問題2（点光源の射影）
空間内の点の集合
$\{ (x,y,z)|0\leqq y,0\leqq z \}$
に含まれ，原点$O$において$x$軸に接し，$xy$平面と$45^{\circ}$の傾きをなす，半径１の円盤$C$がある．
座標が$(0,0,2\sqrt{2})$の位置にある点光源$P$により，$xy$平面上に投ぜられた円盤$C$の影を$S$とする．
(1) $S$の輪郭を表す$xy$平面上の曲線の方程式を求めよ．
(2) 円盤$C$と影$S$の間にはさまれ，光の届かない部分の作る立体の体積を求めよ．
解答
平面$z=y$上の
$(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}})$
を中心とする半径１の円の式を求めよう．
平面$z=y$上の直交する単位ベクトル
$\overrightarrow{u}=(1,0,0),\overrightarrow{v}=(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}})$
を用いれば，この円周上の点$T(x,y,z)$は
$(x,y,z)=(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}})+\cos \theta \overrightarrow{u}+\sin \theta \overrightarrow{v}$
$=(\cos \theta,\dfrac{1+\sin \theta}{\sqrt{2}},\dfrac{1+\sin \theta}{\sqrt{2}})$
したがって，直線$PT$上の点は
$(0,0,2\sqrt{2})+t(\cos \theta,\dfrac{1+\sin \theta}{\sqrt{2}},\dfrac{1+\sin \theta}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2})$
$z=0$より$t$を求めると
$t=\dfrac{4}{3-\sin \theta}$
$S$の輪郭を表す$xy$平面上の曲線の媒介変数表示は，
$x=\dfrac{4\cos \theta}{3-\sin \theta},y=\dfrac{4(1+\sin \theta)}{\sqrt{2}(3-\sin \theta)}$
$\sin \theta,\cos \theta$を$x,y$について解き，
$\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta=1$
に代入し，
$x^2+y^2-2\sqrt{2}y=0$・・・@
を得る．
(2) 求める立体の体積は，斜円錐のうち平面$z=y$および$xy$平面に挟まれた部分の体積である．
この斜円錐の平面$z=y$の上の部分の高さは
$\angle POC=\dfrac{\pi}{4}$
より２．
また円@の半径は$\sqrt{2}$.
したがって求める体積は
$\dfrac{2\pi \cdot 2\sqrt{2}}{3}-\dfrac{\pi \cdot 2}{3}=\dfrac{(4\sqrt{2}-2)\pi}{3}$
解説
空間における2円の関係は反転変換を用いると分かり易い．
空間における反転変換については
空間における反転変換(1)
の定義および命題1を読んでおけばよい．
点$O$を反転の中心とする反転変換$I(O)$で球面や平面の像は球面や平面である．
空間における円を球面と平面の交線または2つの球面の交線と見れば，反転変換により円の像は円であることが分かる．
さらに，頂点$O$を中心とする斜円錐の側面の反転変換$I(O)$による像は同じ側面上より，
斜円錐の底面を円$C$とすると，$I(O)$による円の像はやはり円であり，その円は斜円錐上である．背景知識の概論はこれぐらいにして問題2を解きましょう．概論だけでは問題は解けません．
問題2の別解
円$C$を含む平面$z=y$を平面$\alpha$とする．
$yz$平面を$\pi$とし，平面$\pi$上で考える．
平面$\pi$は$\alpha$にも$xy$平面にも垂直である．
円$C$と点$P(0,0,2\sqrt{2})$を含む球面を$S$とする．この球$S$は中心$S(0,0,\sqrt{2})$半径$\sqrt{2}$である．
円$C$は球面$S$と平面$\alpha$の交線である．
$P$を中心とする半径$2\sqrt{2}$を反転球とする反転変換を$I(O,(2\sqrt{2})^2)$とする．
反転変換$I(O,8)$による円$C$の像は$I(O,8)$による球面$S$の像と$C$を含む平面$\alpha$の像の交線である．
球面$S$の像は$xy$平面である．
平面$\alpha$の像を求める．
$P$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足は$A(0,\sqrt{2},\sqrt{2})$.
$I(P,PO^2):A\mapsto B(0,2\sqrt{2},0)$
したがって，平面$\alpha$の像は$A(0,\sqrt{2},\sqrt{2})$を中心とする半径$2$の球．したがって
$xy$平面との交線が求める円で
$(\sharp)$に$z=0$を代入し
$x^2+(y-\sqrt{2})^2=2,z=0 \blacksquare$
斜円錐で切り口が円となる場合を一般的な形で見てみよう．
頂点が$O$底面が円$C$の斜円錐を$T$とする．
円$C$(中心も$C$)を含む平面を$\alpha$,$O$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$H$,3点$O,C,H$の定める平面を$\pi$とする．
このとき$\pi \perp \alpha $である．$(\because OH \subset \pi)$
この平面$\pi$を円錐$T$の主平面という．
$CH$と円$C$の交点を$A,B$とする．
平面$\pi$上で，$\triangle OAB$の外心を$S$とする．
線分$AB$の中点$C$は円$C$の中心で，$SC\perp \alpha$であるから$S$は円$C$および点$O$を含む球面の中心である．円$C$と点$O$を含む球面を$S$とする．
円$C$は円錐$T$と平面$\alpha$,球面$S$の共通の交線である．
$O$を反転変換の中心とする反転変換を$I(O)$とする．
$I(O)$により，$S$の像は平面で$\alpha$の像は球面であるから，$C$の像$C'$は円であることが分かる．
一方$I(O)$による円錐$T$の像は$T$自身である．したがって，円$C'$は円錐$T$にあり，$C'$は円錐$T$と$I(O)$による球面$S$の像である平面との交線である．
$I(O)$による球面$S$の像を求める．
求める像は平面で，$O$における球面$S$と接する平面と平行である．その平面を$\beta$とする.
平面$\beta$は法線ベクトルが$\overrightarrow{SO}$であり法線ベクトルが$\pi$上より
$\beta \perp \pi$
直線$OA,OB$と平面$\beta$との交点をそれぞれ$A',B'$とする．
点$A',B'$が円$C'$上であることは分かるが，$A'B'$が円$C'$の直径であることは明らかでない．それを示す．
2平面$\alpha,\beta$の交線を$l$とする．
$l \perp \pi$
である．$(\because OH\perp l,OS\perp l)$
したがって$\alpha$上で$l\perp AB$
平面$\alpha$上で円$C$の$A$における接線を$m$とすると$m\parallel l$
2直線$OA,m$の定める平面と平面$\beta$との交線を$m'$とすると$m'\parallel l$でかつ円$C'$
共有点は$A'$だけである．$(\because C,l$の共有点が$A$だけ$)$
したがって，$m'$は平面$\beta$上で円$C'$の点$A'$における接線．同様に$B'$における円$C'$
の接線$n'$が$n'\parallel l$
したがって$m'\parallel n'$より$A'B'$が円$C'$の直径であることが分かる．
円$C,C'$の$\pi$による切り口である直径$AB,A'B'$の関係を調べる．
平面$\pi$上で
$a1=a2=a3$
より4点$A,A',B',B$は同一円周上にある．この$AB,CD$の関係を$\angle AOB$において逆平行であるという．
4点$A,A',B',B$の定める円の中心を$V$とする．このとき
$VC\perp \alpha,VC'\perp \beta$
であるから，$V$を中心とする半径$VA$の球面は2円$C,C'$を含む．すなわち，2円$C,C'$
は同一球面上にある．
以上の内容をまとめると次のようになる．
命題
頂点が$O$底面が円$C$の斜円錐を$V$とし，$V$の主平面を$\pi$とする．
$\pi$と円$C$の交点を$A,B$とする．
$V$を平面で切った切り口が円になるのは底面$C$を含む平面$\alpha$と平行な平面の他にもう一種類の平面がある．その平面を$\beta$とすると，$\beta$は主平面$\pi$と垂直で，$\beta$
と$OA,OB$との交点をそれぞれ$A',B'$とすると4点$A,A',B',B$が$\pi$上で同一円周上にある場合である．さらに$V$と$\beta$の交線である円$C'$の直径は線分$A'B'$である．また，2円$C,C'$は同一球面上にある．
命題の最後の部分の逆すなわち
命題
空間において，2円$C,C'$が同一球面上にあれば，2円$C,C'$が側面上にある斜円錐が存在する．
が成り立つ．
証明
2円$C,C'$が球面$S$上とする．$C,C',S$の中心はそれぞれ同じ文字$C,C',S$を用いる．
3点$C,C',S$を通る平面を$\pi$,円$C,C'$を含む平面をそれぞれ$\alpha,\beta$とすると
$\pi \perp \alpha,\pi\perp \beta\cdots (\sharp)$
$(\because SC \perp \alpha,SC'\perp \beta)$
$\pi$と円$C$との交点を$A,B$,$\pi$と円$C'$との交点を$A',B'$とする．
2直線$AA',BB'$の交点を$O$とする．もし，$O$が球面$S$の内部なら，$AB',A'B$の交点を$O$
とし，$O$は球面$S$の外部とする．
$\pi$上で，4点$A,A',B',B$は同一円上にあり，かつ$(\sharp)$が成り立つから，
頂点$O$,底面$C$の斜円錐の平面$\beta$による切り口は直径が$A'B'$の円で，それは円$C'$
と一致する．したがって， $O$を頂点，$C$が底面の斜円錐の側面上に円$C'$が存在する．$\blacksquare$
(2025年8月改訂)
続く
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