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15. 四角形$ABCD$の辺$AB,BC,CD,DA$上にそれぞれ点$P,Q,R,S$を $AP:AB=DR:DC=t:1$ $AS:AD=BQ:BC=s:1$ を満たすようにとる． $PR$と$QS$の交点を$T$とするとき $ST:SQ=t:1$ $PT:PR=s:1$ が成り立つ． 
証明$U,V$を $H(S,\dfrac{1}{t}):P \mapsto U,R \mapsto V$ によって定義する． このとき， $AP:PB=SP:PU=t:1-t$ より $UB \parallel SA,UB=\dfrac{(1-t)AS}{t}$・・・@ 同様に $VC \parallel DS,VC=\dfrac{(1-t)DS}{t}$・・・A @，Aより $UB \parallel VC,$ $UB:CV=AS:SD=BQ:QC$ $\triangle UBQ$と$\triangle VCQ$において $\angle B=\angle C$ であるから $\triangle UBQ$∽$\triangle VCQ$ したがって， $\angle BQU=\angle CQV$ であるから３点$U,Q,V$は一直線上にある． $\triangle SUV$に注目すれば， $SP:PU=SR:RV$ より $PR\parallel UV$ であるから $ST:TQ=SP:PU=AP:PB$ $PT:TR=UQ:QV=BQ:QC$ 
解説ベクトルを用いると，この問題は教科書の例題レベルの問題になってします．実際， $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}$ とおく． なお，平面における任意の四角形を扱うとき，このように３つのベクトルが必要になる．当然 表示の一意性は成り立たないが，その点だけ注意すれば，それほど問題は起こらない． $SQ$を$t:1-t$に内分する点を$T_1$,$PR$を$s:1-s$に内分する点を$T_2$ とし，$\overrightarrow{AT_1},\overrightarrow{AT_2}$を計算する． $\overrightarrow{AT_1}=(1-t)\overrightarrow{AS}+t\overrightarrow{AQ}$ $=t(1-s)\overrightarrow{b}+ts\overrightarrow{c}+(1-t)s\overrightarrow{d}$ $\overrightarrow{AT_2}=(1-s)\overrightarrow{AP}+s\overrightarrow{AR}$ $=t(1-s)\overrightarrow{b}+ts\overrightarrow{c}+(1-t)s\overrightarrow{d}$ したがって，$T_1$と$T_2$が一致する． 位置ベクトルを用いて計算しても分かりやすい．すなわち $A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b}),C(\overrightarrow{c}),D(\overrightarrow{d})$ として，$T_1,T_2$ の位置ベクトルが等しいとしてもよい． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |