いろいろな立体の問題

第8節 立体図形の入試問題1(射影)
ここでは,これまでの議論と関連する解いて面白いと思われる問題を紹介します.

次の問題は射影の問題で,太陽の陰のように射影の方向が動くとき,一定時間陰になっている部分の面積や体積を求める問題で, 傑作入試問題の1つです.


問題1(射影の向きが連続的に変る問題)
$xyz$座標空間内の点
$A(1,0,0),B(1,0,2),$
$C(-1,0,2),D(-1,0,0)$
を頂点とする光を通さない正方形の板$ABCD$に,時刻$t$とともに 変化するベクトル
$(\sqrt{2}\cos t,-\sin t,-\sin t) \ (0$<$t$<$\pi )$
の方向に進む平行光線があたってできる陰影について 考える.
時刻$t,t+\frac{\pi}{2} \ (0$<$t$<$\frac{\pi}{2})$において板$ABCD$が$xy$平面上に作る四角形の影をそれぞれ $AB'C'D,AB"C"D$とする.
$(1) \ $時刻$t$から$t+\frac{\pi}{2} \ (0$<$t$<$\frac{\pi}{2})$までの間連続して板$ABCD$の影になっている$xy$平面上の部分の面積を 求めよ.

$(2) \ xyz$空間において,時間$\frac{\pi}{2}$以上連続して板ABCDの陰になっている$z \geqq 0$の部分の体積を求めよ.
慶応大・理工(2002年)(一部略)



解答


点光源の射影の問題も面白い問題です,


問題2(点光源の射影)
空間内の点の集合
$\{ (x,y,z)|0\leqq y,0\leqq z \}$
に含まれ,原点$O$において$x$軸に接し,$xy$平面と$45^{\circ}$の傾きをなす,半径1の円盤$C$がある.
座標が$(0,0,2\sqrt{2})$の位置にある点光源$P$により,$xy$平面上に投ぜられた円盤$C$の影を$S$とする.
(1) $S$の輪郭を表す$xy$平面上の曲線の方程式を求めよ.
(2) 円盤$C$と影Sの間にはさまれ,光の届かない部分の作る立体の体積を求めよ.
東京大(1984年)




解答



問題3(点光源の射影)
$xyz$空間において,$xz$平面上の$0 \leqq z \leqq 2-x^2$で表される図形を$z$軸の周りに回転して得られる不透明な立体を $V$とする.$V$の表面上$z$座標1のところに一つ点光源$P$がある.
$xy$平面上の原点を中心とする円$C$の,$P$からの光が当たっている部分の長さが$2\pi$であるとき,$C$のかげの部分の長さを求めよ.
東京大(1988年)



解答





問題4(点光源が動くときの射影)
$a,b,c$を正の実数とする.$xyz$空間において
$|x|\leqq a,|y|\leqq b,z=c$
を満たす点$(x,y,z)$からなる板$R$を考える.点光源$P$が平面$z=c+1$上の楕円
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,z=c+1$
上を一周するとき,光が板$R$にさえぎられて$xy$平面上にできる影の通過する部分の図をえがき,その面積を求めよ.
東京大(1991年)




解答



問題5(正四面体の正射影)
原点を\(O\)とする\(xyz\)空間内に1辺の長さ\(1\)の正四面体\(OPQR\)がある.点\(P,Q,R\)を通り\(z\)軸に 平行な3直線と\(xy\)平面との交点をそれぞれ\(P',Q',R'\)とするとき,次の問に答えよ.
(1)\(\triangle PQR,\triangle P'Q'R' \)の面積をそれぞれ\(S,S_1\)とする. \(P,Q,R\)の3点を通る平面と\(xy\)平面のなす角を\(\theta \)とするとき,
\(S_1=S|\cos \theta |\)
を示せ.
(2)\(O\)が\(\triangle P'Q'R' \)の周上を含む内部にあるとき,\(z\)軸と\(\triangle PQR\) の交点を\(A\)とする. このとき正四面体\(OPQR\)の体積\(V\)は
\(V=\dfrac{1}{3}\cdot OA\cdot S_1\)
となることを示し,\(S_1\)の最小値を求めよ.
(3)\(O\)が\(\triangle P'Q'R' \)の外部にあり,線分\(OP'\)と線分\(Q'R'\)が交点\(B\)を持つとき,点\(B\)を通り\(z\)軸に 平行な直線と,直線\(OP\)および直線\(QR\)との交点をそれぞれ\(C,D\)とする.このとき四角形\(OQ'P'R'\)の面積を\(S_2\)とすると
\(V=\dfrac{1}{3}\cdot CD \cdot S_2\)
となることを示し,\(S_2\)の最大値を求めよ.
名古屋市立大(2013年)




解答


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