|
ここでは，同種の合同変換の合成を調べます． ２つの平行移動の合成は，平行移動を定める２つのベクトルの和で決まる平行移動でこれは問題ありません． したがって，２つの対称移動のの合成と２つの回転移動の合成を調べることになります． 1.２つの対称移動の合成 ２つの対称移動$S(l)$，$S(m)$の合成$S(m)\circ S(l)$について調べます． ２直線$l,m$が一致するとき $S(m)\circ S(l)$＝（恒等変換） です． 
$\bullet \ l$‖$m$のとき.$l$上の点Aから$m$に下した垂線の足をBとすると右の図より $S(m)\circ S(l)=T(2\overrightarrow{AB})$ が成り立つ． 
$\bullet \ l$と$m$が交わるとき.その交点をＯとし，直線$l$から直線$m$へ測った角を$\theta$とすると 右図で $P \mapsto Q \mapsto R$ より $S(m)\circ S(l)=R(O,2\theta)$ が成り立つ． この事実を行列を用いれば次のようになる． ２直線$l,m$の交点を原点とする座標軸で，$l,m$と$x$軸とのなす角をそれぞれ$\alpha,\beta$とすると， 対称移動$S(l),S(m)$を表す行列はそれぞれ $\begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \cos 2\beta & \sin 2\beta \\ \sin 2\beta & -\cos 2\beta \end{pmatrix}$ である．行列の積を計算し $\begin{pmatrix} \cos 2\beta & \sin 2\beta \\ \sin 2\beta & -\cos 2\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} \cos 2(\beta-\alpha) & -\sin 2(\beta-\alpha) \\ \sin 2(\beta-\alpha) & \cos 2(\beta-\alpha) \end{pmatrix}$ より，２直線が交わるとき $S(m)\circ S(l)=R(O,2\theta)$ が成り立つことが分かる． 2.２つの回転移動の合成 ２つの回転移動の中心が一致するときは $R(O,\phi) \circ S(O,\theta)=R(O,\theta + \phi)$ は分かりやすい． ここでは，２つの回転移動の中心が異なる場合の合成を解説する． 結論を述べると，点Ｏの周りの回転角$\theta$の回転移動と点Ｏ'の周りの回転角$\phi$の回転移動の合成は第３の点Ｏ"を 中心とする回転角$\theta +\phi$の回転移動である． 式で表すと $R(O',\phi) \circ S(O,\theta)=R(O",\theta + \phi)$ となります．なお，Ｏ"の見つけ方は証明の中で明らかになります． 
証明のアイデアは，回転移動を２つの対称移動の合成と考えることです．対称軸の片方として直線ＯＯ’をとります．右図で，直線$l$は直線ＯＯ’を点Ｏの周りに$-\dfrac{\theta}{2}$回転したもので， 直線$m$は直線ＯＯ’を点Ｏ'の周りに$\dfrac{\phi}{2}$回転したものです． このとき $R(O,\theta)=S(OO') \circ S(l),R(O',\phi)=S(m) \circ S(OO')$ したがって $R(O',\phi) \circ S(O,\theta)=S(m) \circ S(OO')\circ S(OO') \circ S(l)$ $=S(m) \circ S(l)=R(O",\theta + \phi)$ すなわち，右上図で $P\mapsto Q \mapsto R \mapsto Q \mapsto S$ より $P\mapsto Q \mapsto S$ となります． この証明から分かるように，２つの回転移動の回転の中心Ｏ”は２直線$l,m$の交点です． 合同変換に関する例題は後でまとめて扱いますが，１つ例題を挙げます． 次の問題は見かけは簡単ですが，なかなか面白い問題です． 問題 正方形ＡＢＣＤがある．底辺ＢＣの両底角が１５°の二等辺三角形ＰＢＣが図のように正方形の内部に 描いたとき，△ＡＰＤは正三角形であることを証明せよ． 証明1 Ｃの周りに３０°回転する回転移動を$R(C,30^\circ)$，Ｂの周りに３０°回転する回転移動を$R(B,30^\circ)$ とする．このとき 
$R(C,30^\circ):D \longmapsto Q$$R(B,30^\circ):Q \longmapsto A$ したがって， $R(B,30^\circ) \circ R(C,30^\circ):D \longmapsto A$ 一方$R(B,30^\circ) \circ R(C,30^\circ)$の回転の中心はCにおいてー１５°をなす直線と Bにおいて１５°をなす直線の交点すなわち点Pである． $\therefore R(B,30^\circ) \circ R(C,30^\circ)=R(P,60^\circ)$ したがって，△APDが正三角形であることが証明された， 回転の合成について，基本的にはこれでいのですが，$\theta +\phi=\pi$の場合や３つ以上の回転移動の合成について の面白い性質は次にまとめて扱います． 3．回転移動の合成合成 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |