問題の解答

12.
正方形$ABCD$と正方形$A'B'C'D'$はともにある地域の異なる縮尺の地図であり，図のように一つの地図上に他の地図が置かれている．
このとき，その地域の同じ場所を表す小さな地図上の点$O$と大きな地図上の点$O'$で， $O$と$O'$が重なっているものがただ一つだけ存在することを示せ．
また，定規とコンパスだけを用いてその点$O$を求めよ．
（アメリカ数学オリンピック）


解答
ここでは正方形$ABCD$を$\square ABCD$と表すことにする．
$\square ABCD$∽$\square A'B'C'D'$
であるから，２つの正方形の向きが同じなら（ABCDAと回った向きとA'B'C'D'A'と回った向きが同じ）中心相似回転変換$H(O,k,\theta)$ が存在して，
$H(O,k,\theta):\square A'B'C'D' \mapsto \square ABCD$
２つの正方形の向きが反対なら（ABCDAと回った向きとA'B'C'D'A'と回った向きが反対）中心相似対称変換$H(O,k,l)$ が存在して，
$H(O,k,l):\square A'B'C'D' \mapsto \square ABCD$
が成り立つ．
中心相似回転変換$H(O,k,\theta),$中心相似対称変換$H(O,k,l)$はともに不動点は相似の中心$O$だけであるから，$O$が $\square A'B'C'D'$の内部にあることを示せば証明が終了する．
$H(O,k,\theta),H(O,k,l)$はともに正方形の内部は正方形の内部にうつるから， 相似の中心$O$は$\square ABCD$の内部にあるか，$\square A'B'C'D'$ の外部にある．
もし$O$が$\square A'B'C'D'$の外部にあるとすると，$O$に一番近い$\square A'B'C'D'$の点を$P$とし， $H(O,k,\theta),H(O,k,l)$による$P$の像を$P'$とると
$OP'=kOP \ \ $ (0<$k$<1)
より矛盾．
したがって，相似の中心$O$は$\square ABCD$の内部にある．
相似の中心の作図法は解説で説明する．

解説
ここでは，中心相似回転変換の相似の中心の求め方，中心相似対称変換の相似の中心及び対称軸の求め方を述べる．
相似変換の基本となることは，次の定理です．証明に興味があったら相似変換を ご覧ください．

定理
平面上に２つの線分$AB$,$A'B'$があり$A'B'=kAB$のとき．
$A \mapsto A',B \mapsto B'$
である相似比$k$の相似変換は２つ存在して，片方は正の相似変換でもう一方は負の相似変換である．

ここで行う解説により，正の相似変換は中心相似変換または中心相似回転変換となり， 負の相似変換は中心相似対称変換となることが分かります．
$A \mapsto A',B \mapsto B'$
が与えられたとき 中心相似回転変換(相似の中心と回転の中心が一致する変換)の回転角は$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{A'B'}$のなす角であり，相似比は$k=\dfrac{A'B'}{AB}$ とすぐ分かるので，相似の中心を求めることが重要な問題です．
同様に中心相似対称変換（相似の中心が対称軸上にある変換）では相似の中心と対称軸を求めることが重要な問題です．
ここではこれらの２つの問題を解決します．


$\bullet \ $中心相似変換について
$A \mapsto A',B \mapsto B'$
のとき，$AB$と$A'B'$との交点を$P$とし，３点$A,A',P$を通る円と３点$B,B',P$を通る円の交点のうち$P$でない方を$O$とすれば この点が相似の中心となる．
実際，右図で，$\triangle OAB,\triangle OA'B'$に注目すれば
$\angle B=\angle B' \ $ ($\because$大円の弧$OP$の円周角)
$\angle A=\angle A' \ $ ($\because$小円の弧$OP$の円周角の補角)
$\therefore \triangle OAB$∽$\triangle OA'B'$
また，$AB$と$A'B'$のなす角を$\theta$すると $\angle AOA'=\angle BOB'=\theta$ $\therefore S(O,\dfrac{A'B'}{AB},\theta ):A \mapsto A',B \mapsto B'$



$\bullet \ $中心相似対称変換について
$A \mapsto A',B \mapsto B'$
のとき，線分$AA'$上に点$C$,線分$BB'$上に点$D$を
$AC:CA'$
$=BD:DB'$
$=AB:A'B'$
を満たすようにとる．
直線$CD$を直線$l$とし， 対称移動$S(l)$を用いて，$A",B"$を $S(l):A' \mapsto A",B' \mapsto B"$
によって定義する．
ここで，２直線$AA",l$の交点を$O$,$\dfrac{A'B'}{AB}=k$ とおくと，中心相似対称変換$H(O,k,l)$により
$H(O,k,l):A \mapsto A',B \mapsto B'$
が成り立つことを証明すれば目的が達成する．
そのためには
$OA:OA"=AB:A'B'$・・・@
$AB \parallel A"B"$・・・A
を示せばよい．
@について．
２点$A',A"$は直線$l$(直線$CD$)に関して対称であるあるから 直線$l$は$\angle AOA'$の２等分線． $\therefore OA:OA"=OA:OA'=AC:CA'=AB:A'B'$


Aについて
$AB,A'B'$と直線$CD$との交点をそれぞれ$E,F$とする．
$B$を通り$A'B'$に平行な直線と$A'D$の延長との交点を$G$とすると， $\triangle DA'B'$∽$\triangle DGB$
より
$A'D:DG=B'D:DB=A'C:CA$
したがって
$CD\parallel AG$
また
$BG:A'B'=BD:DB'=AB:A'B'$
より
$AB=BG$
ゆえに，右の図の角で
1=2=3=4=5
なお，最後の等号は$A'B'$と$A"B"$が直線$l$（直線$CD$）に関して対称だからである．
@，Aが証明されたので，３点$O,B,B"$が一直線上にあり
$OB:OB"=OA:OA"=AB:A'B'$
であるから
$H(O,k,l):A \mapsto A',B\mapsto B'$
が証明された．


以上の２つの性質より， 相似比$k$が$k\neq 1$の相似変換は正の相似変換は中心相似回転変換（中心相似変換も含む）であり， 負の相似変換は中心相似対称変換であることがわかると思います．


なお，中心相似回転変換の相似の中心を求める方法は，作り方を追っているだけだと分かりづらいですが， 次のように見直すと分かりやすいと思います．
２円が交わる右図で，$AB,A'B'$がともに２円の交点$P$を通るとき， かならず
$\triangle OAB$∽$\triangle OA'B'$
となります．
この図より，$O$は $AB$と$A'B'$の交点を$P$とし，$A,A',P$を通る円と$B,B',P$を通る円の交点のうち$P$でないほうとなります．

なお，この例題の解答としてアポロニウスの円を用いる方法もよく知られています．その解答については次のページで扱います．


続く（アポロニウスの円を用いた証明）


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