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問題4 点Oを原点とする座標空間内で，１辺の長さが1の正三角形OPQを動かす． また，点A(1,0,0)に対して，∠AOPをθとおく．ただし，0∘≦ とする． (1) 点Qが(0,0,1)にあるとき，点Pのx座標が取りうる値の範囲と，\theta が取りうる値の範囲を求めよ． (2) 点Qが平面x=0上を動くとき，辺OPが通過しうる範囲をKとする．K の体積を求めよ． 
解答(1) 点Pは平面z=\frac{1}{2}上のB(0,0,\frac{1}{2})を中心とする半径\frac{\sqrt{3}}{2} の円周上を動くから，点Pのx座標の取りうる範囲は -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2} |OA|=|OP|=1であるから \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}=\cos \theta 一方 \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP} =\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}++\overrightarrow{BP}) =\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BP} |\overrightarrow{BP}|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}であるから -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq \cos \theta \leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2} (2) 点Qが(0,0,1)にあるとき線分OPは，底面が平面z=\frac{1}{2}上のB(0,0,\frac{1}{2})を中心とする半径\frac{\sqrt{3}}{2} の円周で頂点が原点Oの円錐の側面を動く．この円錐を円錐Vとする． Qがyz平面を動くということは，点Qがyz平面上の原点を中心とする半径1の円を動くことで，これは円錐Vをx軸の周りに1回転したときの通過する範囲でである． 円錐Vの側面を平面z=tで切ると x^2+y^2=(\sqrt{3}t)^2,z=t tを消去すると x^2+y^2=3z^2, (0\leqq z\leqq \dfrac{1}{2}) 
平面x=t (-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2})で切るとy^2-3z^2=-t^2 となる(右図)． D(0,\dfrac{t}{\sqrt{3}}),E(\sqrt{\dfrac{3}{4}-t^2},\dfrac{1}{2}) である. 求める体積は \displaystyle 2\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\pi (O'E^2-O'D^2) \displaystyle 2\pi \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \{(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}-t^2)-\dfrac{t^2}{3}\}dt =\dfrac{2\sqrt{3}\pi}{3} 解説 円錐の一部の体積を求めるのは面倒であるが，この問題のように円錐の回転体の体積を 求めるのは比較的簡単である．なお，類題が前年度の早稲田で出題されている． 問題に戻る 目次 全体の目次 |