いろいろな立体の問題

第8節　平成29年度の入試問題
平成29年度の入試問題を集めました．体積の計算は図形の特に立体図形の総合力を付ける 優れた題材で最近出題が増えているような気がします．
解答，解説は一から学べるように配慮しました．

問題1
座標空間内に4点$A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,1,\sqrt{2}),D(0,-1,\sqrt{2})$を 頂点とする四面体$ABCD$を考える．
(1) 点$P(0,0,t)$を通り$z$軸に垂直な平面と,辺$AC$が点$Q$において交わるとする． $Q$の座標を$t$で表せ．
(2) 四面体$ABCD$(内部も含む)を$z$軸の周りに１回転させてできる立体の体積を求めよ．
岡山大（2017年）


解答



問題2
半径$1$の円柱を，底面の直径を含み底面と$\alpha \ (0 < \alpha < \frac{\pi}{2})$をなす平面で切ってできる 小さい方の立体を考える．ただし，円柱の高さは$\tan \alpha$以上であるとする．
(1) この立体の体積$V$を求めよ．
(2) 切り口の面積を求めよ．
(3) この立体の側面積$B$を求めよ．
大阪市大（2017年）


解答



問題3
$xy$平面上で放物線$y=x^2$と直線$y=2$で囲まれた図形を，$y$軸の周りに1回転してできる回転体を$L$とおく． 回転体$L$に含まれる点のうち，$xy$平面上の直線$x=1$からの距離が1以下のもの全体がつくる立体を$M$とおく．
(1) $t$を$0\leqq t\leqq 2$を満たす実数とする．$xy$平面上の点$(0,t)$を通り，$y$軸に直交する平面による $M$の切り口の面積を$S(t)$とする．$t=(2\cos \theta)^2 \ (\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$ のとき，$S(t)$を$\theta$を用いて表せ．
(2) $M$の体積を求めよ．
大阪大（2017年）


解答



問題4
点$O$を原点とする座標空間内で，１辺の長さが$1$の正三角形$OPQ$を動かす． また，点$A(1,0,0)$に対して，$\angle AOP$を$\theta$とおく．ただし，$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ とする．
(1) 点$Q$が$(0,0,1)$にあるとき，点$P$の$x$座標が取りうる値の範囲と，$\theta$ が取りうる値の範囲を求めよ．
(2) 点$Q$が平面$x=0$上を動くとき，辺$OP$が通過しうる範囲を$K$とする．$K$ の体積を求めよ．
東京大（2017年）


解答



問題5
$0 < a < b$とする．座標空間内の４点$(a,0,1),(a,0,-1),(b,0,1),(b,0,-1)$を頂点にもつ，$xz$平面上の長方形の周および内部を$D$とする．
$D$を$z$軸の周りに１回転させてできる立体を$F$とし，さらに$F$を$y$軸の周りに１回転させてできる立体を$W$とする．$W$の体積を求めよ．
神戸大（2017年）(一部略)


解答



問題6
$xyz$空間において，原点$O(0,0,0)$と点$A(1,1,1)$を結ぶ線分$OA$を中心軸とした半径$1$の円柱の内部のうち$0\leqq x,0\leqq y,0\leqq z$ を満たす範囲に含まれる体積$V$を求めよ．
関西医大（2017年）


解答



問題7
$xyz$空間の$zx$平面にある曲線$z=x^2$の，$0\leqq z\leqq h$に対する部分を$C$とする． ただし，$h > 0$である．回転軸$l$を$z$軸にとり，$C$を$l$の周りに１回転させて得られる曲面 からなる容器を$S$とする．$S$に水を満たした後，$S$の回転軸$l$を$z$軸に対して角$\theta$だけ傾ける． 以下$a=\tan \theta$とおく．
(1) 水がすべてこぼれず，容器の中に残るための条件は$0\leqq a < ( \ \ \text{ア} \ \ )$である．
このとき空気に触れている水面の面積を$T(a)$とすると$T(a)=( \ \ \text{イ}　\ )$である．
$\displaystyle \lim_{a\to +0}T'(a)=( \ \ \text{ウ} \ \ )$であり，$a$の関数$T(a)$が$0 < a < (\text{ア} )$ の範囲に極大値をもつための条件は$h > ( \ \text{エ}　)$である．
(2) $a=\sqrt{h}$のとき容器に残った水の体積$V$を求めると$V=(\ \ \text{オ} \ \ )$である．ただし，その計算にあたって，必要ならば 次の定積分を用いてよい．
$\displaystyle \int_0^1(1-t^2)^{\frac{3}{2}}dt=\dfrac{3\pi}{16},\int_0^1t^{\frac{3}{2}}(1-t)^{\frac{3}{2}}dt=\dfrac{3\pi}{128}, \int_0^1t^{\frac{3}{2}}(1-t)^{\frac{1}{2}}dt=\dfrac{\pi}{16}$
慶応大・医（2017年）


解答



問題8
右の図のように，一辺の長さが$1$の立方体$ABCD-EFGH$がある．辺$BC$,辺$DH$, 辺$EF$上に３点$P,Q,R$を$BP=DQ=ER=t$となるようにとり，三角形$PQR$をつくる． $t$が$0$から$1$まで動くとき，この三角形が通過してできる立体の体積を求めよ．
藤田保健衛生大(医)（2016年）

解答


問題9
$xyz$空間上に点$A(0,0,\sqrt{3})$をとる．$xy$平面上の点$P(a,b,0)$は，線分$AP$ の長さが$2$で，$a\geqq 0,b\geqq 0$となるように動く．このとき線分$AP$が描く図形を $F$とする．次の問に答えよ．
(1) 点$P$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．
(2) 点$Q(x,y,z)$を図形$F$上の点とするとき，$z$を$x,y$を用いて表せ．
(3) 図形$F$，座標平面$x=0,y=0,z=0$によって囲まれる部分を$x$軸の周りに １回転してできる回転体を$V$とする．$V$の平面$x=t$による切り口の面積$S(t)$を $t$を用いて表せ．
(4) $V$の体積を求めよ．
早稲田理工(一部改)(2016年）



解答


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