列式が$1$の直交行列を扱います．
行列$A$を成分が実数の3行3列の正の直交行列とする．すなわち$\det A=1$である．
行列$A$の固有値の絶対値は$1$であるから,固有値は
$\{1,1,1\},\{1,-1,-1\},\{1,\cos \theta +i\sin \theta,\cos \theta -\sin \theta\}$
の3種類が考えられるが，ここでは $\{1,\cos \theta +i\sin \theta,\cos \theta -\sin \theta\}$
を扱う．他の場合は$\theta =0,\theta =\pi$の時．
当分は$\cos \theta =\alpha,\sin \theta =\beta$とおき，固有値は$\alpha \pm i\beta$とする．
固有値$\alpha -i\beta$の固有ベクトルを実部，虚部に分け$\boldsymbol{u}+i\boldsymbol{v}$とおく．
$A(\boldsymbol{u}+i\boldsymbol{v})=(\alpha -i\beta)(\boldsymbol{u}+i\boldsymbol{v})$
$=(\alpha \boldsymbol{u}+\beta \boldsymbol{v})+i(-\beta \boldsymbol{u}+\alpha \boldsymbol{v})\cdots (\sharp)$
両辺の共役を取ると
$A(\boldsymbol{u}-i\boldsymbol{v})=(\alpha +i\beta)(\boldsymbol{u}-i\boldsymbol{v})$
$=(\alpha \boldsymbol{u}+\beta \boldsymbol{v})-i(-\beta \boldsymbol{u}+\alpha \boldsymbol{v})$
より固有値$\alpha +i\beta$の固有ベクトルは$\boldsymbol{u}-i\boldsymbol{v}$である．
$(\sharp)$の実部，虚部が等しいから
$A\boldsymbol{u}=\alpha \boldsymbol{u}+\beta \boldsymbol{v}$
$A\boldsymbol{v}=-\beta \boldsymbol{u}+\alpha \boldsymbol{v}$
命題6より固有ベクトル$\boldsymbol{u}+i\boldsymbol{v},\boldsymbol{u}-i\boldsymbol{v}$は直交する．
$0=(\boldsymbol{u}+i\boldsymbol{v})\cdot(\boldsymbol{u}-i\boldsymbol{v})$
$=\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}\cdot i\boldsymbol{v}+i\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}-i\boldsymbol{v}\cdot i\boldsymbol{v}$
$=|\boldsymbol{u}|^2-|\boldsymbol{v}|^2+2i\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}$
したがって，
$|\boldsymbol{u}|=|\boldsymbol{v}|,\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}=0$
が分かる．
$\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$を単位ベクトルとし，新しく$\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$とする．
行列$A$の固有値$1$の固有ベクトルを$\boldsymbol{w}$とする． 命題4より$\boldsymbol{u}+i\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}$は直交する．一方
$(\boldsymbol{u}+i\boldsymbol{v})\cdot \boldsymbol{w}=\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{w}+i\boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{w}$
であるから
$\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{w}=0,\boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{w}=0$
$\boldsymbol{w}$を単位ベクトルに取り直すと，
$\{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\}$
は右手系の正規直交基底である(必要があれば$\boldsymbol{w}$を$-\boldsymbol{w}$とする)．
$\alpha =\cos \theta,\beta =\sin \theta$に戻せば
$A\boldsymbol{u}=\cos \theta \boldsymbol{u}+\sin \theta \boldsymbol{v}$
$A\boldsymbol{v}=-\sin \theta \boldsymbol{u}+\cos \theta \boldsymbol{v}$
$A\boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}$
となる．
これは，原点を通る直線$t\boldsymbol{w}$の周りの回転角$\theta$の回転移動変換である．
行列表示すると次のようになる．
$A\begin{pmatrix}\boldsymbol{u}&\boldsymbol{v}&\boldsymbol{w}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\boldsymbol{u}&\boldsymbol{v}&\boldsymbol{w}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta&0\\\sin \theta&\cos \theta &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} $
すなわち
$U=\begin{pmatrix}\boldsymbol{u}&\boldsymbol{v}&\boldsymbol{w}\end{pmatrix}$
とおけば
$A=U\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta&0\\\sin \theta&\cos \theta &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}U^{-1} $

正の直交行列が，原点を通る直線の周りの回転移動であることが分かった．これがこの章の目標である．

$x$軸，$y$軸，$z$軸の周りの回転角$\theta$の回転移動変換はそれぞれ$R_{x,\theta},R_{y,\theta},R_{z,\theta}$とすると，
$R_{x,\theta}=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&\cos \theta & -\sin \theta \\ 0&\sin \theta&\cos \theta \end{pmatrix}$,
$R_{y,\theta}=\begin{pmatrix}\cos \theta & 0&\sin \theta \\ 0&1&0\\ -\sin \theta&0 &\cos \theta \end{pmatrix}$,
$R_{z,\theta}=\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta&0\\ \sin \theta&\cos \theta &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}$
である．
$y$軸の周りの回転である$R_{y,\theta}$だけ注意が必要．
$zx$平面上の回転は$z$軸から$x$軸に向かう回転を正とする．
これは，通常用いる緯度($x$軸から$z$軸に向かう回転を正とする)とは異なり余緯度という．
$R_{y,\theta}$で
$\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\mapsto \cos \theta \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+\sin \theta \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\sin \theta\\0\\\cos \theta\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\mapsto -\sin \theta \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+\cos \theta \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cos \theta\\0\\ -\sin \theta\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}$
が成り立つ．したがって
$R_{y,\theta}=\begin{pmatrix}\cos \theta & 0&\sin \theta \\ 0&1&0\\ -\sin \theta&0 &\cos \theta \end{pmatrix}$,

次に，正の直交行列は，座標軸の周りの回転移動である$R_{x,\theta},R_{y,\theta},R_{z,\theta}$ の合成で表せることを示す．
点$P$を原点$O$を中心とする半径$1$の球面上の任意の点とし，点$P$の緯度を$\alpha$，経度を$\beta$とする．すなわち，点$P$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$H$とすると
$\angle POH=\alpha$
$x$軸と$OH$のなす角を$\beta$とする．
直線$OP$の周りの回転角$\theta$の回転移動変換を求めよう．
座標軸の周りの回転変換で直線$OP$を$x$軸に変換し，その後$x$軸の周りに$\theta$回転し逆に戻せばよいから
$R_{z,\beta}\circ R_{y,-\alpha}\circ R_{x,\theta}\circ R_{y,\alpha}\circ R_{z,-\beta}\cdots (\sharp)$

$(\sharp)$は一先ずおいておいて，正の直交行列を具体的に求めよう．
正の直交行列は右手系の正規直交基底であるから，その正規直交基底を求めようというわけである．
媒介変数表示するのであるが媒介変数の個数を調べよう．
直交行列は
$\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{a_3}\}$
$\boldsymbol{a_i}\cdot \boldsymbol{a_j}=\delta_{ij}$
より6つの独立の式.したがって，媒介変数は3個である．
直交行列の行列式は$\pm 1$より，連結成分は2つ以上ある．
考えるのは行列式が$1$の場合である．
点$A$を原点$O$を中心とする半径$1$の球面上の任意の点とし，点$A$の緯度を$\alpha$，経度を$\beta$とする．このとき
$A(\cos \alpha \cos \beta,\cos \alpha \sin \beta,\sin \alpha)$
である．
つぎに単位球面上に点$B$を$OB$が$OA$と直交するように取る．
$A$の$x$成分，$y$成分に注目し
$B(-\sin \beta,\cos \beta,0)$
とする．
点$C$は$OA,OB,OC$が右手系をなすから外積を用いて
$\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}$
$=(-\sin \alpha \cos \beta,-\sin \alpha \sin \beta ,\cos \alpha)$
より
$C(-\sin \alpha \cos \beta,-\sin \alpha \sin \beta ,\cos \alpha)$
とすればよい．
$\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \beta \\ \cos \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \end{pmatrix}, \boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}-\sin \beta \\ \cos \beta \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{w}=\begin{pmatrix} -\sin \alpha \cos \beta \\ -\sin \alpha \sin \beta \\ \cos \alpha \end{pmatrix}$
とおく．
$A$は球面上の任意の点であるから
$\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}$を$\boldsymbol{u}$の周りに$\theta$回転させた
$\cos \theta \boldsymbol{v}+\sin \theta \boldsymbol{w} =\begin{pmatrix}-\cos \theta \sin \beta -\sin \theta \sin \alpha \cos \beta \\ \cos \theta \cos \beta -\sin \theta \sin \alpha \sin \beta \\ \sin \theta \cos \alpha \end{pmatrix}$
$-\sin \theta \boldsymbol{v}+\cos \theta \boldsymbol{w} =\begin{pmatrix}-\sin \theta \sin \beta -\cos \theta \sin \alpha \cos \beta \\ -\sin \theta \cos \beta -\cos \theta \sin \alpha \sin \beta \\ \cos \theta \cos \alpha \end{pmatrix} $
より正の直交行列全体は
$\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \beta &-\cos \theta \sin \beta -\sin \theta \sin \alpha \cos \beta & -\sin \theta \sin \beta -\cos \theta \sin \alpha \cos \beta \\ \cos \alpha \sin \beta &\cos \theta \cos \beta-\sin \theta \sin \alpha \sin \beta & -\sin \theta \cos \beta -\cos \theta \sin \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha &\sin \theta \cos \alpha & \cos \theta \cos \alpha \end{pmatrix}$
となる．
$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{u}$の周りの回転であるから$A$は北半球に取ればよいので
$0\leqq \alpha \leqq \dfrac{\pi}{2},0\leqq \beta < 2\pi,0\leqq \theta < 2\pi$
である．
正の直交行列の任意の2点を結ぶ曲線が存在するので連結(弧状連結)である（正の直交行列全体を$9$次元空間の$3$次元曲面とみている）．さらに
$T=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$
による$A\mapsto TA$は正の直交行列と負の直交行列間の1対１上への連続な写像であるから，負の直交行列全体も連結である．

$A$の緯度が$\alpha$,経度$\beta$ということは
$R_{z,\beta}\circ R_{y,-\alpha }:(0,0,1)\mapsto A$
である．
$R_{z,\beta}\circ R_{y,-\alpha }$の行列表示を求めると
$\begin{pmatrix}\cos \beta&-\sin \beta &0\\ \sin \beta &\cos \beta &0\\ 0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \alpha &0&-\sin \alpha\\ 0&1&0\\\sin \alpha &0 &\cos \alpha \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \beta &-\sin \beta &-\sin \alpha \cos \beta\\ \cos \alpha \sin \beta &\cos \beta &-\sin \alpha \sin \beta\\ \sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}$
これはすでに求めた
$\begin{pmatrix}\boldsymbol{u}&\boldsymbol{v}&\boldsymbol{w}\end{pmatrix}$
と一致する．

3.正多面体群

平面における幾何学変換の目次


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