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問題1 座標空間内に4点$A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,1,\sqrt{2}),D(0,-1,\sqrt{2})$を 頂点とする四面体$ABCD$を考える． (1) 点$P(0,0,t)$を通り$z$軸に垂直な平面と,辺$AC$が点$Q$において交わるとする． $Q$の座標を$t$で表せ． (2) 四面体$ABCD$(内部も含む)を$z$軸の周りに１回転させてできる立体の体積を求めよ． 
解答直線$AC$を媒介変数表示すると $(x,y,z)=(1,0,0)+s(-1,1,\sqrt{2})$ $=(1-s,s,\sqrt{2}s)$ $z=t$より $\sqrt{2}s=t$ したがって， $s=\dfrac{t}{\sqrt{2}}$ $Q(1-\dfrac{t}{\sqrt{2}},\dfrac{t}{\sqrt{2}},t)$ (2) 四面体$ABCD$を平面$z=t$で切ったときの切り口の図形である四角形$QRST$ の形を調べよう(四角形の頂点は右図のように取った)． $QT\parallel CD \parallel RS$ より $QT\parallel RS$ $QR\parallel AB \parallel TS$ より $QR\parallel TS$ したがって， $QT\parallel RS,QR\parallel TS$ さらに，$AB \perp CD$であるから $QT\perp QR$ したがって，四角形$QRST$は長方形である． 次に，この長方形の対角線の交点の座標を求めよう． 線分$QS$の中点であるので，$S$の座標を求めればよい． $Q$の座標を求めた方法でもよいが， 線分$BD$を$t:\sqrt{2}-t$に内分した点としてもよい． $S(-1+\dfrac{t}{\sqrt{2}},-\dfrac{t}{\sqrt{2}},t)$ したがって，線分$QS$の中点は$(0,0,t)$で，点$P$と一致し，この点が回転の 中心である． 求める体積は $\displaystyle \pi \int_0^{\sqrt{2}}PQ^2dt=\pi \int_0^{\sqrt{2}}\{(1-\dfrac{t}{\sqrt{2}})^2+(\dfrac{t}{\sqrt{2}})^2\}dt=\dfrac{2\sqrt{2}\pi}{3}$ 問題に戻る 目次 全体の目次 |