問題6$xyz$空間において，原点$O(0,0,0)$と点$A(1,1,1)$を結ぶ線分$OA$を中心軸とした半径$1$の円柱の内部のうち$0\leqq x,0\leqq y,0\leqq z$ を満たす範囲に含まれる体積$V$を求めよ． 解答 一見難しそうですが，形が分かれば難しくありません． 立方体の対角線を中心軸とする半径１，高さ$\sqrt{3}$の円柱が立方体 に含まれる場合と外に出る場合を考えます．右図で，円$C_0,C_1$ の間は立方体が円柱に含まれ，円$C_2,C_3$の間は円柱が 立方体に含まれます． 問題は２円$C_1,C_2$の間ですが，円柱の一部が削り取られています． 要するにこの削り取る部分の体積を求めることがこの問題の本質です． それでは，削り取る部分の体積を求めましょう． 
$O$を原点，円$C_0$を$xy$平面上にとった新しい座標軸で考えます(右図)．円柱の2平面$\pi ,\pi '$で挟まれた部分$V$の体積を求めます． 立方体で対角線と面のなす角を考えることより，平面$\pi$と$z$軸のなす角を$\theta$ とすると $\sin \theta =\dfrac{1}{\sqrt{3}},\tan \theta =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であるから $B(0,0,\sqrt{2})$ 一方，円$C_1$を含む平面で立方体を切ると，単位円$C_1$に内接する正三角形で あるので．平面$\pi '$と$z$軸の交点から２平面$\pi,\pi $の交線に下した垂線の長さは$\frac{1}{2}$である． したがって，円$C_1$の$z$座標は$\frac{1}{\sqrt{2}}$. $x$軸に垂直な平面$x=t \ (\frac{1}{2}\leqq t \leqq 1)$で$V$を切ったときの 切り口は長方形で面積を$S(t)$とすると $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^1 2\sqrt{1-t^2}\left(\sqrt{2}t-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ $=2\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{8}-\sqrt{2}(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{8})$ $=\dfrac{3\sqrt{6}}{8}-\dfrac{\sqrt{2}\pi}{6}$ 三角錐の体積に，円柱の体積を加え，ここで求めた体積の３倍を引いて $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}\sqrt{3}^2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\left(\sqrt{3}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\pi -3\left(\dfrac{3\sqrt{6}}{8}-\dfrac{\sqrt{2}\pi}{6}\right)$ $=\sqrt{3}\pi -\sqrt{6}$ 問題に戻る 目次 全体の目次 |