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問題5 $0 < b < a$とする．座標空間内の４点$(a,0,1),(a,0,-1),(b,0,1),(b,0,-1)$を頂点にもつ，$xz$平面上の長方形の周および内部を$D$とする． $D$を$z$軸の周りに１回転させてできる立体を$F$とし，さらに$F$を$y$軸の周りに１回転させてできる立体を$W$とする．$W$の体積を求めよ． 
解答立体$F$は，円柱から円柱をくり抜いた右図のようになります．これを$y$軸の周りに 回転した立体の体積を求めるには，$y$軸に垂直な平面$y=t$で切った切り口を考えます． 中が空いている場合と空いていない場合に分けて考える必要があります． 立体$W$を平面$y=t$で切ったときの切り口の面積を$S(t)$とする． $\bullet \ b\leqq t \leqq a$のとき 右図で$P(\sqrt{a^2-t^2},t,1),O'(0,t,0)$である． $S(t)=\pi O'P^2=\pi(a^2-t^2+1)$ $\bullet \ 0\leqq t \leqq b$のとき 右図で$Q(\sqrt{a^2-t^2},t,1),R(\sqrt{b^2-t^2},t,0),O'(0,t,0))$である． $S(t)=\pi (O'Q^2-O'R^2)$ $=\pi \{(a^2-t^2+1)-(b^2-t^2)\}=a^2-b^2+1$ $W$の体積は $\displaystyle 2\pi (\int_0^b(a^2-b^2+1)dt+\int_b^a(a^2-t^2+1)dt$ $=\dfrac{2\pi (2a^3-2b^3+3a)}{3}$ 問題に戻る 目次 全体の目次 |