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5.(パスカルの定理) 6角形$ABCDEF$が円に内接する．このとき，対辺の交点は同一直線上にある． すなわち$AB$と$DE$との交点を$P$，$BC$と$EF$の交点を$Q$，$CD$と$FA$の交点を$R$とすると，３点$P,Q,R$は同一直線上にある． 
証明$P$を通り，$CD$と平行な直線と$BC$との交点を$G$，$P$を通り$AF$と平行な直線と$EF$との交点を$H$とする． 証明の方針は$\triangle RCF$と$\triangle PGH$が$Q$を相似の中心とする相似の位置にあることを示すことである． 相似の位置にあれば，相似の中心と対応する点は一直線上にあるからです． そのためには３辺がそれぞれ平行であればよい（対応する３辺が平行な三角形が相似の位置にあることの証明はあとでおこなう）． すなわち$CF$‖$GH$を証明すればい． 以下その証明を行う． $\angle PGC=\angle GCD=\angle BED \ \ $(図の１の角) ($\because$ 四角形$BCDE$が円に内接する) より４点$B,P,G,E$は円に内接する． また $\angle PHE=\angle AFH=\angle PBE \ \ $(図の2の角) ($\because$ 四角形$FABE$が円に内接する) より４点$B,P,E,H$は円に内接する． ２つの円は３点$B,P,E$が共通であるから，５点$B,P,G,E,H$が同一円周上にあることが分かる． したがって， $\angle BGH=\angle BEH=\angle BCF \ \ $(図の3の角) ゆえに， $FC$‖$HG$ が分かり，$\triangle FRC$と$\triangle HPG$は$FH$と$CG$（これは$BC$でもある） の交点$Q$を相似の中心とする相似の位置にある． 別の書き方をすれば $H(Q,\dfrac{QF}{QH}):\triangle HPG \mapsto \triangle FRC$ ゆえに，３点$Q,P,R$は一直線上にある． 次の証明を行えば，パスカルの定理の証明が完成する． 命題 $\triangle ABC$と$\triangle DEF$で $AB\neq DE$かつ$AB$‖$DE$,$BC$‖$EF$,$CA$‖$FD$ が成り立つとき，$\triangle ABC$と$\triangle DEF$は相似の位置にある． 
証明$DA$と$EB$の交点を$O$とする． さらに，$OC$と$EF$の交点を$F’$とする． 仮定より $AB$‖$DE$,$BC$‖$EF'$ であるから $OA:OD=OC:OF'$ したがって， $AC$‖$DF'$ 一方，$AC$‖$DF$ より２直線$DF,DF'$は一致し$F$と$F'$は一致する． したがって $OA:OD=OB:OE=OC:OF$ が成り立つので，$\triangle ABC$と$\triangle DEF$は$O$を相似の中心とする相似の位置にある． 解説は次のページにあります． パスカルの定理の解説(ブリアンションの定理を含む) 全体の目次 |