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問題2 半径$1$の円柱を，底面の直径を含み底面と$\alpha \ (0 < \alpha < \frac{\pi}{2})$をなす平面で切ってできる 小さい方の立体を考える．ただし，円柱の高さは$\tan \alpha$以上であるとする． (1) この立体の体積$V$を求めよ． (2) 切り口の面積を求めよ． (3) この立体の側面積$B$を求めよ． 
解答(1)座標軸を右のように定めたとき，各座標軸に垂直な平面で切った切り口の面積を積分すれば体積は求まります． ここでは，３つの方法で求めます.実際に解くときは$x$軸または$y$軸を軸に取りますが，ここでは特に$z$軸の場合を学びましょう． $\bullet$ 軸を$x$軸としたとき $P(t,0,0)$として，$P$に垂直な平面で切った切り口は直角三角形でその面積を$S(t)$ とすると $S(t)=\dfrac{1}{2}PR^2\tan \alpha=\dfrac{(1-t^2)\tan \alpha}{2}$ 求める体積は $\displaystyle 2\int_0^1\dfrac{(1-t^2)\tan \alpha}{2}dt=\dfrac{2\tan \alpha}{3}$ $\bullet$ 軸を$y$軸としたとき $Q(0,t,0)$として，$Q$に垂直な平面で切った切り口は長方形でその面積を$S(t)$ とすると $S(t)=2QR\cdot RS=2\sqrt{1-t^2}\cdot t\tan \alpha$ 求める体積は $\displaystyle \int_0^12\sqrt{1-t^2}\cdot t\tan \alpha dt=\dfrac{2\tan \alpha}{3}$ 
$\bullet$ 軸を$z$軸としたとき$R(0,0,t)$として，$Q$に垂直な平面で切った切り口は弓形でその面積を$S(t)$ とする. 右図で，$AB$の中点を$M$とすると $O'M=\dfrac{t}{\tan \alpha}$ である． $\angle BO'M=\theta$とおくと $S(t)=\dfrac{1}{2}\cdot 1^2\cdot 2\theta -2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \sin\theta \cos \theta $ $=\theta -\sin \theta \cos \theta $ 
ここで，$t$と$\theta$の関係は$\cos \theta=\dfrac{t}{\tan \alpha}$ であり，一方求める面積は $\displaystyle \int_0^{\tan \alpha }S(t)dt$ である.$S(t)$が$t$で表せれば何の問題もない．しかし問題は$\theta$である． これは，$y=\cos x$の逆関数，すなわち三角関数の逆関数を高校で学べば問題ないが，そうはいかない． したがって，$t$を$\theta$で表して解決する． つぎにのように解くことになる． $t=\tan \alpha \cos \theta$より $\dfrac{dt}{d\theta}=-\tan \alpha \sin \theta$ $t:0\to \tan \alpha$のとき$\theta :\frac{\pi}{2}\to 0$ $\displaystyle \int_0^{\tan \alpha}S(t)dt=\int_{\frac{\pi}{2}}^0(\theta -\sin \theta \cos \theta)(-\tan \alpha \sin \theta )d\theta$ $\displaystyle =\tan \alpha \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\theta \sin \theta -\sin ^2\theta \cos \theta )d\theta$ $=\tan \alpha (1-\dfrac{1}{3})$ $=\dfrac{2\tan \alpha}{3}$ 
(2)この問題はいろいろな解答がある．他の解答は解説で行う．ここでは，切り口の平面に座標軸を導入する．といっても難しくありません． 座標軸は右図のようにとり，切り口の曲線上の点$P$に対して $OA=x,AP=y$ とおき，$y$を$x$で表すだけです． $AB=\sqrt{1-x^2}$ より $y=AP=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{\cos \alpha }$ ちなみに，切り口の式は $x^2+\cos ^2\alpha y^2=1$ となります． 求める面積は $\displaystyle 2\int_0^1\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{\cos \alpha }dx=\dfrac{\pi}{2\cos \alpha}$ 
(3) 側面積は展開図を考えることになります．側面を直線$AB$で切って，弧$AH=x$,$PH=y$とおく． ここで$\angle HOA=\theta$とおくと $x=\theta ,y=\sin \theta \tan \alpha$ (媒介変数のありがたみがわかると思う) したがって,切り口の曲線は側面においては $y=\tan \alpha \sin x \ (0\leqq x \leqq \pi)$ 求める面積は $\displaystyle \int_0^{\pi}\tan \alpha \sin xdx=2\tan \alpha$ 
解説
設問(2)の切り口の図形の方程式を考えます．切り口の平面に座標を導入することは，直交する単位ベクトル$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ を決めることです． ここでは $\overrightarrow{e_1}=(1,0,0),\overrightarrow{e_2}=(0,\cos \alpha ,\sin \alpha)$ とする．このとき，切り口の平面上の任意の点$P$は $t\overrightarrow{e_1}+s\overrightarrow{e_2}$ $=(0,0,0)+t(1,0,0)+s(0,\cos \alpha ,\sin \alpha)$ $=(t,s\cos \alpha ,s\sin \alpha )\cdots (\sharp)$ 一方円柱の方程式は $x^2+y^2=1 \cdots (\flat)$であるから,円柱と切り口の平面の交線の式は，$(\sharp)$を$(\flat )$に代入した $t^2+(s\cos \alpha)^2=1$ である． $t$を$x$,$s$を$y$に置き換えて $x^2+\cos ^2\alpha y^2=1$ である． この方法を一般的に見直すと，平面上の基本ベクトル(直交する単位ベクトル)を $\overrightarrow{e_1}=(a,b,c),\overrightarrow{e_2}=(d,e,f)$ とすると，平面上の任意の点は $t\overrightarrow{e_1}+s\overrightarrow{e_2}=(ta+sd,tb+se,tc+sf)\cdots (\sharp)$ と表せる． 平面と曲面の交線の方程式は，$(\sharp)$を曲面の式に代入することにより得られる． したがって， 曲面が$x,y,z$の２次式$=0$で表されるとき(この曲面を２次曲面という)，交線は $s,t$の２次式$=0$ すなわち2次曲線である． ２次曲線が楕円，放物線，双曲線のいずれになるかは，グラフの形から判断することが多い．すなわち， 有界であれば楕円，有界でないとき，２つに分かれれば双曲線，１つなら放物線である． たとえば，斜円錐を平面切った切り口の図形は，初等的に扱うと難しいが， 斜円錐の頂点を原点，底面の円を$z=1$上におき $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,z=1$ とする． 
この斜円錐を$z=t$で切ったときの切り口は$(x-at)^2+(y-bt)^2=(rt)^2,z=t$ $t$を消去して， $(x-az)^2+(y-bz)^2=r^2z^2$ がこの斜円錐の方程式である．左辺は$x,y,z$の２次式であるから，平面で切った切り口の図形は２次曲線である． なお，円錐は頂点の両側の円錐を考えなければならない． また２次曲線は因数分解でき，２直線になることもある．これは通常退化する２次曲線という．円錐の場合でいえば，切り口の平面が円錐の頂点 を通るときである． 切り口の図形やその面積を求めるとき，正射影を用いるときもある． ここでは，正射影を用いて切り口の図形を調べよう． 
まず，正射影の定義について．２平面$\alpha,\beta$が交わるとき，平面$\alpha$上の点$P$に，$P$から平面$\beta$に下ろした垂線の足$Q$を対応させる平面$\alpha$から平面$\beta$ への写像を平面$\alpha$から平面$\beta$への正射影という． ２平面$\alpha ,\beta$の交線を共通の$x$軸とし，$x$軸上に共通の原点$O$をとり，平面$\alpha$上に$y$軸，平面$\beta$上に$Y$軸をとり 平面$\alpha$上の点$P(x,y)$の平面$\beta$への正射影を$Q(x',y')$ とする． ２平面$\alpha ,\beta$のなす角を$\theta$とすると $x'=x,y'=(\cos \theta )y$ であるから，正射影は変換 $(x,y)\mapsto (x,(\cos \theta )y)\cdots (\sharp)$ である．ただし，$\theta$は平面のなす角． 変換$(\sharp)$で曲線の像がどうなるか，領域の面積とその像の面積の関係を調べましょう． これはもっと一般に 変換$(x,y)\mapsto (ax,by)$ で調べた方が便利である． この変換で関数$y=f(x)$の像は$\frac{y}{b}f(\frac{x}{a})$となる． 面積は$|ab|$倍になる．これは領域$S$の像が$S'$のとき，領域$S$を小さい正方形を敷き詰めたとき，それぞれの正方形が$|ab|$倍になるから，全体としても$|ab|$ 倍になる．正方形を小さくしていけば，敷き詰めた正方形が$S$に近づくのでその極限をとることにより$S'$の面積が$S$の$|ab|$であることがわかる． これは積分の方法で，これで問題ないのですが，次のように計算でやった方が納得できるかもしれません（ちなみに実際は同じことをしているのです）． 
$y=f(x),y=g(x),p\leqq x\leqq q$で囲まれた領域の変換$(x,y)\mapsto (ax,by)$による像は $\dfrac{y}{b}=f(\dfrac{x}{a}),\dfrac{y}{b}=g(\dfrac{x}{a}), \ \ ap\leqq x\leqq aq$ で囲まれた領域です． 面積が$ab$倍になっていることを確認しましょう． $\displaystyle \int_{ap}^{aq}\left(bf(\dfrac{x}{a})-bg(\dfrac{x}{a})\right)dx$ $t=\dfrac{x}{a}$とおくと， $x:ap\to aq$のとき$t:p\to q$であり，$\dfrac{dx}{dt}=a$より$dx=adt$ $\displaystyle =ba\int_p^q(f(t)-g(t))dt$ したがって，面積が$ab$倍になる． 設問$(2)$の問題に戻りましょう． 底面と切り口の平面とのなす角が$\alpha$であるから，切り口の平面から底面への正射影は $(x,y)\mapsto (x,(\cos \alpha )y)$ である． また，切り口の図形のこの正射影による像は $x^2+y^2=1,y\geqq 0$ であるから面積は$\dfrac{\pi}{2}$ したがって，切り口の面積は$\dfrac{\pi}{2\cos \alpha}$ ちなみ，切り口の図形の方程式は $x^2+(\cos ^2\alpha )y^2=1$ である． 問題に戻る 目次 全体の目次 |