いろいろな立体の問題

第8節　立体図形の入試問題2(側面積)
立体の側面積を求める問題は以前から出題されているます．ほとんどが展開図を考えて解く問題です．
展開図を$xy$平面上に表したとき，$x$座標，$y$座標がどのようになるかを調べるという基本に戻れば難しくありません．
計算は平面上の積分であるのでたいてい体積より簡単になります．

問題1（側面積の問題）
２点$P(x,y,z),Q(x,y,0)$があり，$x,y,z$は時間$t$の関数で，
$x=e^{2t}\cos t,y=2^{2t} \sin t,z=t+1$
である．
(1) 点Qが$t=0$より$t=u$まで移動した道のり（$Q$が描く曲線の弧の長さ） を$S(u)$とするとき，$S(u)$を求めよ．（ただし，$u$＞$0$とする）
(2) $t=0$より$t=a$までの間に線分$PQ$が描く(通過する)図形の面積を求めよ．(ただし，$a$＞$0$とする．)
東京理科大・工（1982年）



解答



問題2（側面積の問題）
$xyz$空間において，$x$軸と平行な柱面
$A=\{ (x,y,z)|y^2+z^2=1,x,y,z$は実数$\}$
から，$y$軸と平行な柱面
$B=\{ (x,y,z)|x^2-\sqrt{3}xz+z^2=\dfrac{1}{4},x,y,z$は実数$\}$
により囲まれる部分を切り抜いた残りの図形を$C$とする．図形$C$の展開図を描け．
ただし，点$(0,1,0)$を通り$x$軸と平行な直線に沿って$C$を切り開くものとする．
東京大（1992年）




解答



問題3
球面を輪切りにして，それぞれの部分を円錐の側面の一部分で近似することによって，球の表面積を求めることを考える．
$(1) \ $半径$r($＞$0)$の半円
$S:y=\sqrt{r^2-x^2}$
と直線
$L_s:y=s \ (0$＜$s$＜$r)$
は２つの交点を持つ．それぞれの交点における半円Sの２本の接線は点$(0,( \ \ \ \ ))$で交わる．この２本の接線と直線$L_s$ で囲まれた三角形を$y$軸の周りに1回転してできる円錐の側面積は$( \ \ \ \ )$である．さらに，この円錐から 平面$y=t \ (0$＜$s$＜$t\leqq r)$より上にある部分を取り除いた立体図形の側面積は
$\pi r(t-s)\times ( \ \ \ \ )$
である．
$(2) \ n$を自然数とし，$k=1,2,\cdots,n-1$とする．(1)で定義された立体の図形で$s=\frac{k}{n}r,t=\frac{k+1}{n}r$ のときの側面積を$A_k$と表すと
$A_k=\dfrac{2\pi r^2}{n}-\dfrac{\pi r^2}{n^2}\times (\ \ \ \ )$
となる．
$\displaystyle (3) \ \ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1}A_k=2\pi r^2$を証明せよ．
慶応大（2002年）



解答



問題4
底面の半径が$a$で高さが$b$の直円柱$A$を考える．この直円柱$A$を座標空間内の２つの平面$z=0$と$z=b$ との間に，その中心軸が$z$軸と重なるようにおく．また，$x$軸と点$(0,a,b)$を含む平面を$P$とする．平面$P$で この直円柱$A$を切ってできる２つの立体のうちで，点$(0,\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{4})$を含む立体を$B$とする．
この立体$B$の体積，側面の面積,底面の面積をそれぞれ$V,S_1,S_2$とする．
(1) $V$および$S_1$の値を求めよ．
(2) $S_1+S_2=3\pi$の条件のもとで立体$B$の体積を最大にする$a$と$b$の値を求めよ．
慶応大（2004年）



解答



問題5
$xyz$座標空間において，$\triangle ABC$は１辺を$a$とする正三角形であり，$xy$平面上にある．半径が$b$の球の 中心が$\triangle ABC$の辺上を動き，１周する．このとき球が通過する部分のつくる図形を$K$とする．$a\geqq 2\sqrt{3}b$ とするとき，
(1) 図形$K$の体積を求めよ．
(2) 図形$K$の表面積を求めよ．
京都府立医科大（2006年）



解答



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