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問題3 $xy$平面上で放物線$y=x^2$と直線$y=2$で囲まれた図形を，$y$軸の周りに1回転してできる回転体を$L$とおく． 回転体$L$に含まれる点のうち，$xy$平面上の直線$x=1$からの距離が1以下のもの全体がつくる立体を$M$とおく． (1) $t$を$0\leqq t\leqq 2$を満たす実数とする．$xy$平面上の点$(0,t)$を通り，$y$軸に直交する平面による $M$の切り口の面積を$S(t)$とする．$t=(2\cos \theta)^2 \ (\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$ のとき，$S(t)$を$\theta$を用いて表せ． (2) $M$の体積を求めよ． 
解答問題文の意味は，右図の回転体$L$と直線$x=1,z=0$を中心とする半径$1$の円柱 の共通部分の体積をもとめることであることを確認しよう(問題文の全体像をつかむことが大切です. なお，通常の空間座標と座標軸の取り方が違うことに注意)． (1) 平面$y=t \ (0\leqq t\leqq 2)$で切ったときの切り口を，新しく$zx$平面とする． 回転体$L$の切り口は $x^2+z^2=t$ 円柱の切り口は $(x-1)^2+z^2=1$ であるから，図示すると右下図になる． $\angle AOC=\theta$とおく. $OA=\sqrt{t},\angle CAO=\frac{\pi}{2}$であるから $\cos \theta =\dfrac{\sqrt{t}}{2}$ すなわち $t=(2\cos \theta )^2$ これは，問題の中の$t,\theta$の関係である． 
さて，２つの円の共通部分である，右の水色の部分の面積すなわち$S(t)$
を求めよう．扇形$OAB$+2×弓形$AO$ であり，弓形$AO$は， $\angle AO'O=\pi -2\theta$ であるから $\dfrac{\pi -2\theta}{2}-\dfrac{\sin (\pi -2\theta)}{2}$ である．したがって， $S(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{t}^2\cdot 2\theta +\pi -2\theta -\sin 2\theta$ $t=4\cos ^2\theta$と書き直し整理し $=4\theta \cos ^2 \theta +\pi -2\theta -\sin 2\theta$ $=2\theta \cos 2\theta -\sin 2\theta +\pi$ (2) $\int_0^2S(t)dt$を求めればよい． $t=4\cos ^2\theta$より $\dfrac{dt}{d\theta}=8\cos \theta (-\sin \theta)$ $t:0\to 2$のとき$\theta :\dfrac{\pi}{2}\to \dfrac{\pi}{4}$ したがって， $\displaystyle \int_0^2S(t)dt=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}}(2\theta \cos 2\theta -\sin 2\theta +\pi)\cdot 8\cos \theta (-\sin \theta)d\theta$ $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}4\theta \sin \theta d\theta -4\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^22\theta d\theta +4\pi\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sin 2\theta d\theta$ $=-\dfrac{3\pi}{4}-4\cdot \dfrac{\pi}{8}+4\pi \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{3\pi}{4}$ 解説 この問題が解ければ，体積における置換積分は卒業です．なお，問題文の中の $\sqrt{t}=2\cos \theta$ は自分で導き出せなければいけません． この問題を解いたら，3本の円柱の共通部分の体積を求めてみましょう．これは有名問題です．多分苦労なく解けると思います． 問題に戻る 目次 全体の目次 |