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問題9 $xyz$空間上に点$A(0,0,\sqrt{3})$をとる．$xy$平面上の点$P(a,b,0)$は，線分$AP$ の長さが$2$で，$a\geqq 0,b\geqq 0$となるように動く．このとき線分$AP$が描く図形を $F$とする．次の問に答えよ． (1) 点$Q(x,y,z)$を図形$F$上の点とするとき，$x,y,z$の関係式を求めよ． (2) 図形$F$，座標平面$x=0,y=0,z=0$によって囲まれる部分を$x$軸の周りに １回転してできる回転体を$V$とする．$V$の平面$x=t$による切り口の面積$S(t)$を $t$を用いて表せ． (3) $V$の体積を求めよ． 解答 (1) 点$P$は$xy$平面上の原点を中心とする半径$1$の円を動く． 図形$F$を平面$z=t \ (0\leqq t\leqq \sqrt{3})$で切ると，切り口の図形は $(0,0,t)$を通り$z$軸に垂直な平面上の$(0,0,t)$を中心とする半径$\frac{\sqrt{3}-t}{\sqrt{3}}$の円．したがって $x^2+y^2=(\dfrac{\sqrt{3}-t}{\sqrt{3}})^2$ $t$を消去すると， $x^2+y^2=(\dfrac{\sqrt{3}-z}{\sqrt{3}})^2\cdots (\sharp)$ 
(2)(3)図形$F$(円錐)を平面$x=t \ (0\leqq t \leqq 1)$できった切り口の方程式は $(\sharp)$に$x=t$を代入し $y^2-\dfrac{(z-\sqrt{3})^2}{3}=-t^2 \ (0\leqq z \leqq \sqrt{3}),$ $x=t$ すなわち， 双曲線$-\dfrac{y^2}{t^2}+\dfrac{z^2}{3t^2}=1$の$z < 0$の部分を$z$軸の方向に$\sqrt{3}$ だけ平行移動したもの． この双曲線の$z\geqq 0$の部分を$(t,0,0)$の周りに回転した図形の面積が$S(t)$である． 点$(t,0,0)$を点$O$とし，双曲線上の点$P$について $OP$の最大値を半径とする円の面積が$S(t)$である． 
右図で$A(t,\sqrt{1-t^2},0),B(t,0,\sqrt{3}(1-t))$である．$P(t,y,z)$とおくと $OP^2=y^2+z^2=\dfrac{(z-\sqrt{3})^2}{3}-t^2+z^2$ $0\leqq z \leqq \sqrt{3}(1-t)$における最大値を求めるのであるが，$z$の２次式で$z^2$ の係数が正であるから，区間の端点のいずれかが最大値である．すなわち，$\{\sqrt{3}(1-t)\}^2, (\sqrt{1-t^2})^2$の大小を調べればよい． $3(1-t)^2-(1-t^2)=-2(1-t)(2t-1)$ より $\dfrac{1}{2} < t$のとき$3(1-t)^2 < 1-t^2 \ \therefore S(t)=\pi (1-t^2)$ $0\leqq t < \dfrac{1}{2}$のとき$3(1-t)^2 > 1-t^2 \ \therefore S(t)=3\pi (1-t)^2$ したがって求める体積$V$は $\displaystyle V=\int_0^1S(t)dt=\int_0^{\frac{1}{2}}3\pi (1-t)^2dt+\int_{\frac{1}{2}}^1\pi (1-t^2)dt=\dfrac{13\pi}{12}$ 解説 (1)円錐の体積を求めるのは難しいが， 回転体なら比較的簡単であることが分かります． (2)この問題で，円錐の側面を回転したときのその通過した部分の体積となると， $OP^2$の最小値も計算し，次のようにすればよい． $OP^2=y^2+z^2=\dfrac{(z-\sqrt{3})^2}{3}-t^2+z^2$ $=\dfrac{4}{3}(z-\dfrac{\sqrt{3}}{4})^2+\dfrac{3}{4}-t^2$ の$0\leqq z \leqq \sqrt{3}(1-t)$における最大値，最小値を求める．ただし$0\leqq t \leqq 1$. $\frac{\sqrt{3}}{4}$と$\sqrt{3}(1-t)$の大小を調べ $0\leqq t \leqq \dfrac{1}{2}$のとき$\dfrac{3}{4}-t^2\leqq AP^2\leqq 3(1-t)^2$ $\dfrac{1}{2}\leqq t\leqq \dfrac{3}{4}$のとき$\dfrac{3}{4}-t^2\leqq AP^2\leqq 1-t^2$ $\dfrac{3}{2}\leqq t \leqq 1$のとき$3(1-t)^2 \leqq AP^2\leqq 1-t^2$ 除く方を計算すればよいから $\displaystyle \pi \int_0^{\frac{3}{4}}(\dfrac{3}{4}-t^2)dt+\pi\int_{\frac{3}{4}}^13(1-t)^2dt=\dfrac{7\pi}{16}$ （求める体積）＝$\dfrac{13\pi}{12}-\dfrac{33\pi}{3\cdot 2^7}=\dfrac{31\pi}{48}$ 問題に戻る 目次 全体の目次 |