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問題2（点光源の射影） 空間内の点の集合 $\{ (x,y,z)|0\leqq y,0\leqq z \}$ に含まれ，原点$O$において$x$軸に接し，$xy$平面と$45^{\circ}$の傾きをなす，半径１の円盤$C$がある． 座標が$(0,0,2\sqrt{2})$の位置にある点光源$P$により，$xy$平面上に投ぜられた円盤$C$の影を$S$とする． (1) $S$の輪郭を表す$xy$平面上の曲線の方程式を求めよ． (2) 円盤$C$と影$S$の間にはさまれ，光の届かない部分の作る立体の体積を求めよ． 
解答平面$z=y$上の $(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}})$ を中心とする半径１の円の式を求めよう． 平面$z=y$上の直交する単位ベクトル $\overrightarrow{u}=(1,0,0),\overrightarrow{v}=(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}})$ を用いれば，この円周上の点$T(x,y,z)$は $(x,y,z)=(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}})+\cos \theta \overrightarrow{u}+\sin \theta \overrightarrow{v}$ $=(\cos \theta,\dfrac{1+\sin \theta}{\sqrt{2}},\dfrac{1+\sin \theta}{\sqrt{2}})$ したがって，直線$PT$上の点は $(0,0,2\sqrt{2})+t(\cos \theta,\dfrac{1+\sin \theta}{\sqrt{2}},\dfrac{1+\sin \theta}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2})$ $z=0$より$t$を求めると $t=\dfrac{4}{3-\sin \theta}$ $S$の輪郭を表す$xy$平面上の曲線の媒介変数表示は， $x=\dfrac{4\cos \theta}{3-\sin \theta},y=\dfrac{4(1+\sin \theta)}{\sqrt{2}(3-\sin \theta)}$ $\sin \theta,\cos \theta$を$x,y$について解き， $\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta=1$ に代入し， $x^2+y^2-2\sqrt{2}y=0$・・・@ を得る． 
(2) 求める立体の体積は，斜円錐のうち平面$z=y$および$xy$平面に挟まれた部分の体積である．この斜円錐の平面$z=y$の上の部分の高さは $\angle POC=\dfrac{\pi}{4}$ より２． また円@の半径は$\sqrt{2}$. したがって求める体積は $\dfrac{2\pi \cdot 2\sqrt{2}}{3}-\dfrac{\pi \cdot 2}{3}=\dfrac{(4\sqrt{2}-2)\pi}{3}$ 続く 目次 全体の目次 |