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問題4 $a,b,c$を正の実数とする．$xyz$空間において $|x|\leqq a,|y|\leqq b,z=c$ を満たす点$(x,y,z)$からなる板$R$を考える．点光源$P$が平面$z=c+1$上の楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,z=c+1$ 上を一周するとき，光が板$R$にさえぎられて$xy$平面上にできる影の通過する部分の図をえがき，その面積を求めよ． 
解答板$R$上の点$Q(u,v,c)$を固定し，$P$を楕円上を動かしたときの影の輪郭を調べ，さらに$Q$を板上を動かして考える． 直線$PQ$と$xy$平面の交点を$S(x,y,0)$とする． 点$P$は $P(a\cos \theta,b\sin \theta,c+1)$ と表せ，$z$座標に注目すれば $\overrightarrow{QS}=c\overrightarrow{PQ}$ より $(x-u,y-v,0-c)$ $=c(u-a\cos \theta,v-b\sin \theta,-1)$ $\therefore (x,y)=((c+1)u),(c+1)v)$ $-(ca\cos \theta,cb\sin \theta)$・・・@ @は$x,y$の方程式で表すと楕円で $\dfrac{\{ x-(c+1)u\} ^2}{c^2a^2}+\dfrac{\{ x-(c+1)v\} ^2}{c^2b^2}=1$ となる． 
この楕円を$-a\leqq u \leqq a,-b\leqq v \leqq b$ の範囲で動かして得られる範囲が求める図形である. 端点 $u=\pm a,v=\pm b$ に注目して図示すれば右図のようになる． 面積は $ab\{ (12+\pi)c^2+16c+4\}$ である． 戻る 目次 全体の目次 |