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14. 円$O$に外接する四角形$ABCD$の対角線$AC,BD$の中点をそれぞれ$M,N$とすると３点$O,M,N$は一直線上にある． （幾何学つれづれ草より）
この問題は「幾何学つれづれ草」第６席 例５（166ページ）にあります． 
証明辺$AB,CD$の交点を$E,AD,BC$の交点を$F$とする． 辺$AD,CD$と内接円との接点をそれぞれ$G,H$とする． 直線$EO$を対称軸とする対称変換$S(EO)$により$D_1,D_2$を $S(EO):D \mapsto D_1,C \mapsto C_1$ により定義し，$D_2,A_2$を $S(FO):D \mapsto D_2,A \mapsto A_2$ で定義する． さらに$AA_2,DD_2$と$FO$との交点をそれぞれ$S,R$，$DD_1,CC_1$と$EO$との交点をそれぞれ$P,Q$とする． ここで，$\triangle AA_2C,\triangle DBC$に注目すると $SM \parallel BC \parallel NR$ $\because S,M,N,R$はそれぞれ$AA_2,AC,DB,DD_2$の中点 同様に$\triangle CAC_1,\triangle DD_1B$に注目して $MQ \parallel PN$ 後は$\triangle MSQ$∽$\triangle NRP$が証明できれば この２つの三角形が相似の位置にあることになり証明が終了する(この理由は後で解説する)． ２つの三角形が相似になっていることの証明は二等辺三角形になっていることを利用する． 四角形$ABCD$は円に外接するから $AH_1=AG=a$ $BH1=BG_2=b$ $CG_2=CH=c$ $DH=DG=d$ とおく． $SM=\dfrac{A_2C}{2}=\dfrac{a+c}{2}$ $\because \ A_2C=A_2G_2+G_2C=AG+G_2C$ $QM=\dfrac{C_1A}{2}=\dfrac{a+c}{2}$ $PN=\dfrac{D_1B}{2}=\dfrac{b+d}{2}$ $NR=\dfrac{BD_2}{2}=\dfrac{b+d}{2}$ したがって，$\triangle MSQ$と$\triangle NRP$はともに二等辺三角形で，さらにすでに $SM \parallel NR, \ NP \parallel QM$ が証明されているから $\angle SMQ= \angle RNP$ ゆえに $\triangle MSQ$∽$\triangle NRP$ が証明された． 解説 $1.$ 相似変換問題５の解説で次の命題を証明している． 命題 $\triangle ABC$と$\triangle DEF$で $AB\neq DE$かつ$AB$‖$DE$,$BC$‖$EF$,$CA$‖$FD$ が成り立つとき，$\triangle ABC$と$\triangle DEF$は相似の位置にある． ここで用いたのは次の性質である． 命題 ２つの三角形が正の相似で，対応する一辺が平行であれば，この２つの三角形は相似の位置にある． すなわち， $\triangle ABC$と$\triangle DEF$が正の相似で $AB\parallel DE$ が成り立つとき， $f:\triangle ABC \mapsto \triangle DEF$ を満たす中心相似変換$f$が存在する． この命題は，相似変換の性質が分かっていれば次のように考えればよい． $\triangle ABC$と$\triangle DEF$が正の相似であるから $\triangle ABC \mapsto \triangle DEF$ となる正の相似変換$f$が唯一つ存在する． 当然その相似変換$f$は $f:AB \mapsto DE$ である． 一方， $AB \parallel DE$のとき $AB \mapsto DE$の正の相似変換は唯一つ存在して，それは次のように得られる． $AB,DE$またはその延長の交点を$O，k=\dfrac{DE}{AB}$とおく. ただし，$\dfrac{DE}{AB}$は向きまで考え，$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{DE}$が同じ向きなら$k$は正, 反対向きなら$k$は負とする． このとき $H(O,k):AB \mapsto DE$ であるから $H(O,k):\triangle ABC \mapsto \triangle DEF$ となる． 書くとこのように長くなりますが，幾何学変換に慣れてくると一瞬に読みとれます． ここでは直接証明いたします． 
証明$AD$と$BE$の交点を$O$とする． $AB\parallel DE$ より右図で，１の角は等しく，２の角も等しい． さらに $\triangle ABC$∽$\triangle DEF$ より３，４の角もそれぞれ等しいので $BC \parallel EF,CA \parallel FD$ より，３辺がそれぞれ平行なので，２つの三角形が相似の位置にあることが証明された． $2.$ 問題の証明で２組の対応辺が平行であることを示しているのは，相似を証明するためである． $3.$ ここで，円に外接する四角形の性質をまとめておこう． 命題 四角形$ABCD$が円に外接する $\Longleftrightarrow$ $AD+CD=AD+BC$ 
証明$(\Rightarrow)$ 円外の点から円に引いた接線の長さは等しいから， 四角形$ABCD$が円に外接するとき,右図で $AB+CD=a+b+c+d$ $AD+BC=a+d+b+c$ 
$(\Leftarrow)$$\bullet \ AB=BC$のとき $\triangle ABD$と$\triangle CBD$は$BD$に関して対称であるから，$\angle BAD$の２等分線と$BD$の交点$O$が内接円の中心である． $\bullet \ AB \neq BC$のとき $BC$>$AB$のとき証明する． $AB+CD=BC+AD$ より $BC-AB=CD-AD$ がなりたつ． 辺$BC$上に点$E$を $BE=AB$ を満たすようにとり, 辺$CD$上に点$F$を $DF=AD$ にように取る． ここで，$\triangle BEA,\triangle CFE,\triangle DAF$はそれぞれ頂角が $\angle B,\angle C,\angle D$の二等辺三角形である． したがって，$\angle B,\angle C,\angle D$の２等分線はそれぞれ辺$AE,EF,FA$の垂直２等分線である． ゆえに$\angle B,\angle C,\angle D$の２等分線は１点で交わるから，四角形$ABCD$は円に外接する． なお，証明から分かるように，この内接円の中心は$\triangle AEF$の外心でもある． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |