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9.(ニュートンの定理) 四角形$ABCD$が円に外接し，接点を$P,Q,R,S$とする．このとき，４本の直線$AC,BD,PR,QS$は一点で交わる． 
証明$A$を通り$DC$と平行な直線と$PR$との交点を$E$，$A$を通り$BC$と平行な直線と$QS$との交点を$F$とする． 証明の方針は，$\triangle AEF$と$\triangle CRQ$が相似の位置にあることである． ２つの三角形が相似の位置にあれば， 対応頂点を結ぶ直線は相似の中心を通り,$AC,PR,SQ$が一点で交わることが分かる． $\triangle AEF$と$\triangle CRQ$が相似の位置にあることを示すには $\triangle AEF$∽$\triangle CRQ$ かつ $AE$‖$CR$ を示せばよい(理由は下の解説で説明）． したがって， $AE=AF$ 及び $\angle EAF=\angle RCQ$ を示せばよい． 図で， $1=2=3$ より $AP=AE$ また $4=5=6=7$ より $AS=AF$ さらに $AP=AS$ であるから $AE=AF$ 角については $8=9,10=11$ より $\angle EAF=\angle RCQ$ が分かる． したがって，$AC,PR,QS$が一点で交わることが示された． $BD,PR,QS$が一点で交わることも同様である． 解説 $1.$ $\triangle ABC$∽$\triangle DEF$のとき， 相似変換 $f:R^2 \longrightarrow R^2$ で $A \mapsto D \ ,B \mapsto E \ ,C \mapsto F$ を満たすものは唯一つに決まる． さらに $\triangle ABC$と$\triangle DEF$が正の相似のとき（回り方$ABCA$と$DEFD$が同じ向き）， 正の相似変換は中心相似変換と中心相似回転変換しかない． したがって，対応する辺$AB$と$DE$が平行なとき， $\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{DE}$が同じ向きのとき$f$は相似比が正の中心相似変換で， $\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{DE}$が反対向きのとき$f$は相似比が負の中心相似変換である． ($\because \ AB$と$DE$のなす角が中心相似回転変換の回転角) すなわち，次の命題が成り立つ． 
命題$\triangle ABC$と$\triangle DEF$が正の相似で対応する一組の辺が平行なとき， $\triangle ABC$を$\triangle DEF$にうつす相似変換は中心相似変換である． すなわち， $\triangle ABC$と$\triangle DEF$は相似の位置にある． 証明 ここでは相似変換の一般的な性質を利用しないで直接証明する． $AB$‖$DE$とする． $AD$と$BE$の交点を$O$とする． $1=2 \ (\because AB$‖$DE)$ $3=4 \ (\because \triangle ABC$ ∽ $\triangle DEF)$ $\therefore \angle OAC=\angle ODF$ ゆえに$AC$‖$DF$ 同様に$BC$‖$EF$である. 対応する３辺がそれぞれ平行であるから，パスカルの定理の解説で述べたように， $\triangle ABC$を$\triangle DEF$にうつす相似変換は中心相似変換であり，２つの三角形は相似の 位置にある． 
$2.$パスカルの定理と同じように，このニュートンの定理も２次曲線でも成り立つ． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |