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6.(トレミー不等式) 凸四角形$ABCD$において，つねに $AB\cdot CD+BC\cdot DA \geqq AC \cdot BD$ が成り立つ． 等号が成り立つのは，四角形$ABCD$が円に内接するとき． 
証明$\angle ADB=\theta$とおく．点$E$を $H(D,\dfrac{BD}{AD},\theta):C \mapsto E$ で定義する．このとき $\triangle DAB$∽$\triangle DCE$, $\triangle DAC$∽$\triangle DBE$ である． したがって， $CE=AB \cdot \dfrac{CD}{AD}$, $BE=AC \cdot \dfrac{BD}{AD}$ この式を $BC+CE \geqq BE$ に代入すると $BC+AB \cdot \dfrac{CD}{AD} \geqq AC \cdot \dfrac{BD}{AD}$ $\therefore AD \cdot BC+AB \cdot CD \geqq AC \cdot BD$ 等号が成り立つのは，$B,C,E$が一直線のときであるから $\angle BCD +\angle DCE=\angle BCD+\angle BAD=180^{\circ}$ のときであるから，四角形$ABCD$が円に内接するときである． 注意 相似変換の練習問題としてこの問題を扱っているため，相似回転変換$H(D,\dfrac{BD}{AD},\theta)$を用いているが， 内容は$\triangle DAB$と相似な$\triangle DCE$を四角形の外側に作っただけのことである． このとき $AD:BD=DC:DE$ より $AD:DC=BD:ED$ であるので $\triangle DAB$∽$\triangle DCE$, $\triangle DAC$∽$\triangle DBE$ が成り立つ． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |