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問題4 点$O$を原点とする座標空間内で，１辺の長さが$1$の正三角形$OPQ$を動かす． また，点$A(1,0,0)$に対して，$\angle AOP$を$\theta$とおく．ただし，$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ とする． (1) 点$Q$が$(0,0,1)$にあるとき，点$P$の$x$座標が取りうる値の範囲と，$\theta$ が取りうる値の範囲を求めよ． (2) 点$Q$が平面$x=0$上を動くとき，辺$OP$が通過しうる範囲を$K$とする．$K$ の体積を求めよ． 
解答(1) 点$P$は平面$z=\frac{1}{2}$上の$B(0,0,\frac{1}{2})$を中心とする半径$\frac{\sqrt{3}}{2}$ の円周上を動くから，点$P$の$x$座標の取りうる範囲は $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $|OA|=|OP|=1$であるから $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}=\cos \theta$ 一方 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}$ $=\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}++\overrightarrow{BP})$ $=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BP}$ $|\overrightarrow{BP}|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$であるから $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq \cos \theta \leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (2) 点$Q$が$(0,0,1)$にあるとき線分$OP$は，底面が平面$z=\frac{1}{2}$上の$B(0,0,\frac{1}{2})$を中心とする半径$\frac{\sqrt{3}}{2}$ の円周で頂点が原点$O$の円錐の側面を動く．この円錐を円錐$V$とする． $Q$が$yz$平面を動くということは，点$Q$が$yz$平面上の原点を中心とする半径$1$の円を動くことで，これは円錐$V$を$x$軸の周りに1回転したときの通過する範囲でである． 円錐$V$の側面を平面$z=t$で切ると $x^2+y^2=(\sqrt{3}t)^2,z=t$ $t$を消去すると $x^2+y^2=3z^2, (0\leqq z\leqq \dfrac{1}{2})$ 
平面$x=t (-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2})$で切ると$y^2-3z^2=-t^2$ となる(右図)． $D(0,\dfrac{t}{\sqrt{3}}),E(\sqrt{\dfrac{3}{4}-t^2},\dfrac{1}{2})$ である. 求める体積は $\displaystyle 2\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\pi (O'E^2-O'D^2)$ $\displaystyle 2\pi \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \{(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}-t^2)-\dfrac{t^2}{3}\}dt$ $=\dfrac{2\sqrt{3}\pi}{3}$ 解説 円錐の一部の体積を求めるのは面倒であるが，この問題のように円錐の回転体の体積を 求めるのは比較的簡単である．なお，類題が前年度の早稲田で出題されている． 問題に戻る 目次 全体の目次 |