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8. $\triangle ABC$は$\angle A=90^{\circ}$の直角三角形である．頂点$A$から斜辺$BC$に 下ろした垂線の足を$D$とする．$\triangle ABD, \ \triangle ADC$のそれぞれの内心$I,J$を結ぶ直線と$AB,AC$ との交点をそれぞれ$K,L$とする． $\triangle ABC$の面積を$S$,$\triangle AKL$の面積を$T$とするとき， 不等式 $S\geqq 2T$ が成り立つことを証明せよ． （第29回IMO）
解答$\dfrac{AD}{BD}=k$とおき，$D$を中心とする中心相似回転変換$H(D,k,90^{\circ})$を考える． $H(D,k,90^{\circ}):B \mapsto A,A \mapsto C$ であるから $H(D,k,90^{\circ}):\triangle ABD \mapsto \triangle CAD$ 中心相似回転変換で三角形の内心は対応三角形の内心にうつるから， $H(D,k,90^{\circ}):I \mapsto J$ $\therefore \triangle ABC$∽$\triangle DIJ$ したがって，右図で $1=2$ よって，４点$B,D,I,K$は円に内接するから $3=4=45^{\circ}$ $\therefore \triangle AKI \equiv \triangle ADI$ $\therefore AD=AK=AL$ $\triangle ABC$は$BC$が斜辺の直角三角形であるから $AD^2=BD \cdot DC \leqq (\dfrac{BD+DC}{2})^2$ $\therefore 2AD\leqq BC$ $2S=AD \cdot BC, \ 2T=AD^2$ であるから $S \geqq 2T$ がなりたつ． 等号が成り立つのは $BD=DC$ すなわち，$\triangle ABC$が直角二等辺三角形のときである． 解説 合同変換は，平行移動，ある点の周りに回転移動，ある直線に関する対称移動またはそれらの合成であり，相似変換は ある点の周りの中心相似変換と合同変換の合成であるので，これらの変換により， 次の性質が成り立つことが納得できると思う． 合同変換または相似変換 $f:R^2 \longrightarrow R^2$ について $f:A \mapsto A', \ B \mapsto B', \ C\mapsto C'$ のとき $1. \ $直線ABの像は直線A'B'である すなわち直線の像は直線である $2. \ \angle BAC=\angle B'A'C'$ すなわち角は保たれる $3. \ AB:BC=A'B':B'C'$ すなわち比は保たれる これらの性質より，合同変換，相似変換で，角の二等分線は角の二等分線にうつり， 垂直二等分線は垂直二等分線にうつることがわかり， 内心，外心，重心，垂心，傍心の像はそれぞれ内心，外心，重心，垂心，傍心であることが分かる． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |