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問題2（点光源の射影） 空間内の点の集合 {(x,y,z)|0≦ に含まれ，原点Oにおいてx軸に接し，xy平面と45^{\circ}の傾きをなす，半径１の円盤Cがある． 座標が(0,0,2\sqrt{2})の位置にある点光源Pにより，xy平面上に投ぜられた円盤Cの影をSとする． (1) Sの輪郭を表すxy平面上の曲線の方程式を求めよ． (2) 円盤Cと影Sの間にはさまれ，光の届かない部分の作る立体の体積を求めよ． 
解答平面z=y上の (0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}) を中心とする半径１の円の式を求めよう． 平面z=y上の直交する単位ベクトル \overrightarrow{u}=(1,0,0),\overrightarrow{v}=(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}) を用いれば，この円周上の点T(x,y,z)は (x,y,z)=(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}})+\cos \theta \overrightarrow{u}+\sin \theta \overrightarrow{v} =(\cos \theta,\dfrac{1+\sin \theta}{\sqrt{2}},\dfrac{1+\sin \theta}{\sqrt{2}}) したがって，直線PT上の点は (0,0,2\sqrt{2})+t(\cos \theta,\dfrac{1+\sin \theta}{\sqrt{2}},\dfrac{1+\sin \theta}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2}) z=0よりtを求めると t=\dfrac{4}{3-\sin \theta} Sの輪郭を表すxy平面上の曲線の媒介変数表示は， x=\dfrac{4\cos \theta}{3-\sin \theta},y=\dfrac{4(1+\sin \theta)}{\sqrt{2}(3-\sin \theta)} \sin \theta,\cos \thetaをx,yについて解き， \cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta=1 に代入し， x^2+y^2-2\sqrt{2}y=0・・・① を得る． 
(2) 求める立体の体積は，斜円錐のうち平面z=yおよびxy平面に挟まれた部分の体積である．この斜円錐の平面z=yの上の部分の高さは \angle POC=\dfrac{\pi}{4} より２． また円①の半径は\sqrt{2}. したがって求める体積は \dfrac{2\pi \cdot 2\sqrt{2}}{3}-\dfrac{\pi \cdot 2}{3}=\dfrac{(4\sqrt{2}-2)\pi}{3} 続く 目次 全体の目次 |