7.(シムソン線)$\triangle ABC$と任意の１点$P$があり，$P$から辺$BC,CA,AB$またはその延長に下した垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする． このとき次が成り立つ． $P$が$\triangle ABC$の外接円上 $\Longleftrightarrow$ 3点$D,E,F$が一直線上 証明 $\angle BPF=\theta$,$\dfrac{PB}{PF}=k$とおき，$P$を中心とする相似回転変換$H(P,k,\theta)$を用いて，$D',E'$を $H(P,k,\theta):D \mapsto D',E \mapsto E'$ によって定義する． このとき， $\angle PFB=90^{\circ}$ であるから，$D'$は$BC$上，$E'$は$AC$上にある． 相似回転変換により直線は直線にうつるから， $D,E,F$が一直線上 $\Longleftrightarrow \ \ B,D',E'$が一直線上 $\Longleftrightarrow \ \ C$と$E'$が一致する $\Longleftrightarrow \ \angle CPE=\angle BPF$ $\Longleftrightarrow$ ４点$A,B,P,C$は同一円周上 $\Longleftrightarrow$ $P$が$\triangle ABC$ の外接円上 ここで用いた，相似変換や合同変換によって，直線は直線にうつることについては次の問題の解説で扱います． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |