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問題5 原点を\(O\)とする\(xyz\)空間内に１辺の長さ\(1\)の正四面体\(OPQR\)がある．点\(P,Q,R\)を通り\(z\)軸に 平行な３直線と\(xy\)平面との交点をそれぞれ\(P',Q',R'\)とするとき，次の問に答えよ． (1)\(\triangle PQR,\triangle P'Q'R' \)の面積をそれぞれ\(S,S_1\)とする． \(P,Q,R\)の３点を通る平面と\(xy\)平面のなす角を\(\theta \)とするとき， \(S_1=S|\cos \theta |\) を示せ． (2)\(O\)が\(\triangle P'Q'R' \)の周上を含む内部にあるとき，\(z\)軸と\(\triangle PQR\) の交点を\(A\)とする． このとき正四面体\(OPQR\)の体積\(V\)は \(V=\dfrac{1}{3}\cdot OA\cdot S_1\) となることを示し，\(S_1\)の最小値を求めよ． (3)\(O\)が\(\triangle P'Q'R' \)の外部にあり，線分\(OP'\)と線分\(Q'R'\)が交点\(B\)を持つとき，点\(B\)を通り\(z\)軸に 平行な直線と，直線\(OP\)および直線\(QR\)との交点をそれぞれ\(C,D\)とする．このとき四角形\(OQ'P'R'\)の面積を\(S_2\)とすると \(V=\dfrac{1}{3}\cdot CD \cdot S_2\) となることを示し，\(S_2\)の最大値を求めよ． 
解答(1) 右図を見るとわかりやすいと思う． ３点\(P,Q,R\)を含む平面と\(xy\)平面との交線を\(l\)とし，\(P\)を通り交線\(l\)と平行な直線と辺\(QR\)または その延長との交点を\(S\)，さらに３点\(P,Q,R\)を含む 平面上で考えた，\(Q,R\)から直線\(PS\)に下ろした垂線の足をそれぞれ\(H,K\)および\(S,H,K\)から\(xy\)平面に 下ろした垂線の足をそれぞれ\(S',H',K'\) とする．このとき， \(PS=P'S',Q'H'=QH\cos \theta,R'K'=RK\cos \theta \) であるから， \(S_1=S\cos \theta\) 底辺の長さが同じで，高さだけ\(\cos \theta \)倍． ２平面のなす角の定義によるが，平面の向きまで考え，鈍角も扱うときは負の面積を考えず絶対値を付け正とする (２平面のなす角\(\theta \)は \(0\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\)で考える場合が多い)． 
(2)2平面のなす角は，平面の法線ベクトルのなす角であるから，\(O\)から平面\(PQR\)に下ろした垂線の足を\(H\)とすると \(\angle AOH =\theta \) したがって， \(OH=OA\cos \theta \) \(\therefore V=\dfrac{1}{3}\cdot S\cdot OH\) \(=\dfrac{1}{3}\cdot S\cdot OA\cos \theta\) \(=\dfrac{1}{3}\cdot OA\cdot S_1\) \(V=\dfrac{\sqrt{2}}{12}\)は一定であるから，\(OA\)が最大のとき\(S_1\)は最小値をとる．\(OA\)の最大値は\(1\)であるから\(S_1\) の最小値は \(S_1=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) 
(3)(2)で行った議論は一般の四面体で成り立つことに注意する． 正四面体を２つの四面体\(CPQR,CQRO\)に分けて体積を求める. \(C\)から\(\triangle PQR,\triangle OQR\) に下ろした垂線の足をそれぞれ\(H,K\)とし， \(\angle HCD=\theta ,\angle DCK =\phi\) と置けば， \(V=\dfrac{1}{3}(\triangle PQR \cdot CH+\triangle OQR \cdot CK)\) \(=\dfrac{1}{3}(\triangle PQR \cdot CD\cos \theta +\triangle OQR \cdot CD\cos \phi )\) \(=\dfrac{1}{3}CD(\triangle PQR \cos \theta +\triangle OQR\cos \phi )\) \(=\dfrac{1}{3}CD\cdot (\triangle P'Q'R' +\triangle OQ'R')\) \(=\dfrac{1}{3}CD\cdot S_2\) \(V\)は一定であるから，\(CD\)が最小のとき\(S_2\)(これは正四面体\(OPQR\)の正射影)が最大になる．ねじれの位置にある２直線間の距離を最小に するのは，共通垂線である．１辺の長さ\(１\)の正四面体の共通垂線の長さは\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)であり \(\dfrac{1}{3}\cdot S_2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}\) より\(S_2\)の最大値は \(S_2=\dfrac{1}{2}\) 解説 \(1.\) (3)で求めた四角形\(OR'P'Q'\)は正四面体の正射影です． この面積の最大値を求めるのは一般には次のようにします． \(OP',Q'R'\)のなす角を\(\alpha \)とすると，四角形\(OR'P'Q'\)の面積\(S_2\)は \(S_2=\dfrac{1}{2}OP'\cdot Q'R'\sin \alpha \leqq OP'\cdot Q'R'\) 一方，\(OP',Q'R'\)はそれぞれ\(OP,QR\)の正射影であるから， \(OP'\leqq OP=1,Q'R'\leqq QR=1\) さらに， \(OP'=1,Q'R'=1,\alpha =\dfrac{\pi}{2}\) を同時に満たす場合があるから（すなわちそれが(3)で扱った\(CD\)が\(OP,RQ\)の共通垂線になるとき）， 四角形\(OR'P'Q'\)の最大値は \(\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin \dfrac{\pi}{2}=\dfrac{1}{2}\) １辺の長さ\(1\)の正四面体の正射影が三角形のなるときの正射影の最大値は\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)であるから， 1辺の長さ\(1\)の正四面体の正射影の最大値は\(\frac{1}{2}\)であることが分かります．このように正四面体の正射影の最大値は比較的簡単にわかりますが 最小値となると難しくなります((2)がそれを表しているのですが，射影した図形が四角形になる場合の最小値の吟味が難しい）.これは東京大(1988年)で出題され当時話題になりました． \(2.\) この問題は正射影を理解するための優れた問題です．この問題を解いたら，是非正射影の本文を読んで欲しいと思います．正射影に対する理解が深まるでしょう． 問題に戻る 目次 全体の目次 |